Heuristische Lösungen der eindimensionalen zeitunabhängigen Schrödingergleichung

Ziel

Wir suchen Funktionen [math]\psi(x)[/math], mit den folgenden Eigenschaften:

• [math]\Psi''(x)=-c (E-E_{pot}(x))\Psi(x)[/math], mit [math]c=\frac{8\pi^2m}{h^2}[/math]
• Die Funktion muss sinnvoll als Zustandsfunktion eines Quants interpretierbar sein.

Eigenschaften der Zustandsfunktion

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Anhand des Beispiels des endlich hohen Potentialtopfes kann man sich die wesentlichen Eigenschaften der Zustandsfunktion klar machen.

• gebundener Zustand: [math]E \lt E_a[/math]
  • im Kasten: [math] E \gt E_{pot}[/math]
  • Ausserhalb des Kastens: [math]E \lt E_{pot}[/math]
• freier Zustand: [math]E \gt E_a[/math]

Übersicht der Eigenschaften

An Orten [math]x[/math] mit "kleinem" Potential: Wellenförmiger Verlauf "Stehende Welle"

• Falls [math]\psi(x)\gt0[/math], dann ist [math]\psi''(x)\gt0[/math], die Kurve [math] \psi(x)[/math] ist rechtsgekrümmt (Rechtskurve).
• Falls [math]\psi(x)\lt0[/math], dann ist [math]\psi''(x)\gt0[/math], die Kurve [math]\psi(x)[/math] ist linksgekrümmt (Linkskurve).
• Falls [math]\psi(x)=0[/math], dann ist [math]\psi''(x)=0[/math], die Kurve [math]\psi(x)[/math] hat einen Wendepunkt

An Orten [math]x[/math] mit "großem" Potential: [math] E \lt E_{pot}(x)[/math]: Exponentieller Verlauf "Tunneleffekt"

• Falls [math]\psi(x)\lt0[/math], dann ist [math]\psi''(x)\gt0[/math], die Kurve [math]\psi(x)[/math] ist linksgekrümmt (Linkskurve).
• Falls [math]\psi(x)\gt0[/math], dann ist [math]\psi''(x)\gt0[/math], die Kurve [math]\psi(x)[/math] ist rechtsgekrümmt (Rechtskurve).

An Orten mit [math]E = E_{pot}(x)[/math]

• Hier ist [math]\psi''(x)=0[/math], die Kurve [math]\psi(x)[/math] hat einen Wendepunkt.

Randbedingung

Die Zustandsfunktion muss für große und kleine Werte von x gegen Null streben, sonst ist sie nicht normierbar. Die Fläche unter [math]\psi^2[/math] muss Eins betragen.

Links

• Ein intuitiver Zugang zur Schrödingergleichung (Dr. Josef Küblbeck)