Die Bewegungsgesetze einer harmonischen Schwingung
Inhaltsverzeichnis
Das Ortsgesetz
Aus der Zeigerdarstellung oder aus der Differentialgleichung folgt beidesmal der sinusförmige Verlauf der Elongation, also des Ortes:
[math]y = \hat y \sin (\omega t)[/math]
Berechnung des Geschwindigkeitsgesetzes
Die Geschwindigkeit ist die zeitliche Änderungsrate des Ortes, also muss man nach der Zeit ableiten. Dabei muss man die Kettenregel beachten.
[math]v(t)=\dot s (t) = (\hat y \sin(\omega t)\dot) = \hat y cos(\omega t) \omega[/math] (Wiederholung: [math][f(g(t))]'= f'(g(t)) \, g'(t)[/math])
[math] v(t) = \hat y \omega cos(\omega t) = \hat v cos(\omega t)\qquad \qquad \hat v = \hat y \omega [/math] ist die maximale Geschwindigkeit.
Berechnung des Beschleunigungsgesetzes
Um die Beschleunigung zu erhalten, muss man die Geschwindigkeit erneut ableiten.
[math]a = \dot v = \hat y \omega \dot{cos(\omega t)} = \hat y \omega (-\sin(\omega t)) \omega[/math]
[math]a(t)=-\hat y \omega^2 \sin(\omega t) = \hat a \sin(\omega \, t)\qquad \qquad \hat a = -\hat y \omega ^2 [/math] ist die maximale Beschleunigung.
Folgerungen aus den Bewegungsgesetzen
Impuls
Der Impuls hängt direkt mit der Geschwindigkeit über [math]p=m \, v[/math] zusammen:
[math]p(t)=m \, \hat y\, \omega \ cos(\omega\, t) \qquad \qquad \hat p = m\, \hat y \,\omega[/math] ist der maximale Impuls.
Kraft
In Abhängigkeit von der Zeit
Die Beschleunigung hängt direkt mit der wirkenden Kraft über [math]F=m\ a[/math] zusammen, daher folgt:
[math]F(t)=-m\, \hat y\, \omega^2 \ \sin(\omega\, t) = \hat F \sin(\omega\, t)\qquad \qquad \hat F = -m\, \hat y \,\omega ^2[/math] ist die maximale Kraft.
In Abhängigkeit vom Ort
Ausserdem folgt aus der sinusförmigen Bewegung auch der lineare Zusammenhang [math]F=-D\,y[/math] von Kraft und Auslenkung, wie bei einer Feder. Dazu muss man nur [math]y = \hat y sin(\omega t)[/math] einsetzen:
- [math]F = -m\, \hat y\, \omega^2 \ \sin(\omega\, t)[/math]
[math]F = -m \omega^2 \, y[/math] , mit [math]D = m \omega^2[/math]
Energie
In Abhängigkeit von der Zeit
Die Bewegungsenergie hängt direkt mit der Geschwindigkeit, bzw. mit dem Impuls zusammen: [math]E_{kin}=\frac{1}{2}m \, v^2 = \frac{p^2}{2\, m}[/math]
Die "restlichen" Energieformen wie Spann- und Lageeneergie ergänzen die Bewegungsenergie immer zu einer konstanten Summe. (Zumindest bei einer ungedämpften Schwingung.) Legt man das Nullniveau von potentieller Energie so, dass sie bei maximaler Bewegungsenergie gerade verschwindet, dann ist die maximale Bewegungsenergie gerade die Gesamtenergie der Schwingung!
[math]E_{kin} = \frac{1}{2} m\, \hat y^2 \omega^2 \cos^2(w\, t) \qquad \qquad \hat E_{kin} =\frac{1}{2} m \, \hat y^2 \omega^2 [/math] ist die maximale Bewegungsenergie.
Die Energie einer harmonischen Schwingung ist proportional zum Quadrat der Frequenz und zum Quadrat der Amplitude.
Wegen [math]\sin^2(t) + \cos^2(t) = 1[/math] ist der die Bewegungsenergie ergänze Anteil der potentiellen Energie gerade:
- [math]E_{pot}= = \frac{1}{2} m\, \hat y^2 \omega^2 \sin^2(w\, t)[/math]
In Abhängigkeit vom Ort
Frequenz
Die maximal wirkende Rückstellkraft läßt sich auf zwei Arten berechnen. Einmal über die maximale Beschleunigung [math]-\hat y \,\omega^2 [/math] und einmal über die maximale Auslenkung [math]\hat y[/math].
Aus demder sinusförmigen Bewegung folgt auch der lineare Zusammenhang [math]F=-D\,y[/math] von Kraft und Auslenkung, wie bei einer Feder: [math]F(t)=-m\, \hat y\, \omega^2 \ \sin(\omega\, t) = \hat F \sin(\omega\, t)\qquad \qquad \hat F = -m\, \hat y \,\omega ^2[/math] ist die maximale Kraft.
(Siehe hier.)
- [math]\hat F = m \,\hat a = -D\,\hat y[/math]
[math]\Rightarrow -m\, \hat y \,\omega^2 = -D \,\hat y [/math]. Teilt man nun noch durch die Amplitude [math]\hat y[/math] und die Masse [math]m[/math], so folgt:
[math]\omega^2= \frac{D}{m}[/math] oder [math]\omega= \sqrt{\frac{D}{m}}[/math] ; [math] f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{D}{m}}[/math] ; [math] T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{D}}[/math] Frequenz einer harmonischen Schwingung, sie hängt nicht von der Amplitude ab!
Die Schwingungsdauer, bzw Frequenz folgt aus der Kreisfrequenz mit: [math] \omega=2\,\pi\, f [/math] und [math] T = \frac{1}{f}[/math]
Beispiel: Federpendel
[math]T=1{,}2[/math]
[math]\omega=\left( \frac {2*\pi}{1{,}2} \right)[/math]
[math]s(t)=9cm \cdot \sin(\left( \frac {2*\pi}{1{,}2s} \right)*t[/math]
[math]v(t)=9cm*\left( \frac {2*\pi}{1{,}2s} \right)*cos(\left( \frac {2*\pi}{1{,}2s} \right)*t)[/math]
[math]\hat v = 9cm*\left( \frac {2*\pi}{1{,}2s} \right)= 47\frac{cm}{s}[/math]
Aufgaben
Zu 108.2
[math]\omega[/math]: Winkelgeschwindigkeit [math]f[/math]: Umläufe pro Zeit
z.B.: [math]f = 2Hz[/math]
[math]w = 2*\pi*\left( \frac{1}{s} \right)= 4*\pi*\left( \frac{1}{s} \right)[/math]
[math]\Rightarrow \omega=2*\pi*f[/math] und weil [math] f=\left( \frac{1}{T} \right)[/math]
[math] \omega=\left( \frac{2*\pi}{T} \right)[/math]
Zu 108.3
[math] \phi_0 [/math]: Phasenverschiebung
[math] \phi_0 = 0^\circ [/math]: Schwingung in Phase
[math] \phi_0 = \pi \, (180^\circ\!) [/math]: gegenphasig
Links
- Applet zur Zeigerdarstellung
- Applet zur Sinuskurve des Ortsdiagramms eines Pendels (W.Fendt)
- Applet zum Federpendel (W.Fendt)
- Wikipedia: Zeigerdiagramm
</math>
