Zustandsfunktion, Superpositionsprinzip und Wahrscheinlichkeitsinterpretation beim Doppelspalt (Zeigermodell)

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(Kursstufe > Quantentheorie nach Schrödinger (Wellenfunktion) und Feynman (Pfadintegrale))

Bisher haben wir die Welleneigenschaften von Teilchen, wie zum Beispiel Elektronen, an der Interferenz in einem Kristallgitter nachweisen können. Noch übersichtlicher ist die Situation beim Doppelspalt. Wenn Teilchen wirklich auch Welleneigenschaften haben, was passiert, wenn ein Elektronenstrahl auf einen Doppelspalt trifft? Dieses Experiment wurde 1961 von C. Jönsson durchgeführt.

Aufbau

Ein Elektronenstrahl trifft auf einen Doppelspalt. Die Spaltbreite betrug [math]0,5 \rm \mu m[/math] und der Spaltabstand [math]2 \rm \mu m[/math]. Hinter dem Doppelspalt befindet sich ein Schirm mit einer Photoschicht, welche die Abbildung der auftreffenden Teilchen ermöglicht. Im Strahlengang der Elektronen befinden sich mehrere "Linsen" aus elektrischen Felder, ähnlich wie bei einem Elektronenmikroskop.

Beobachtung
Interferenzmuster eines Doppelspaltexperiments mit wachsender Anzahl N der am Schirm angekommenen Elektronen:   b:N= 200,  c:N= 6 000,  d:N= 40 000,  e:N= 140 000 Elektronen

Auf dem Schirm erkennt man helle und dunkle Streifen. Die hellen Streifen bestehen aus vielen hellen Punkten, bei den dunklen Streifen liegen die Punkte weniger dicht.

Erklärung

Man betrachtet das Elektron einmal im Wellenmodell, dann wieder im Teilchenmodell: (Welle-Teilchen-Dualismus):

Im Wellenmodell:

Man kann dem Elektron nach de Broglie eine Wellenlänge aufgrund seines Impulses zuordnen. Damit berechnet man, wie bei der Interferenz von Wellen, die Intensität an verschiedenen Stellen des Schirms.

Im Teilchenmodell:

Jedes Elektron, das auf die Fotoplatte trifft, hinterläßt einen hellen Punkt. Ist die nach dem Interferenzmuster berechnete Intensität groß, so treffen dort viele Elektronen pro Fläche auf.

Der Wechsel zwischen den Modellen birgt aber Probleme in sich.

Einmal widersprechen sich die beiden Modelle in sich. Eine Welle besteht aus Schwingungen, die sich im Raum ausbreiten. Sie hat also eine Ausdehnung im Raum, eine Frequenz, eine Wellenlänge und eine Amplitude. Ein klassisches Teilchen, etwa ein Sandkorn, hat einen definierten Aufenthaltsort und keine Welleneigenschaften.

Weiterhin bedeutet dies für ein einzelnes Teilchen, dass es eine gewisse Wahrscheinlichkeit gibt an einer gewissen Stelle des Schirms aufzutreffen. Damit hat man grundsätzlich die Vorhersagbarkeit des Vorgangs aufgegeben und den Zufall in die Physik eingeführt!


Ein-Teilchen-Experimente

Die Teilchen werden einzeln abgeschossen, trotzdem entsteht ein zusammenhängendes Muster. In der Geschichte der Physik hat man sich lange Zeit darüber gestritten, ob das echter Zufall ist. Die Wahrscheinlichkeit des Auftrittsortes lässt sich mathematisch bestimmen. Dazu wird eine eine ortsabhängige Wellenfunktion [math]\psi[/math] aufgestellt. Das Betragsquadrat der Wellenfunktion gibt die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Quantenobjektes an.


NEU

Im folgendem soll der Doppelspaltversuch auf eine andere Art und Weise neu interpretiert werden.

  • Aufgrund der Schwierigkeiten des Wellen-Teilchen-Dualismus fassen wir Wellen und Teilcheneigenschaften zu Quanteneigenschaften zusammen.
Quanten sind weder Teichen noch Wellen, sondern etwas Neues!
  • Die Wellenfunktionen, bzw das Interferenzmuster, welches einem Quant zugeordnet wird, sind deterministisch und werden zur Berechnung der Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Quants benutzt. Der Aufenthaltsort des Quants ist unbestimmt, solange man nicht misst.

Berechnung der Wahrscheinlichkeitsdichte beim Doppelspalt

Wir möchten wissen, wie hell der Schirm an einer bestimmten Stelle ist, also wie groß die Intensität ist. Dazu berechnen wir die Anzahl der Quanten pro Zeit, bzw. die Wahrscheinlichkeitsdichte. Diese Berechnung verläuft vollkommen analog zur Berechnung der Intensität beim Doppelspalt mit Wellen.

Doppelspaltversuch;Quant.JPG vergrößern Doppelspaltversuch;Quant.JPG

Wellenzüge werden Zustände

Bei Wellen spricht man von zwei Wellenzügen, die auf dem Schirm interferieren. Bei Quanten von zwei möglichen Zuständen, die das Quant einnehmen kann. (Denn der Doppelspaltversuch klappt auch mit einzelnen Photonen!)

Ein Zustand ist die Wellenfunktion, welche durch den einen Spalt verläuft. Der andere Zustand wird durch eine Wellenfunktion durch den anderen Spalt beschrieben. Ein Zustand beschreibt also einen möglichen Verlauf in Raum und Zeit, nicht einen Ort zu einem Zeitpunkt!

Die Zustände eines Quants werden hier durch die Wellenfunktionen [math]\Psi(x,t)[/math] einer ebenen Welle beschrieben. Die Wellenfunktion ordnet jedem Punkt einen sich drehenden Zeiger zu, deshalb hängt der Zeiger [math]\Psi[/math] vom Ort x und der Zeit t ab.

Bei einer Welle dient die Zeigerdarstellung nur der einfacheren Darstellung. Von einem Zeiger wird die y-Komponente als Elongation betrachtet. Bei der Zustandsfunktion eines Quants kann man dagegen von den Zeigern nichts weglassen oder projizieren!

Bild:Ebene_Welle_Zeigerdarstellung.png

Der Zustand eines Photons definiert sich durch die Emission des Photons aus der Lampe, dem Weg und dem Auftreffen auf dem Schirm. Ein Zustand ist also nicht fest in der Zeit, sondern beschreibt eine Möglichkeit, welchen Weg das Quant genommen haben könnte.

Amplitudenquadrat wird Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeitsdichte des Quants soll der Intensität des Interferenzmusters entsprechen. Weil die Intensität einer Welle proportional zum Amplitudenquadrat ist, legen wir die Wahrscheinlichkeit, ein Quant an einem bestimmten Ort zu finden, als [math]|\Psi|^2[/math], also das Quadrat der Zeigerlänge fest.

Interferenz wird Superposition

Die Wahrscheinlichkeitsdichte der "Überlagerung" am Schirm ist dann [math]|\psi_1+\psi_2|^2[/math]. Man muss die Zeiger addieren und dann das Quadrat der Länge bestimmen.

Bemerkungen zur quantentheoretischen Interpretation

Ob das Quant nun oben oder unten durchgeflogen ist weiss man nicht. Es hat natürlich nicht beides zugleich gemacht. Außerdem ist unser Unwissen darüber von Bedeutung. Siehe auch:(Der Quantenradierer (Welcher Weg Information))

Links

Doppelspalt



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