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Mathematische Beschreibung des Doppelspalts (eine Formel:)

Man geht davon aus, dass von jeder Spaltmitte aus sich eine Elementarwelle ausbreitet. Damit erhält man genau die gleiche Situation wie bei der Zwei-Quellen-Interferenz von Schallwellen. Nun will man die Überlagerung berechnen, genauer, die Überlagerung an einer Stelle des Schirms.

Die betrachtete Stelle [math]P[/math] ist um [math]a[/math] aus der optischen Achse verschoben und [math]L[/math] vom Doppelspalt entfernt. Der Schirm befindet sich im Abstand [math]l[/math] vom Doppelspalt.
Die Spaltmitten haben einen Abstand [math]d[/math] voneinander und [math]\Delta s[/math] ist der Gangunterschied der beiden Strahlen.

An der Stelle [math]P[/math] überlagern sich zwei Schwingungen gleicher Frequenz, aber evt. unterschiedlicher Phase .

Die Phasenverschiebung hängt direkt mit dem Unterschied der Weglänge der Elementarwellen von den Spalten bis zur Stelle [math]P[/math], dem sogenannten Gangunterschied [math]\triangle s[/math] zusammen. Ist z.B. [math]\triangle s = 2 \ \lambda[/math], so ist die Phasenverschiebung [math]2\cdot 2\pi[/math] und die Amplitude der Schwingung ist groß ("konstruktive Interferenz"). Ist [math]\triangle s = 1{,}5 \ \lambda[/math], so ist die Phasenverschiebung [math]1{,5}\cdot 2\pi[/math] und die Amplitude der Schwingung ist null("destruktive Interferenz").

In der weiteren Rechnung nimmt man vereinfachend an, dass die Strecken [math]S_1 P[/math] und [math]S_2 P[/math] parallel sind, was für einen "großen" Abstand zwischen Schirm und Spalt gerechtfertigt ist, denn dann ist [math]L[/math] wesentlich größer als [math]d[/math]. Diese Näherung wird auch "Fernfeld-Näherung", "Fraunhofer-Näherung" oder "Fraunhofer-Beugung" genannt. Dann sind die beiden rechtwinkligen Dreiecke [math]S_1 R S_2[/math] und [math]M O P[/math] ähnlich, denn sie haben gleiche Winkel. Demnach gilt:

[math]\frac{\triangle s}{d} = \frac{a}{L} = \sin(\alpha)[/math]

Weil man den Abstand [math]L[/math] schlecht messen kann, [math]l[/math] aber gut, kann man [math]L[/math] entweder mit dem Satz des Pythagoras berechnen oder man setzt bei "kleinem" Winkel [math]\alpha[/math] auch einfach [math]l \approx L[/math] als Näherung ein:

[math]\sin(\alpha) = \frac{\triangle s}{d} = \frac{a}{L} =\frac{a}{\sqrt{a^2+l^2}}\approx \frac{a}{l} \qquad \triangle s: \text{Gangunterschied zu den ''Spaltmitten''}[/math] [math]\triangle s = k \ \lambda \qquad \qquad \text{konstruktive Interferenz: Maximum k-ter Ordnung (k= 0,1,...)}[/math] [math]\triangle s = k \ \lambda - 1/2 \ \lambda \quad \text{destruktive Interferenz: Minimum k-ter Ordnung (k= 1,2,...)}[/math]