Die Energie des elektrischen Feldes

Die Betrachtungen zur Energie des elektrischen Feldes führt man am Beispiel eines idealen Plattenkondensators durch. Dadurch sind die Ergebnisse auch auf alle homogenen Felder übertragbar. Bei inhomogenen Feldern muss man einen hinreichend kleinen Raumausschnitt wählen, in dem das Feld annähernd homogen ist.

Energiegehalt des elektrischen Feldes eines Kondensators

Man lädt einen idealen Plattenkondensator auf und betrachtet die dazu benötigte Energiemenge.

Entweder integriert man zeitlich über die Energiestromstärke: [math]E_{el}=\int_0^\infty \dot E\, dt=\int_0^\infty U\, I\, dt[/math] Dazu muss man aber den genauen zeitlichen Verlauf von Spannung und Stromstärke kennen, was die Beschreibung mit einer DGL nach sich zieht.

Deshalb integriert man einfacher über die hineinfließende Ladung, für deren Transport auf die Platten man je nach Spannung mehr oder weniger Energie benötigt. (Die Spannung ist das Beladungsmaß und die Ladung der Energieträger.)

[math]E_{el}=\int_0^{Q_{max}} U(Q)\,dQ[/math]

Bei einem idealen Kondensator steigt die Spannung mit der Ladung linear an ( [math]U=\frac{1}{C}\, Q[/math]), die Kapazität ist ja konstant. Das Integral entspricht einer Dreiecksfläche:

[math]E_{el}=\int_0^{Q_{max}} \frac{1}{C}\, Q\,dQ = \frac{1}{C} \left[\frac{1}{2}\, Q^2\right]_0^{Q_{max}} =\frac{1}{2} \, \frac{1}{C}\, Q_{max}^2=\frac{1}{2} \, \frac{1}{C}\, C^2\, U_{max}^2 [/math]

[math]E_{el}=\frac{1}{2}\, \frac{1}{C}\,Q^2=\frac{1}{2}\,C\,U^2[/math]

Die Formel hat die gleiche Struktur wie die Energie einer stromdurchflossenen Spule!

Die Energiedichte des elektrischen Feldes

Nimmt man eine idealisierten geladenen Kondensator, so kann man eine quantitative Aussage über die Energiedichte machen.

Der Kondensator habe die Fläche A, den Plattenabstand d und sei mit einer Spannung von U geladen.

Ein idealisierter Kondensator hat ausschließlich im Inneren ein elektrisches Feld. Das Feldvolumen beträgt daher:

[math]V=A\,d[/math]

Die Energiemenge beträgt [math]\frac{1}{2} \, C \, U^2[/math], mit [math]C = \epsilon_0 \epsilon_r \frac{A}{d}[/math] :

[math]E_{el}=\frac{1}{2} \, \epsilon_0 \epsilon_r \, \frac{A}{d} \, U^2 [/math]

[math]\frac{E_{el}}{V}= \rho_{el} = \frac{1}{2} \, \epsilon_0 \epsilon_r \, \frac{U^2}{d^2}[/math]

[math]\rho_{el} =\frac{1}{2} \, \epsilon_0 \epsilon_r \, E_{el}^2[/math]

Die Formel hat die gleiche Struktur wie die Energiedichte des magnetischen Feldes!