Aufgaben zu den Grundlagen über Felder (Lösungen)

Ladung als Quellenstärke und der Fluß eines Feldes

Masse der Erde

Der Feldfluss durch die Erdoberfläche ist genauso groß wie die Erdmasse:

[math]\frac{1}{4\pi \,G} \ g \, A = m[/math]

Jetzt muss man nur die Fläche zu [math]A= 4 \pi \, r^2[/math] und die Gravitationskonstante einsetzen:

[math]\frac{1}{4\pi \,6{,}673\;84\; \cdot 10^{-11} \mathrm{\frac{m^3}{kg \cdot s^2}}} \ 9{,}81 \rm \frac{N}{kg} \, 4 \pi \, (\rm 6380000 m)^2 \approx 5{,}987 \cdot 10^{24}\rm kg[/math]

Das ist schon ein recht vernünftiger Wert im Vergleich zu genaueren Messwerten.

Gravitationsfeldstärke im All

• Wie groß ist die Gravitationsfeldstärke in einem Abstand von 3680 km über dem Erdboden?

Mit Erdmasse

In einem Abstand von 3680 km über dem Erdboden ist man 7360 km vom Ermittelpunkt entfernt. Man betrachtet den Feldfluss durch eine Kugeloberfläche mit diesem Radius. Dazu kann man die Formel für die Quellenstärke umformen:

[math]g = 4 \pi \, G\, \frac{m}{A} = 4 \pi \, 6{,}673\;84\; \cdot 10^{-11} \mathrm{\frac{m^3}{kg \cdot s^2}}} \, \frac{5{,}987 \cdot 10^{24}\rm kg}{4 \pi \, (7360000 m)^2} \approx 2{,}45 \rm \frac{N}{kg}[/math]

Verdopplung der Entfernung

Durch den doppelten Abstand vom Erdmittelpunkt vergößert sich die Kugelfläche auf das Vierfache. Denn der Radius wird quadriert: [math]A=4 \pi \, r^2[/math]

Da der Fluss durch die Fläche aber gleich bleibt muss die Feldstärke auf ein Viertel abnehmen!

[math]g = \frac{1}{4} \, 9{,}81 \frac{N}{kg} = 2{,}45 \frac{N}{kg}[/math]

• Welche Kraft wirkt dort auf einen 1000kg schweren Satelliten?

Die Feldstärke ist der Ortsfaktor:

[math]g=\frac{F}{m} \qquad \Rightarrow \qquad F = m \, g = 1000 \rm kg \cdot 2{,}45 \frac{N}{kg} = 2450 \, N[/math]

Gravitation in der Erdkugel

• Wie groß ist die Stärke des Schwerefeldes innerhalb der Erdkugel?

Dazu nehmen wir vereinfachend an, dass die Erde überall die gleiche Massendichte [math]\rho[/math] hat.

Dann sollten Sie den Satz über die Quellenstärke verwenden:

[math]\frac{1}{4 \pi \, G} \, g \, A = m[/math]

Als geeignete Flächen bieten sich die Oberflächen von Kugeln an.

Probekörper im Kondensator

Zwei geladene Platten, je 30cm x 30cm groß, eine mit 8 10^-8 C, die andere mit -8 10^-8 C.

• Bestimmen Sie die Stärke des elektrischen Feldes unter der Annahme, dass das Feld sich ausschließlich zwischen den Platten befindet und dort homogen ist.
• Warum ist dabei die Feldstärke zwischen den Platten nicht vom Abstand der Platten abhängig?

Zwischen die Platten wird ein negativ geladener Tischtennisball gehängt. Auf ihn wirkt eine Kraft von 0,01 N.

• In welche Richtung wird der Ball gezogen?
• Wieviel Ladung sitzt auf dem Ball?