Aufgaben zur 1.Klausur

Messen

• Vorüberlegungen und Vereinfachungen (Gültigkeitsbereich)
• Aufstellen von Formeln
• Fehlerrechnung: Statistische, systematische Fehler und Fehlerfortpflanzung

Aufgabe1

Man läßt einen Wagen eine schiefe Ebene herabrollen und will die Abhängigkeit der Endgeschwindigkeit v von der Ausgangshöhe h untersuchen.

• Welche vereinfachenden Annahmen wird man wohl sinnvollerweise treffen? In welchen Fällen wird die gemachte Untersuchung deswegen keine brauchbaren Ergebnisse liefern?

Messergebnisse:
h in cm  | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60  |
v in m/s | 1,4| 2,1| 2,4| 2,8| 3,2| 3,45|

• Erstellen Sie eine Formel für die gesuchte Abhängigkeit.

Aufgabe2

Man verwendet ein Fadenpendel, um die Erdbeschleunigung zu bestimmen. Es wurde für die Fadenlänge l gemessen:

l in cm | 40,4 | 40,6 | 40,6 | 40,3 | 40,5 | 40,45 | 40,5 | 40,6 | 40,3 | 40,7 |

Und für 10 Schwingungen:

10 T in s | 12,85 | 12,79 | 12,81 | 12,93 | 12,68 | 12,73 | 12,75 | 12,90 | 12,62 |

• Bestimmen Sie aus den Daten einen Wert für die Erdbeschleunigung.
• Führen Sie eine Fehlerrechnung durch. Welche systematischen Fehler, die durch die statistische Betrachtung nicht berücksichtigt werden, könnten bei der Messung aufgetreten sein?

Lösung

• Für die Periodendauer eines Fadenpendels gilt für kleine Amplituden: [math]T = 2 \pi \sqrt{l/g}[/math] (Vgl. Das Fadenpendel)

Nach der Erdbeschleunigung aufgelöst ergibt sich:[math]g=4 \pi^2 \frac{l}{T^2}[/math]

Die Mittelwerte der Messungen ergeben:[math]\bar l = 0,40495 m[/math] und [math]\bar T = 1,278 s[/math]

Woraus sich die Erdbeschleunigung berechnet: [math]g = 9,782 m/{s^2}[/math]

• Um die Fehler der Längen- und Zeitmessungen zu bestimmen, kann man die Standardabweichung des Mittelwertes berechnen. (Vgl.Statistische Fehler) Es ergibt sich:

l = 0,40495 m +- 0,042 m (+- 1%)

T = 1,278 s +- 0,0034 s (+- 2,7 %)

Wegen [math]g=4 \pi^2 \frac{l}{T^2}[/math] geht der relative Fehler der Länge einfach und der relative Fehler der Periode doppelt ein und der gesamte relative Fehler beträgt 1% + 2 * 2,7% = 6,4%

• Gesamtergebnis: [math]g = 9,78 m/{s^2} \quad \pm 0,63 m/{s^2} \quad (\pm 6,4%)[/math]

• Systematische Fehler können bei der Zeitmessung von Hand durch die Reaktionszeit auftreten. Oder auch durch die gewählte Start- / Stopposition des Pendels.

Bei der Längenmessung kann das Metermass falsch geeicht sein. Oder alle Messungen sind durch ein systematisch schräges Ablesen von Oben oder Unten (Paralaxe) verfälscht.

Energie, Energieträger und Potential

Aufgabe1

Man erhitzt Wasser mit einem Tauchsieder, der eine Leistung von 300 Watt hat. Ziel der Messung ist es, die in das Wasser fließende Energie und Entropie zu bestimmen. Man erhält folgende Messergebnisse für den Temperaturverlauf für die Erwärmung von 400 g Wasser:

t  in  s | 0  | 60 | 120 | 180 | 240 | 300 | 360 | 420 | 480 | 540 | 600 | 660 |
[math]\vartheta[/math] in °C | 21 | 32 |  43 |  52 |  65 |  73 |  84 |  94 |  99 |  99 |  99 |  99 |

Danach sind nur noch 374 g Wasser im Behälter.

• Bestimmen Sie die spezifische Wärmekapazität von Wasser.
• Wieviel Entropie ist während des Erwärmungsvorgangs (bis 99°C) in das Wasser geflossen?
• Bestimmen Sie die Energiemenge (Verdampfungsenthalpie) und Entropiemenge, die nötig ist, um ein kg Wasser zu verdampfen.

Lösung

• Die Temperatur steigt bis zum Siedepunkt gleichmäßig an. Aus der Steigung läßt sich die spezifische Wärmekapazität bestimmen. Mit Hilfe des GTRs erhält man folgende Ausgleichsgerade:

[math]\vartheta(t) = 0,167\,^{\circ}\mathrm{C/s} \quad t + 22,49\,^{\circ}\mathrm{C}[/math]

[math]\Rightarrow c_W = \frac{300 \mathrm{J/s}}{0,167\,\mathrm{K/s} * 0,4\mathrm{kg}}= 4490 \mathrm{\frac{J}{K kg}}[/math]

• Zur Bestimmung der Entropiemenge muss man über die Änderungsrate der Entropie [math]\dot S = \dot E / T[/math] von 0s bis 480s integrieren.

[math]T(t) = 0,167\,\mathrm{K/s} \quad t + (22,49+273,15)\,\mathrm{K}[/math]

[math]\dot S(t) = \frac{300\mathrm{W}}{0,167\,\mathrm{K/s} \quad t + 295,64\,\mathrm{K}}[/math]

Das Integral kann man z.B. mit dem GTR berechnen. Man erhält 431 Ct als hineingeflossenene Entropiemenge.

• Für die Verdampfungsenthalpie folgt: [math]\triangle H_v = \frac{E}{m} = \frac{P t}{m} = \mathrm{\frac{300 W 180 s}{0,026 kg} = 2080 \, kJ/kg}[/math]

Die Verdampfungsentropie ergibt sich wieder als Integral über [math]\dot S = \dot E / T[/math], wobei hier die Temperatur konstant 373 K beträgt, weswegen das Integral ein Rechteck ist und sich somit die Entropiemenge einfacher berechnen läßt:

[math]\triangle S = \dot S \, t = \mathrm{ \frac{300 W}{373K} 180 s = 145 J/K[/math] (Für 400g)

Ergebnis:[math] \triangle_V S = \mathrm{5570 Ct/kg}[/math].

Mechanische Schwingungen

Begriffe

• freie, erzwungene (angeregte), (un)gedämpfte, harmonische Schwingungen
• Ruhelage
• Elongation
• Amplitude
• Periodendauer
• Frequenz
• Rückstellkraft