Aufgaben zu den Grundlagen über Felder (Lösungen)

c) Ergänze die Tabelle

Planet Feldstärke(N/kg) Masse(kg) Kraft(N)
Merkur   3,70            80          296
Venus    8,87            75          665
Erde     9,77            12,7        124
Mars     3,69          1000         3690
Jupiter 23               75         1725

Schwere, Elektrische und Magnetische Wechselwirkung (Gravitation, Elektrostatik, Magnetostatik)

Versuche beschreiben und erklären mit der Nahwirkungstheorie.

Segnersches Rad, "Wedelgenerator", ...

Fern- und Nahwirkungstheorie

„Es ist undenkbar, dass leblose, rohe Materie auf andere […] Materie wirken sollte, ohne direkten Kontakt und ohne die Vermittlung von etwas anderem, das nicht materiell ist. Dass die Gravitation eine angeborene, inhärente und wesentliche (Eigenschaft) der Materie sein soll, so dass ein Körper auf einen anderen über eine Entfernung durch Vakuum hindurch und ohne die Vermittlung von etwas Sonstigem wirken soll, […], ist für mich eine so große Absurdität, dass ich glaube, kein Mensch, der eine in philosophischen Dingen geschulte Denkfähigkeit hat, kann sich dem jemals anschließen. Gravitation muss durch einen Vermittler erzeugt werden, welcher gleichmäßig nach bestimmten Gesetzen wirkt. Aber ob dieser Vermittler materiell oder immateriell ist, habe ich der Überlegung meiner Leser überlassen.“

(Brief von Isaac Newton an Richard Bentley von 1692/1693 - in: Herbert Westren Turnbull, The correspondence of Isaac Newton 1961, Vol. III, S. 253-254)

• Wie haben wir heute dieses Dilemma gelöst?
• Welche weiteren Argumente sprechen gegen die Fernwirkungstheorie und für die Nahwirkungstheorie?

Feldenergie

Begründen Sie möglichst anschaulich, warum ein Feld Energie enthält.

Beispiel für Energie ins Feld stecken und Energie herausholen.

Wie beschreibt man diese Vorgänge mit der Fernwirkungstheorie?

Graphische Darstellung von Feldern

a) geladene Kugel

b) Ringmagnet

c) Zwei Sonnen

• Wie kann man anhand der Feldlinien und Feldflächen die anziehende Wirkung der beiden Magnetpole und der Massen erklären?
• Zeichnen Sie in den obigen Abbidungen je einen kleinen Probekörper ein. In welche Richtung zieht/drückt ihn das Feld? (Je nach Ladung)

Die Feldstärke

Wir haben die Feldstärke als Ortsfaktor definiert.

• Erläutern Sie dies.

Warum ist das für das magnetische Feld noch nicht praktisch messbar?

Je zwei Größen gegeben, eine gesucht: Feldstärke gesucht, Ladung gesucht, Kraft gesucht.

Ladung als Quellenstärke und der Fluß eines Feldes

Probekörper im Kondensator

Zwei geladene Platten, je 30cm x 30cm groß, eine mit 8 10^-8 C, die andere mit -8 10^-8 C.

• Bestimmen Sie die Stärke des elektrischen Feldes unter der Annahme, dass das Feld sich ausschließlich zwischen den Platten befindet und dort homogen ist.
• Warum ist dabei die Feldstärke zwischen den Platten nicht vom Abstand der Platten abhängig?

Zwischen die Platten wird ein negativ geladener Tischtennisball gehängt. Auf ihn wirkt eine Kraft von 0,01 N.

• In welche Richtung wird der Ball gezogen?
• Wieviel Ladung sitzt auf dem Ball?

Ladung als Quellenstärke und der Fluß eines Feldes

Masse der Erde

Der Feldfluss durch die Erdoberfläche ist genauso groß wie die Erdmasse:

[math]\frac{1}{4\pi \,G} \ g \, A = m[/math]

Jetzt muss man nur die Fläche zu [math]A= 4 \pi \, r^2[/math] und die Gravitationskonstante einsetzen:

[math]\frac{1}{4\pi \,6{,}673\;84\; \cdot 10^{-11} \mathrm{\frac{m^3}{kg \cdot s^2}}} \ 9{,}81 \rm \frac{N}{kg} \, 4 \pi \, (\rm 6380000 m)^2 \approx 5{,}987 \cdot 10^{24}\rm kg[/math]

Das ist schon ein recht vernünftiger Wert im Vergleich zu genaueren Messwerten.

Gravitationsfeldstärke im All

• Wie groß ist die Gravitationsfeldstärke in einem Abstand von 3680 km über dem Erdboden?

Mit Erdmasse

In einem Abstand von 3680 km über dem Erdboden ist man 7360 km vom Ermittelpunkt entfernt. Man betrachtet den Feldfluss durch eine Kugeloberfläche mit diesem Radius. Dazu kann man die Formel für die Quellenstärke umformen:

[math]g = 4 \pi \, G\, \frac{m}{A} = 4 \pi \, 6{,}673\;84\; \cdot 10^{-11} \mathrm{\frac{m^3}{kg \cdot s^2}}} \, \frac{5{,}987 \cdot 10^{24}\rm kg}{4 \pi \, (7360000 m)^2} \approx 2{,}45 \rm \frac{N}{kg}[/math]

Verdopplung der Entfernung

Durch den doppelten Abstand vom Erdmittelpunkt vergößert sich die Kugelfläche auf das Vierfache. Denn der Radius wird quadriert: [math]A=4 \pi \, r^2[/math]

Da der Fluss durch die Fläche aber gleich bleibt muss die Feldstärke auf ein Viertel abnehmen!

[math]g = \frac{1}{4} \, 9{,}81 \frac{N}{kg} = 2{,}45 \frac{N}{kg}[/math]

• Welche Kraft wirkt dort auf einen 1000kg schweren Satelliten?

Die Feldstärke ist der Ortsfaktor:

[math]g=\frac{F}{m} \qquad \Rightarrow \qquad F = m \, g = 1000 \rm kg \cdot 2{,}45 \frac{N}{kg} = 2450 \, N[/math]

Gravitation in der Erdkugel

Man betrachtet eine Kugeloberfläche mit dem Radius r. Damit läßt sich die Feldstärke im Abstand r vom Erdmittelpunkt berechnen.

Dazu nehmen wir vereinfachend an, dass die Erde überall die gleiche Massendichte [math]\rho[/math] hat.

Nun ist der Fluss aus der Fläche gleich der enthaltenen Masse. Die Masse ausserhalb der Kugel spielt keine Rolle! Das ist erstaunlich. Die Wirkung der Kugelschale ausserhalb der Kugel hebt sich gerade auf. (Vgl. Wikipedia: Kugelschale.)

[math]\frac{1}{4 \pi \, G} \, g \, A = m \qquad \Rightarrow \qquad g = 4 \pi \, G \, \frac{m}{A} = 4 \pi \, G \, \frac{V \, \rho}{A}\qquad .[/math]( mit [math]m= V\, \rho[/math])

Jetzt sieht man, dass es auf das Verhältnis von der enthaltenen Masse, bzw. des Kugelvolumens, zur Oberfläche der Kugel ankommt! Mit [math]A= 4 \, \pi r^2[/math] und [math] V= \frac{4}{3} \, \pi \, r^3[/math] ergibt sich:

[math]g = 4 \pi \, G \, \frac{\frac{4}{3} \, \pi \, r^3 \, \rho}{4 \, \pi r^2} \qquad \Rightarrow \qquad g = \frac{4}{3}\pi G \rho \ r[/math]

Die Feldstärke ist also proportional zum Abstand des Erdmittelpunktes! Sie nimmt linear zu. Das liegt daran, dass das Volumen in der dritten Potenz zum Radius größer wird, die Oberfläche in der zweiten Potenz.

Realistischerer Verlauf der inneren Feldstärke nach genauerern Modellen. (Wikipedia: Preliminary Reference Earth Model)

Probekörper im Kondensator

Zwei geladene Platten, je 30cm x 30cm groß, eine mit 8 10^-8 C, die andere mit -8 10^-8 C.

• Bestimmen Sie die Stärke des elektrischen Feldes unter der Annahme, dass das Feld sich ausschließlich zwischen den Platten befindet und dort homogen ist.
• Warum ist dabei die Feldstärke zwischen den Platten nicht vom Abstand der Platten abhängig?

Zwischen die Platten wird ein negativ geladener Tischtennisball gehängt. Auf ihn wirkt eine Kraft von 0,01 N.

• In welche Richtung wird der Ball gezogen?
• Wieviel Ladung sitzt auf dem Ball?

Potential eines Feldes

Ein Satellit im Schwerefeld der Erde

• Wieviel Energie benötigt man, um den Satellit (Masse 800 kg) an die markierte Stelle zu heben?
• Welche Kraft wirkt dort ungefähr auf ihn?

Mondstation

• Wieviel Energie benötigt man, damit man 1 Tonne Nachschub-Material auf eine Mondstation bringen kann?
• Wieviel potentielle Energie hat das Material dann auf der Mondoberfläche?
• Vergleichen Sie die Energiemengen mit Benzinmengen! (Ein Liter Benzin enthält ca. 42 MJ Energie.)

Feldbild und Potential eines Kondensators

Ein Kondensator wird mit einer Spannungsquelle (100 Volt) verbunden. Die Platten sind 20 cm x 20 cm groß und 10 cm voneinander entfernt. Der Einfachheit halber gehen wir davon aus, dass sich nur zwischen den Platten ein elektrisches Feld befindet, welches deshalb auch homogen ist.

• Zeichen Sie eine Feldlinienbild mit den Äquipotentialflächen für 0V, 20V,...,100V.
• Zeichen Sie ein Potential-Ort-Diagramm.
• Wie groß ist die Feldstärke im Kondensator?
• Welche Art von Bewegung vollzieht ein innerhalb des Kondensators aufgehängtes, geladenes Kügelchen?

Vergleichen Sie die Bewegung mit dem Rollen einer Kugel im Potential.

• Wieviel Energie würde ein mit +1C geladenes Kügelchen (ein Proton) erfahren, dass sich von der positiven zur negativen Platte bewegt?

Wie schnell wäre es an der negativen Platte?

Potential der Erde

Anton steht auf der Erde. Bertha befindet sich einen Erdradius oberhalb der Erdoberfläche in einer Raumkapsel. Cecilie ist zwei Erdradien von der Erde entfernt. (usw.)

• Berechnen Sie die Potentialunterschiede zwischen A und B, B und C, ...
• Berechnen Sie das Potential an den Stellen A, B, C, ...

Geostationärer Satellit

Ein Satellit (Masse 800 kg) soll in eine geostationäre Umlaufbahn, also in eine Höhe von etwa 36.000 km über der Erdoberfläche. Der Bahnradius beträgt dann ungefähr 42.000 km.

• Berechnen Sie mit Hilfe einer Gleichung für die Feldstärke oder des Potential die dazu nötige Energiemenge.
• Vergleichen Sie die Energiemengen mit Benzinmengen! (Ein Liter Benzin enthält ca. 42 MJ Energie.)