Messunsicherheit und Fehlerrechnung

Systematische und zufällige Messfehler

• Jede Messung ist nur eine Annäherung an den wahren Wert einer Größe.
• Dabei entstandene Messfehler teilt man in systematische und zufällige Fehler ein.

Bei zufälligen Fehlern geht man davon aus, dass die Messwerte um den korrekten Wert schwanken. Bei einem systematischen, z.B. durch einen falschen Versuchsaufbau verschieben sich die gemessenen Werte um einen Betrag. Sie sind schwer zu korrigieren. Zufällige Fehler werden durch Schwankungen der Messgröße, der Messgeräte, der Umwelt, durch den Beobachter etc. verursacht. Sie sind unvermeidbar, können aber abgeschätzt und durch Wiederholung verringert werden. Dazu verwendet man die Statistik.

• Graphische Veranschaulichung der Fehlertypen.

Angabe von Messfehlern

• Als absolute Angabe mit Einheiten: [math]l=2m (\pm 0,01m) \qquad \qquad l = l_0 \pm \Delta l[/math]
• Als relative Angabe ohne Einheiten: [math]l=2m (\pm 0,05)(\pm 0,5%) \qquad \qquad (\pm \frac{\Delta l}{l})[/math]
• Mit Hilfe von geltenden Ziffern, wobei nur die letzte Ziffer fehlerbehaftet ist: [math]l=2,000m[/math]

Statistische Beurteilung von zufälligen Fehlern

• Dazu müssen eine möglichst große Anzahl von [math]N[/math] Messungen der gleichen Größe [math]x[/math] durchgeführt werden.

Gaußsche Glockenkurve

• Häufig kann man annehmen, dass die Messwerte normalverteilt sind, die Häufigkeiten also der Gaußschen Glockenkurve entsprechen.
• Der Verlauf der Kurve und damit die Messwerte werden durch die Angabe des Mittelwerts ([math]\bar x[/math]) und der Standardabweichung ([math]s[/math] oder [math]\sigma[/math]) vollständig festgelegt. Der Mittelwert gibt den Ort des Maximums an, die Standardabweichung gibt die Stellen der Wendepunkte an.

[math]\bar x = \frac{\sum_{i=1}^N x_i}{N} \qquad \sigma = s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^N (\bar x - x_i)^2}{N-1}}[/math]

Gausskurve mit Vertrauengrenzen

• Die Standardabweichung der Messwerte gibt an, wie genau die Messungen waren. Kleine Abweichung = Genaue Messung. Man kann damit auch die Wahrscheinlichkeit angeben, dass ein Messwert innerhalb eines Bereichs liegt.

Maximale absolute Abweichung | Wahrscheinlichkeit
            s                |    68% (ca. 2/3)
          2 s                |    95%
        2,5 s                |    99%

• Für das Gesamtergebnis ist aber nicht der einzelne Messwert, sondern der Mittelwert interessant. Für den Mittelwert gibt es auch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung mit einer anderen Glockenkurve. Daraus ergibt sich die Standardabweichung des Mittelwertes [math]s_M[/math]. Sie ergibt eine Abschätzung für den Fehler des Mittelwertes und wird als Fehler der Messung angegeben! Je mehr Messungen durchgeführt werden, desto kleiner die Standardabweichung.

[math]s_M = \frac{s}{\sqr{N}}[/math]

Beispielmessung einer Raumgröße

Die Länge eines Raumes wird von 12 Personen je einmal mit Hilfe eines Zollstocks gemessen.

Messergebnisse in Metern:
10,5  | 11,04  | 11,06 | 11,09 | 11,07  | 11,09 |
11,05 | 10,7   | 11,07 | 11,00 | 11,045 | 11,64 |

Mittelwert: 11,03 m
Standardabweichung der Messwerte:   0,265 m
Standardabweichung des Mittelwerts: 0,077 m

Endergebnis: l = 11,03 m (+- 7,7 cm)

Fehlerfortpflanzung

• Häufig werden eine oder mehrere fehlerbehaftete Ergebnisse verwendet, um ein Gesamtergebnis zu berechnen, das natürlich auch fehlerbehaftet ist. Man spricht von Fehlerfortpflanzung.

Summen und Differenzen

• Die absoluten Fehler addieren sich.

Beispiel: Es wird die Dicke eines Blatt Papiers zu [math]0,2 mm (\pm 0,01mm)[/math] bestimmt. Für die Dicke von 50 Blättern ergibt sich: [math]10mm (\pm 0,5 mm)[/math]

Produkte und Quotienten

• Die relativen Fehler addieren sich.

Beispiel: Zur Bestimmung der Geschwindigkeit wurde die Strecke und die Zeit gemessen:

[math]s = 5 m (\pm 0,01 m) (\pm 0,002) (\pm 0,2%)[/math]

[math]t = 2 s (\pm 0,1 s) (\pm 0,05) (\pm 5%)[/math]

[math]v=\frac{s}{t}= 2,5 m/s (\pm 0,052)(\pm 5,2%)[/math]

Aus dem relativen Fehler ist es nun auch möglich wieder den absoluten Fehler zu berechnen.

Potenzen und Wurzeln

• Die relativen Fehler werden mit der Potenz gewichtet und addiert.

Beispiel: Bestimmung der Periodendauer eines Pendels.

[math]T = 2\Pi \frac{\sqrt{l}}{\sqrt{g}} = 2\Pi \frac{l^{1/2}}{g^{1/2}}[/math]

[math]l = 0,6m (\pm 0,1%)[/math]

[math]g = 9,81 m/s^2 (\pm 0,01%)[/math]

Die relativen Messfehler werden nun mit 1/2 gewichtet (multipliziert) und addiert:

[math]T = 1,5539 s (\pm 0,055%)[/math]

In diesem Fall ist also der Gesamtfehler kleiner als der größte Einzelfehler!

Links

Graphische Veranschaulichung der Fehlertypen.