Methodos: Themenübersicht Mathe

Eine Zusammenstellung der mathematischen Themen bis zum Abitur.

Die Abfolge entspricht den Kapiteln aus "Steps to the peak - Mein eigener Weg zum Mathe-Abi" von Dieter Markert.

Ergänzungen, die durchaus sinnvoll sein können, sind [in eckige Klammern] gesetzt.

Grundlagen

Algebra-Rechentechniken

Rechenausdrücke | Terme Grundlagen

"Das Doppelte von 5 und 3"
"Die Zahl zuerst mit 2 multiplizieren, dann 6 addieren 
 und das Ergebnis mit sich selbst multiplizieren."

• Vokabeln:

Addition: Summand plus Sumand ist die Summe

Subtraktion: Minuend minus Subtrahend ist die Differenz

Multiplikation: Faktor mal Faktor ist das Produkt

Division: Dividend (Zähler) durch Divisor (Nenner) ist der Quotient

"hoch": Basis hoch Exponent (Hochzahl) ist die Potenz

• Rechenvorfahrtsregeln (Reihenfolge): Klammer vor hoch vor Punkt vor Strich

Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Distributivgesetz (Ausmultiplizieren und Ausklammern)

• Terme mit und ohne Variablen

Bruchrechnung

"1/4 l oder 0,25 l"
"The table is 3 feet, 7 5/8 Inches long."
"5/8 Inches and 1/16 Inch."

• Erweitern und Kürzen
• Brüche und Dezimalzahlen
• Addieren, Subtrahieren: gleicher Nenner
• Multiplizieren, Dividieren von Brüchen

Potenzen

"Ein Blatt Papier ist nur 0,1 mm dick."
"Meine Festplatte hat einen TeraByte Speicherkapazität."

• 10er Potenzen, wissenschaftliche Schreibweise
• Rechenregeln: gleiche Basis, gleicher Exponent
• negative Hochzahlen

Wurzeln

"Das quadratische Zimmer hat eine Fläche von Zehn Quadratmetern."
"In den Würfel sollen 4 Liter Wasser passen."

• Quadratwurzeln
• Höhere Wurzeln
• Wurzeln als Potenzen mit gebrochenen Hochzahlen

Terme für Fortgeschrittene

• binomische Formeln
• Faktorisierung

Gleichungen

Zahlentypen

"Du hast 3 Äpfel und ich 4 Birnen."
"Mein Konto ist 300€ im Minus."
"In der Flasche ist ein 3/4l Wasser drin."
"Wie lang ist wohl die Diagonale des Quadrats?"

• natürliche Zahlen
• ganze Zahlen
• Rationale Zahlen, Brüche
• Irrationale Zahlen
• (Komplexe Zahlen)

Gleichungen Grundlagen

"Anna ist drei Jahre älter als Bernd."
"Wenn du die Zahl verdoppelst, drei dazu zählst, und das Ergebnis quadrierst,
 dann kommt 144 heraus!"

• Lineare Gleichungen
• Äquivalenzumformungen
• (Schnittpunkte von Graphen und Nullstellen)
• Quadratische Gleichungen, abc-Formel/pq-Formel, Lösungsmenge

Gleichungen für Fortgeschrittene

• Satz vom Nullprodukt: Ausklammern und Faktorisieren
• Potenzgleichungen
• Grad 3 und mehr
• Substitution
• Bruchgleichungen
• (Exponentialgleichung)

Lineare Gleichungssysteme

"Anna und ihre zwei Jahre jüngere Schwester Beatrix sind zusammen 28 Jahre alt."
"Auf dem Bauernhof zählt Tim 50 Köpfe und 116 Beine der dort rumlaufenden Hühner und Schweine."

• Gaußscher Algorithmus
• Lösungsmengen: eine Lösung, keine Lösung, unendlich viele Lösungen

Funktionen

Hier würde ich die Reihenfolge des Buchs etwas ändern und das Grundwissen zu Funktionen vor den Geraden bearbeiten.

Zuordnungen und Funktionen Grundlagen

"Das Fahrrad ist blau."
"Die Äpfel kosten 3€ das Kilo."

• Pfeildarstellung mit Mengen
• Wertetabelle
• Graph im Koordinatensystem
• Funktion als eindeutige Zuordnung, Funktionsgleichung mit Definitionsbereich

Lineare Funktionen

"Die Abzüge der Fotos kosten 0,13€ pro Foto und 0,65€ pro Bestellung."

• Gerade als Graph
• Hauptform, Punkt-Steigungs-Form
• Gleichungen: Schnittpunkte von Geraden, Schnitte mit x- und y Achse

Funktionen allgemein

• Weitere Funktionstypen: quadratische Funktionen, (Wurzelfunktionen), Potenzfunktionen, ganzrationale Funktionen, Kehrwertfunktion, gebrochen rationale Funktionen, Exponentialfunktionen, (Logarithmus), Winkelfunktionen: Sinus, Cosinus, Tangens
• Gleichungen: Schnitte von Graphen, Nullstellen

Verschieben, Strecken und Spiegeln von Graphen

• Verschieben nach Oben und Unten
• Spiegeln an der x-Achse
• Strecken und Stauchen
• Verschieben nach rechts und links
• Spiegeln an der y-Achse
• Das Verketten von Funktionen würde ich hier noch nicht bearbeiten, kommt später nochmal. (S.63)

Verhalten für große x

• waagrechte Asymptoten
• kommt speziell für gebrochen rationale Funktionen später nochmal (S.80)

Symmetrie von Graphen und Funktionen

• Achsen- und Punktsymmetrie zum Ursprung
• ganzrationale Funktionen: gerade und ungerade Hochzahlen

[Dreisatz/Proportionalität]

"2kg Äpfel kosten 6€, was kosten 3kg Äpfel?"
"Die Jacke kostet 120€, ist aber 15% reduziert!"

• Prozentrechnung: Zinsen, Grundwert, Prozentwert, Prozentsatz

[Geometrie Grundlagen]

• Punkt, Gerade, Kreis
• Dreiecke: gleichschenklig, gleichseitig, rechtwinklig
• Fläche von Dreiecken
• Vierecke: Quadrat, Rechteck, Parallelogramm, Trapez,...
• Fläche von Vierecken
• Achsensymmetrie, Achsenspiegelung
• Punktsymmetrie, Punktspiegelung
• Winkel: Nebenwinkel, Stufenwinkel, Wechselwinkel
• Winkelsumme im Dreieck und Viereck

Analysis

Differentialrechnung / Ableiten / Änderungsrate

Graphisches Ableiten

"Ich fahre jetzt mit 20 km/h."
"Es fließen 3 Liter Wasser pro Sekunde in den Eimer."
"Aus dem Stausee fließen pro Sekunde 12 Kubikmeter Wasser raus."

• Steigung einer Kurve, Tangente
• monoton steigend und fallend
• Extremstellen: Maximum- und Minimumstelle
• Extremwerte: Maximum und Minimum
• Extrempunkte: Hoch- und Tiefpunkt
• Wendestelle
• Wendepunkt
• Sattelpunkt
• NEW-Regel

f   N E W
f'    N E W
f' '    N E W

Ableitungsfunktion / Ableitungsregeln

• Potenzregel
• Faktorregel
• Summenregel
• Ableitung von Sinus und Cosinus
• Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion, Logarithmus

Tangente und Normale

• Tangentengleichung
• Normalengleichung
• Tangente von außerhalb an den Graphen

Höhere Ableitungen

• Zweite, dritte Ableitung
• Krümmung des Graphen
  • Linkskurve: Erste Ableitung steigt, zweite Ableitung positiv
  • Rechtskurve: Erste Ableitung fällt, zweite Ableitung negativ

Extrem- und Wendepunkte

• Extremstellen: waagrechte Tangente, erste Ableitung Null
  • Maximumsstelle: Linkskurve
  • Minimumstelle: Rechtskurve
• Wendestellen: keine Krümmung, zweite Ableitung Null
  • von Links- zu Rechtskurve: zweite Ableitung steigt, dritte Ableitung positiv
  • von Rechts- zu Linkskurve: zweite Ableitung fällt, dritte Ableitung negativ

Kettenregel

• Verkettung von Funktionen
• Kettenregel

Produktregel

• Produktregel
• Produkt- und Kettenregel mischen

Rationale Funktionen

Quadratische Funktionen

• Parabeln als Graph
• Funktionsgleichung: Normalform, Produktform, Scheitelform
• Scheitelpunkt finden
• Nullstellen berechnen
• Aufstellen von Produkt- und Scheitelform

Ganzrationale Funktionen / Polynomfunktionen

• Normalform, Produktform
• Grad der Funktion
• Nullstellen finden
• Produktform aufstellen
• Hoch-, Tief-, Wendepunkte bestimmen
• Symmetrien

Aufstellen von Funktionsgleichungen

• allgemeine Funktionsgleichung
• Bedingungen finden
• Lineares Gleichungssystem lösen

Gebrochen-rationale Funktionen

• Definitionslücken, Polstellen, senkrechte Asymptoten
• waggrechte Asymptoten

Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen (Optimierung)

• senkrechter Abstand zweier Graphen
• Abstand Punkt-Graph
• geometrische Figuren in Graphen
• allgemeines Kochrezept
  • Ausprobieren
  • Term mit mehreren Variablen aufstellen
  • Nebenbedingungen finden
  • Zielfunktion aufstellen
    • Nebenbedingungen auflösen
    • in den Term einsetzen
    • Definitionsbereich finden
  • Max / Min der Ziefunktion berechnen
  • Interpretation

Exponentielles Wachstum / Exponentialfunktionen

"Ich lege die 1000€ mit 3% Zinsen für fünf Jahre an."
"Plutonium 239 hat eine Halbwertszeit von 24110 Jahren."

[Exponentialfunktionen Grundlagen]

• lineares Wachstum
• quadratisches Wachstum
• Zinseszinsen, exponentielles Wachstum
• Funktionsgleichung: Anfangswert, Wachstumskonstante
• Exponentieller Zerfall
• Exponentialfunktion
• Exponentialgleichungen, Logarithmus

[Die Eulersche Zahl e]

• e = 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 …
• Graph der Exponentialfunktionen
• Ableitung oder stetige Verzinsung

Exponentialgleichungen

• natürlicher Logarithmus
• Substitution, Ausklammern

Exponentialfunktionen

• Graph, Asymptoten
• Ableitungen
• Summen, Produkte und Potenzen von Exponentialfunktionen
• Berechnung von Hoch-, Tief-, Wendepunkten
• Schnitte mit Achsen

Exponentielles Wachstum

• lineares Wachstum
• quadratisches Wachstum
• exponentielles Wachstum
• Funktionsgleichung: Anfangswert, Wachstumsfaktor
• Verdopplungszeit, Halbwertszeit
• Die Differentialgleichung ist nur Thema bis Abi 2018

Beschränktes Wachstum

• Funktionsgleichung: Sättigungsgrenze, Anfangswert, Sättigungsmanko, Wachstumsfaktor (immer positiv)
• Die Differentialgleichung ist nur Thema bis Abi 2018

Winkelfunktionen (Sinus, Cosinus, [Tangens])

"Wie breit ist der Vollmond in einer Woche?"
"Wie lang ist mein Schatten morgens und mittags?"
["Die Straße hat eine Steigung von 12%!"]

Rechtwinklige Dreiecke

• Hypotenuse, Katheten
• Satz des Pythagoras
• Sinus, Cosinus, [Tangens]

Winkelfunktionen im Bogenmaß

• [Einheitskreis: Sinus, Cosinus, [Tangens] für Winkel größer als 90°]
• [Bogenmaß eines Winkels]

Verschieben, Strecken und Stauchen der Sinusfunktion

• Amplitude, Periode
• allgemeine Funktionsgleichung

Funktionenscharen

• Parameter
• Ortskurve von Hoch-, Tief- oder Wendepunkten

Integralrechnung

[Integrieren durch Flächenberechnung]

• Berechnung von zurückgelegtem Weg im Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm
• Integrieren als Umkehrung des Differenzierens (Ableitens)
• Integralfunktion

Stammfunktionen zeichnen

• Zeichnerische Bestimmung
• eine Funktion hat eine Ableitung, aber viele Stammfunktionen

Stammfunktionen berechnen

• unbestimmte Integrale
• Unbestimmtheit durch additive Konstante
• Stammfunktionen von
  • Potenzfunktionen
  • Exponentialfunktion
  • Kehrwertfunktion
  • Sinus, Cosinus
• Faktor- und Summenregel

Lineare Substitution

• Stammfunktion bei Verkettung von einfachen linearen Funktionen,

wie z.B. [math]\sin(3\, x + 2) [/math]

bestimmte Integrale berechnen

• Grenzen des bestimmten Integrals
• Hauptsatz der Differential-Integralrechnung (HDI)

Flächeninhalte

• Zwischen Graph und x-Achse
  • Oben plus, unten Minus
  • Nullstellen als Grenzen des Integrals
• Zwischen zwei Graphen
  • Vorzeichen der Fläche
  • Schnittstellen als Grenzen des Integrals

Integralfunktionen

• linke Grenze fest, rechte variabel
• Rekonstruktion eines Bestandes
• Berechnung der Wegstrecke aus der Geschwindigkeit

Rotationskörper

Ist nur Teil des Abi 2018!

• rotationssymmetrische Körper: runde Flaschen, Kugel, Zylinder, Kegel,...
• Randfunktion rotiert
• Berechnungsformel

Mittelwert von Funktionswerten

• krummlinige Fläche als Rechteck
• Rechteckfläche ist Breite mal Höhe
• Berechnungsformel

Analytische Geometrie

Vektoren und Geraden

Vektoren als Pfeile (Orts- und Verbindungsvektoren)

• Punkte, Ursprung als Basis
• Verbindungsvektoren als Weg von einem Punkt zum anderen
• Addition durch Aneinanderlegen
• Multiplikation mit einer Zahl, Parallelität
• [Einheitsvektoren]
• Ortsvektor zeigt auf Punkte vom Ursprung
• Mittelpunkt einer Strecke

Rechnen mit Vektoren

• dreidimensionales Koordinatensystem: [math]x, y, z[/math] oder [math]x_1, x_2, x_3 [/math]
• Vektoren mit drei Koordinaten übereinander
• Punkte mit drei Koordinaten nebeneinander
• Addieren, Subtrahieren
• Multiplikation mit einer Zahl, Parallelität
• Skalarprodukt zweier Vektoren
• Länge (Betrag), [Einheitsvektoren], Abstand zweier Punkte

Winkel zwischen Vektoren

• senkrechte Vektoren
• Skalarprodukt mit [math]\cos (\alpha)[/math]
• Winkelberechnung des kleineren Winkels mit [math]|\vec a \cdot \vec b|[/math]
  • oder auch stumpfe Winkel ohne Betrag

Parameterform einer Geraden

• Stützpunkt / Stützvektor
• Richtungsvektor
• Koordinaten- und Punktform
• Punktprobe
• Aufstellen von Geraden

Lage einer Geraden

• Schnittpunkte mit Koordinatenebenen
• Parallelität zu Achsen oder Koordinatenebenen
• Projektion einer Geraden auf eine Koordinatenebene (nötig?)

Lage zweier Geraden

• identisch, parallel, sich schneiden, windschief
• Schnittpunkt berechnen

Ebenen

Parametergleichung einer Ebene

• Stützpunkt, Stützvektor
• zwei Spannvektoren
• Ebene durch drei Punkte

Normalenform einer Ebene

• Normalenvektor
• von der Parametergleichung zur Normalenform
• Vektorprodukt / Kreuzprodukt zweier Vektoren

Koordinatenform einer Ebene

• von der Normalenform zur Koordinatenform
• Spurpunkte: Schnitte mit den Achsen
• Lage der Ebene im Raum: Parallelität zu Achsen oder Koordinatenebenen
• [Zeichnen von Ebenen im Koordinatensystem]

Lage von zwei Ebenen

Die Lage von drei Ebenen ist nicht Abiturstoff

• identisch, parallel, sich schneiden
• Schnittgerade berechnen
• Winkel zwischen Ebenen

Ebenen und Geraden

• Lage von Ebene und Gerade
• Schnittpunkt berechnen
• (Punkt an Ebene spiegeln)
• Winkel Gerade-Ebene

Abstände

Abstand Punkt-Ebene

• Hessesche Koordinatenform (Hesse-Form)
• [Hessesche Normalenform]
• Abstand parallele Gerade-Ebene
• Abstand paralleler Ebenen

Abstand Punkt-Gerade

• zur Geraden senkrechte Hilfsebene
• Schnittpunkt und Abstand Punkt-Ebene
• Abstand paralleler Geraden
• Höhe eines Dreiecks (geht schneller mit dem Kreuzprodukt)
• (Punkt an Gerade spiegeln)

Abstand windschiefer Geraden

• Hilfsebene durch eine, parallel zur anderen Geraden
• Abstand Stützpunkt-Hilfsebene

Spiegelungen

• Punkt an Ebene
• Punkt an Gerade

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Zufallsexperimente

"Glück im Spiel - Pech in der Liebe!"
"Dein Würfel ist gezinkt!"
"Ich hab' drei Asse!"
"Bei 'Siedler von Catan' kommt der Räuber am häufigsten."

• [absolute und relative Häufigkeiten]<nowiki> *<nowiki>[Wahrscheinlichkeit: "Gesetz" der großen Zahlen]
• Laplace-Experimente
  • günstige und mögliche Ergebnisse
• Schreibweise: [math]P(X = \textrm{gerade}) = \frac{1}{2}[/math] , Zufallsvariable X
• Wahrscheinlichkeitsverteilung
• Gegenereignis
• "mindestens", "höchstens"

Baumdiagramme

"Beim 'Mensch-ärgere-dich-nicht' komme ich nie aus dem Häuschen."
"Die Chance im Lotto zu gewinnen ist kleiner als die vom Blitz erschlagen zu werden!"

• mehrstufige Zufallsexperimente
• Pfadregel (Produktregel) bei "und"
• Summenregel bei "oder"
• Ziehen mit/ohne Zurücklegen
• Gegenereignis

Erwartungswert

"Ich setze beim Roulette 100€ auf 'Rot'. Wenn ich gewinne, bekomme ich 200€ zurück, das ist fair!"

• (un)faire Spiele

Binomialverteilung

"In jedem 7. Ei steckt ein Schlumpf. Ich kaufe gleich 100 Eier!"

• Bernoulli-Experimente (Bernoulli-Kette der Länge n)
• Binomialkoeffizient "n über r", WTR|GTR: nCr
• Formel für r Treffer bei n Versuchen (Binomialverteilung)
• Erwartungswert der Binomialverteilung

kummulierte Wahrscheinlichkeiten

"Ich will aber auf jeden Fall 20 Schlümpfe haben!"

• "höchstens" r Treffer, WTR|GTR: binomial cdf
• "mindestens" r Treffer, Gegenwahrscheinlichkeit zu "höchstens"

Einseitiger Test von Hypothesen

"In meinen 100 Eier waren nur 12 Schlümpfe drin! In den Eiern sind wahrscheinlich zu wenige Schlümpfe!"

• Stichprobenumfang, Signifikanzniveau
• Nullhypothese, Gegenhypothese
• linksseitiger Test, Ablehnungsbereich rechts (zu viel)
• rechtsseitiger Test, Ablehnungsbereich links (zu wenig)
• Annahmebereich
• Irrtumswahrscheinlichkeit