Das Zentralfeld und die Abstandsgesetze (Gravitationsgesetz, Coulomb-Gesetz, magnetisches Coulomb-Gesetz)
Messung des magnetischen Abstandsgesetzes
Die Kraft mit der das Magnetfeld zwei Magnetpole voneinander wegdrückt (oder aufeinander zu zieht) hängt offensichtlich vom Abstand r der Pole ab: Je größer der Abstand, desto kleiner die Kraft. Weiterhin hängt die Kraft von der Stärke der Pole ab. Je mehr magnetische Ladung die Pole tragen, desto stärker die Kraft.
Die magnetische Ladung können wir noch nicht messen, aber man kann den Zusammenhang zwischen Abstand und Kraft genauer untersuchen. Der einfachste Zusammenhang wäre eine Anti-Proportionalität: Die Kraft halbiert sich bei doppeltem Abstand. Eine weitere Möglichkeit ist eine Proportionaltät zu [math]1/r^2[/math]. Die Kraft verkleinert sich auf ein Viertel bei doppeltem Abstand.
- Aufbau
Schiefe Ebene, Je stärker die Neigung, desto näher sind die beiden Wagen.
Neigung:einen Meter lang, man misst die Höhe [math]x[/math].
Abstand zwischen den Polen [math]r[/math] mit Schieblehre/Zollstock.
Wo genau sind die Pole? Dazu kann man die Magnete in Eisenfeilspäne tauchen und schätzen. Sie sind ca. 5mm vom Rand des Magneten entfernt. Wir messen aber trotzdem erstmal den Abstand zwischen den Rändern des Magneten und nicht zwischen den Polen.
- Messwerte und Auswertung
Die Kraft zwischen den Magneten berechnet sich als Hangabtriebskraft des Wagens:
- [math]F = m \, g \sin \alpha = m\, g \frac{x}{l}[/math]
r'(cm) x (cm) F (N) 0.49 51.8 0.5076 0.55 47.2 0.4626 0.70 44.0 0.4312 0.78 39.5 0.3871 0.90 35.4 0.3469 1.00 31.8 0.3116 1.12 27.8 0.2724 1.2 24.4 0.2391 1.4 20.5 0.2009 1.6 17.6 0.1725 1.9 14.3 0.1401 2.3 11.5 0.1127 2.5 10.0 0.0980 2.7 8.3 0.0813 3.2 6.4 0.0627 3.6 4.9 0.0480 4.7 3.2 0.0314 6.5 1.6 0.0157
Zur Auswertung kann man erstmal die Kraft über den Abstand auftragen:
Das sieht schonmal ganz gut aus. Bei einer Antiproportionalität sollte sich bei einer Abstandsverdoppelung die Kraft halbieren. Von 0,5cm auf 1cm stimmt das ungefähr und auch von 1cm auf 2cm. Bei einer Proportionalität zu [math]1/r^2[/math] sollte sich bei einer Abstandsverdopplung die Kraft auf ein Viertel reduzieren. Von 0,5cm auf 1cm stimmt das nicht ganz und von 1cm auf 2cm auch nicht.
Ein genaueres Bild erhält man, wenn man [math]1/F[/math] und [math]1/\sqrt F[/math] über [math]r'[/math] aufträgt:
Wenn [math]F\sim \frac{1}{r}[/math] gilt, dann sollte man nun eine Gerade mit der Steigung [math]\frac{1}{a}[/math] sehen:
- [math]F \sim r \quad \Leftrightarrow \quad F = a\, \frac{1}{r} \quad \Leftrightarrow \quad \frac{1}{F}= \frac{1}{a}\, r[/math]
Das sieht aber nicht nach einer Geraden aus. Die Antiproportionalität scheidet wohl aus.
Bei der Proportionalität zu [math]\frac{1}{r^2}[/math] erwartet man eine Gerade mit der Steigung [math]\frac{1}{a}[/math]: [math]F \sim r^2 \quad \Leftrightarrow \quad F = a\, \frac{1}{r^2} \quad \Leftrightarrow \quad \frac{1}{\sqrt F}= \frac{1}{a}\, r[/math]
Die Werte steigen tatsächlich einigermaßen linear an. Aber die Ausgleichsgerade geht nicht durch den Ursprung, sie ist nach links, bzw. nach oben verschoben. Wie kann man das interpretieren?
Addiert man zu den gemessenen Abständen noch 6,7mm dazu, dann verschiebt sich die Gerade genau in den Ursprung. Das liegt wohl daran, dass die magnetischen Ladungen nicht genau auf den Grenzflächen des Magneten sind, sondern etwas innerhalb liegen. Die magnetischen Ladungen "sitzen" ca. 3,4mm von der Oberfläche entfernt.
Im folgenden soll daher der Abstand der Pole mit r bezeichnet werden. Das ist 6,7mm weniger als der Abstand r' der Magnete. Für den Zusammenhang zwischen F und r ergibt sich:
- [math]\frac{1}{\sqrt F} = 107\, r \quad \Leftrightarrow \quad \frac{1}{F} = 107^2 r^2[/math]
