Aufgaben zur Dynamik (Lösungen)

Jemanden anschieben

Eine Person wird auf einem Bürodrehstuhl angeschoben. Ihre (träge) Masse beträgt 70kg und die des Stuhls 10kg. Dabei wird sie 2m/sec schnell.

• Die Impulsmengen betragen:

Person: [math]p= m\, v = 70\, \rm kg \cdot 2\, \rm m/s = 140\, \rm Hy[/math]

Stuhl: [math]p= m\, v = 10\, \rm kg \cdot 2\, \rm m/s = 20\, \rm Hy[/math]

Zusammen also [math]160 \,\rm Hy[/math]

• Weil hier der Stuhl vor der Beschleunigung in Ruhe war, also noch keinen Impuls hatte, ist die Impulsänderung genau die Impulsmenge nach dem Anschubsen. Nach dem Veränderungsgesetz ändert sich der Impuls um:

[math]\triangle \, p = F\, \triangle \, t[/math]

[math] 160 \, \rm{Hy} = F\, \cdot 1\, \rm{s} \quad \Rightarrow \quad F= 160 \, \rm N [/math]

Bei einer Sekunde hat man also mit 160N geschoben, bei der halben Zeitspanne muss die mittlere Kraft doppelt so groß gewesen sein.

Losfahren

Eine RadlerIn beschleunigt aus dem Stand 10 Sekunden lang mit einer mittleren Kraft von 30 Newton. Zusammen mit dem Rad hat sie eine (träge) Masse von 60kg.

• Weil hier das Rad vor der Beschleunigung in Ruhe war, ist die Impulsänderung genau die Impulsmenge nach den ersten zehn Sekunden. Nach dem Veränderungsgesetz ändert sich der Impuls um:

[math]\triangle \, p = F\, \triangle \, t = 30\, \rm N \cdot 10\, s = 300\, Hy[/math]

Aus der Definition des Impulses folgt:

[math]p= m\, v[/math]

[math]300 \, \rm{Hy} = 60\, \rm{kg} \cdot v \quad \Rightarrow \quad v = 5\, m/s = 18\, km/h[/math]

Roller fahren

Tina steht mit ihrem Roller auf einer ebenen Straße. Zusammen haben sie eine Masse von 50kg. Dann schubst sie sich zweimal von der Straße ab. Beim ersten Mal eine Sekunde lang mit einer Kraft von 100N, beim zweiten Mal eine halbe Sekunde lang mit einer Kraft von 60N. Dazwischen rollt sie für zwei Sekunden.

• Wieviel Impuls hat Tina nach dem ersten und nach dem zweiten Anschubsen und wie schnell ist sie jeweils? (Rechne ohne Reibung, also ohne Impulsverlust.)

Die Impulsänderungen betragen:

[math]\triangle p = F \, \triangle t = 100 \, \rm N \cdot 1\, s = 100 \, Hy[/math]

[math]\triangle p = F \, \triangle t = 60\, \rm N \cdot 0{,}5 \, s = 30 \, Hy[/math]

Tina hat nach dem ersten Anschubsen eine Impulsmenge von 100Hy, nach dem zweiten Anschubsen von 130Hy:

[math]p(\rm 1\, s)=100\, Hy [/math] [math].\qquad p(\rm 3{,}5\, s)=130\, Hy .[/math]

Die Geschwindigkeiten erhält man durch Division durch die Masse:

[math]p=m\, v \quad \Rightarrow \quad v = \frac{p}{m}[/math]

[math]v(\rm 1\, s)=\frac{100\, Hy}{50 \, kg}= 2\,\frac{m}{s}\approx 7\, \frac{km}{h} [/math] [math].\qquad v(\rm 3{,}5\, s)=\frac{130\, Hy}{50 \, kg}= 2{,}6\,\frac{m}{s}\approx 9{,}5\, \frac{km}{h}.[/math]

• Zeichne das Impuls-Zeit- und Kraft-Zeit-Diagramm für die drei Sekunden dauernde Fahrt. Zeichne das passende Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm.

• Bewegungsdiagramme
• 

  Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm

• 

  Impuls-Zeit-Diagramm

• 
• 

  Kraft-Zeit-Diagramm

Die gerade eben noch vernachlässigte Reibungskraft beträgt für Tina und ihren Roller konstant 10 Newton.

• Wie lange nach dem zweimaligen Anschubsen kann Tina noch rollen, bevor sie stehen bleibt?

Wenn man die Reibungskraft während der ersten 3,5s vernachlässigt, hat Tina einen Impuls von 130Hy. Die Impulsänderung bis zum Stillstand beträgt auch 130Hy. Die bremsende Kraft von 10N verringert den Impuls um 10Huygens pro Sekunde:

[math]\triangle p = F \, \triangle t[/math]

[math]130\, \rm Hy = 10\, N \cdot \triangle t \quad \Rightarrow \quad \triangle t = \frac{130\, \rm Hy }{10\, N } = 10\, s[/math]

Tina kann also noch 10 Sekunden lang ausrollen.

Berücksichtigt man die Reibungskraft auch schon während der ersten 3,5s, dann kann man in der obigen Rechnung von Tinas abstoßender Kraft jeweils 10N abziehen und rechnet nun mit 90N und 50N.

Oder man überlegt sich, dass Tina nun auch schon während der Anfangsphase pro Sekunde 10 Huygens Impuls verliert. Nach dem 3,5 Sekunden andauernden zweimaligen Anschubsen rollt sie daher nur noch 6,5 Sekunden lang weiter.

• Wie könnte sie sich in regelmäßigen Abständen vom Boden abstoßen, um mit gleichbleibender Geschwindigkeit zu fahren?

Tina muss im Durchschnitt 10 Huygens pro Sekunde Impuls erhalten, denn soviel geht durch die Reibung verloren.

Sie könnte sich eine Sekunde lang mit 20 Newton abstoßen, dann eine Sekunde lang rollen und so weiter.

Oder sie stößt sich eine Sekunde lang mit 30 Newton ab, dann kann sie zwei Sekunden lang rollen und so weiter.

Widerstände beim Radfahren

In diesem Widerstandsdiagramm ist die Reibungskraft F über die Geschwindigkeit aufgetragen. Die Reibungskraft setzt sich aus dem geschwindigkeitsunabhängigen Rollwiderstand und der Luftreibung zusammen.

Paula fährt auf ebener Strecke mit einer konstanten Geschwindigkeit von 6 m/s.

• Wie groß ist jetzt die Reibungskraft und wie groß die antreibende Kraft?

Wenn Paula mit einer konstanten Geschwindigkeit fährt, dann verändert sich auch der Impuls nicht. Deshalb muss durch Paulas antreibende Kraft genausoviel Impuls reingehen, wie durch die Reibungskraft wieder rausgeht.

Beide Krafte sind also gleich groß, Paula ist im "Kräftegleichgewicht".

Am Diagramm kann man ablesen, dass die gesamte Reibungskraft bei 6 m/s gerade 24N beträgt. Paula treibt sich also mit einer Kraft von 24N an.

Danach tritt Paula so in die Pedale, dass die antreibende Kraft auf 40N ansteigt.

• Wie schnell wird sie jetzt?

Auch jetzt wird sie so schnell, dass wieder Kräftegleichgewicht eintritt. Das ist bei einer Geschwindigkeit von ca. 8,2 m/s (30 km/h) der Fall.

Die Weltraumwaage SLAMMD

Das "Space Acceleration Mass Measurement Device", kurz SLAMMD bestimmt auf der ISS (International Space Station) die Masse von AstronautInnen durch eine lineare Beschleunigung. (Demovideo)

Bei einer Messung wurde die Person durch eine Kraft von 50 Newton in 1,2 Sekunden auf eine Geschwindigkeit von 0,8 Meter pro Sekunde beschleunigt.

• Man kann den Impuls der Astronautin auf zwei Arten bestimmen. Einmal über das Veränderungsgesetz als Ergebnis der Kraftwirkung und einmal über die Definition des Impulses als Masse mal Geschwindigkeit. Auch hier ist die Impulsänderung genau die Impulsmenge nach der Beschleunigung, weil die Astronautin zu Beginn noch keinen Impuls hat:

[math] m\, v = \triangle \, p = F\, \triangle \, t[/math]

Nach der Masse aufgelöst:

[math]m= \frac{F\, \triangle \, t}{v} = \rm \frac{50\, \rm N \cdot \, 1{,}2\, s}{0{,}8\, m/s} = \frac{60\, \rm Hy}{0{,}8\, m/s} = 75\,kg[/math]

Die Masse beträgt 75kg.

Wasserwerfer

Der Wasserstrahl eines Wasserwerfers hat soviel Impuls, dass er Menschen umwerfen kann. Hält man in einem vereinfachten Experiment ein Brett in den Wasserstrahls eines Gartenschlauchs, so spürt man eine Kraft. Mit dieser Kraft wird das Wasser bis zum Stillstand abgebremst!

Aus einem Schlauch spritzen pro Minute 6 Liter Wasser. Man misst eine Kraft von 0,5 Newton auf das Brett.

• In der Zeit von 60s werden 6kg Wasser abgebremst. Wiederum ist die Impulsänderung der gesamte Impuls, weil das Wasser bis zur Ruhe abgebremst wird:

[math] m\, v = \triangle \, p = F\, \triangle \, t[/math]

Diesmal sucht man die Geschwindigkeit, die anderen Größen sind bekannt:

[math]v = \frac{F\, \triangle \, t}{m} = \rm \frac{0{,}5\, \rm N \cdot 60\, s}{6\, kg} = \frac{30 \,Hy}{6\, kg} = 5\,m/s[/math]

Das Wasser hat eine Geschwindigkeit von 5m/s (18km/h).

Pelton-Turbine

Hält man statt des Bretts eine Schale in den Wasserstrahl, die den Strahl um 180° umlenkt, kann man eine (fast) doppelt so große Kraft messen. (Dieser Effekt wird bei der sogenannten Pelton-Wasserturbine ausgenutzt. Verschiedene Videos dazu: Pelton Turbine/Wheel Working & Design, WATER TURBINE PELTON COSTA RICA 1, Pelton-Turbine (Aufbau und Funktionsweise) 3D-Animation)

• Warum ist die Kraft (fast) doppelt so groß?

Turmspringen

Eine Turmspringerin läßt sich vom 10-Meter-Turm fallen. Sie hat eine Masse von 60 kg.

• Mit welcher Kraft wird sie beschleunigt?

Ihre Gewichtskraft beträgt:

[math]F_G = m \, g = 60\, \rm kg \cdot 10\,\frac{N}{kg} = 600\, N[/math]

• Wie groß ist ihr Impuls und ihre Geschwindigkeit nach 1, 2, 3 Sekunden? (nach t Sekunden?)

Ihr Impuls nimmt immer mit 600 Huygens pro Sekunde zu.

[math]\triangle p = F \cdot \triangle t= 600 \, \rm N \cdot \triangle t[/math]

[math]p(1\, \rm s)= 600\, Hy[/math]

[math]p(2\, \rm s)= 1200\, Hy[/math]

[math]p(3\, \rm s)= 1800\, Hy[/math]

[math]p(t)= 600\, \frac{Hy}{s} \cdot t[/math]

Wegen [math]p = m \, v[/math] erhält man die Geschwindigkeit durch Division durch die Masse von 60kg:

[math]v(1\, \rm s)= 10\, m/s[/math]

[math]v(2\, \rm s)= 20\, m/s[/math]

[math]v(3\, \rm s)= 30\, m/s[/math]

• Vergleiche mit dem Fall ihres um 20kg "schwereren" Vereinskameraden.
  • die Impuls- und Geschwindigkeitszunahme,

Seine Gewichtskraft beträgt 800N, daher nimmt sein Impuls immer mit 800 Huygens pro Sekunde zu:

[math]\triangle p = F \cdot \triangle t= 600 \, \rm N \cdot \triangle t[/math]

[math]p(1\, \rm s)= 800\, Hy[/math]

[math]p(2\, \rm s)= 1600\, Hy[/math]

[math]p(3\, \rm s)= 2400\, Hy[/math]

[math]p(t)= 800\, \frac{Hy}{s} \cdot t[/math]

Die Geschwindigkeit erhält man durch Division durch die Masse von 80kg:

[math]v(1\, \rm s)= 10\, m/s[/math]

[math]v(2\, \rm s)= 20\, m/s[/math]

[math]v(3\, \rm s)= 30\, m/s[/math]

Aha! Die Turmspringerin erhält zwar nur weniger Impuls, aber sie benötigt auch weniger, um auf die gleiche Geschwindigkeit zu kommen!

Einerseits hat sie durch ihre kleinere Masse eine geringere beschleunigende Kraft, aber andererseits ist sie durch ihre geringere Masse auch weniger träge. Beide Effekte gleichen sich genau aus.

Man kann das auch nachrechnen. Die Gewichtskraft beträgt:

[math]F_G=m \, g[/math]

Der Impuls nach der Zeit t beträgt also:

[math] p = F \cdot t= m \, g \, t[/math]

Daraus folgt für die Geschwindigkeit:

[math] v = \frac{p}{m} = \frac{m \, g \, t}{m} = g\, t[/math]

Für alle frei fallenden Körper gilt also:

[math] v = g\, t = 10\,\rm \frac{m}{s^2} \cdot t[/math]

Die Geschwindigkeit nimmt pro Sekunde um 10m/s zu!

• • den Aufprall auf der Wasseroberfläche.

Da der Mann mehr Impuls als die Frau hat, muss er auch stärker abgebremst werden, das heißt, die wirkende Kraft ist größer oder die Zeitdauer der Einwirkung ist größer. Wahrscheinlich wird beides der Fall sein: Der Mann spürt einen stärkeren Aufprall und taucht länger in das Wasser ein.

• Zeichne für beide die Geschwindigkeit-Zeit-, Impuls-Zeit- und Kraft-Zeit-Diagramme vor dem Aufprall.

• Bewegungsdiagramme der Frau
• 

  Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm

• 

  Impuls-Zeit-Diagramm

• 
• 

  Kraft-Zeit-Diagramm

• Bewegungsdiagramme des Mannes
• 

  Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm

• 

  Impuls-Zeit-Diagramm

• 
• 

  Kraft-Zeit-Diagramm

Am Wasserhahn

Bestimme die Austrittsgeschwindigkeit des Wassers am Hahn.

Man hat folgende Hilfsmittel zur Verfügung: eine Waage (mit einer Plastiktüte zum Schutz), ein Messbecher und eine (Stopp-)Uhr.

Beschreibe den Aufbau, die Messergebnisse und die Auswertung.

Messung

Anzeige der Waage: 95 g

Innerhalb von 5 Sekunden fließen 870 ml Wasser aus dem Hahn.

Auswertung

Innerhalb der Zeit [math]t = 5s[/math] werd en 870ml Wasser an der Waage bis zur Ruhe abgebremst. Dabei verliert das Wasser seinen gesamten Impuls von [math]p = m \, v[/math] durch die bremsende Kraft [math]F = 0,95 N[/math].

Wegen [math]p = m \, v = F \, t \qquad.[/math] folgt: [math]v= \frac{F \, t}{m}[/math] mit den gemessenen Werten:

[math]v= \frac{4,75 Hy}{0,87kg} \approx 5,46 \frac{m}{sec} \approx 19,7 \frac{km}{h}[/math]

Das Wasser ist also ungefähr 20 km/h schnell.

Luft- und Rollwiderstand eines Autos

Aus dem Geschwindigkeitsverlauf läßt sich auf den Verlauf des Impulses schließen. Der Impuls des Autos nimmt mit der Geschwindigkeit ab, genauer gilt:

[math]p=m \, v[/math]

Die wirkende Widerstandskraft sorgt dafür, dass der Impuls kleiner wird, genauer ist die Kraft gerade die zeitliche Änderungsrate des Impulses. Aus den gemessenen Werten kann man in einzelnen Zeitschritten jeweils die mittlere Änderungsrate am Diagramm als Steigung oder anhand der Wertetabelle als Differenzenquotient berechnen:

[math]F=\dot p \approx \frac{\triangle p}{\triangle t}=\frac{p(t_2)-p(t_1)}{t_2-t_1}[/math]

Alternativ dazu kann man auch zunächst die Beschleunigung des Autos als die zeitliche Änderungsrate der Geschwindigkeit bestimmen. Und dann daraus die wirkende Kraft:

[math]a=\dot v \approx \frac{\triangle v}{\triangle t} = \frac{v(t_2)-v(t_1)}{t_2-t_1}[/math]

[math]F=m \, a[/math]

Es ist zu erkennen, dass die Geschindigkeit und damit auch der Impuls zunächst stark mit der Zeit abnimmt. Rollt der Wagen schon länger, so nimmt der Impuls weniger schnell ab. Das heisst, die Widerstandskraft nimmt mit der Zeit ab.

Die Abnahme der Kraft kann nur mit der Abnahme der Geschwindigkeit zusammenhängen. Man sieht im Kraft-Geschwindigkeit-Diagramm deutlich, wie der Widerstand zunimmt. Bei der Verdoppelung der Geschwindigkeit von 50 km/h auf 100 km/h steigt der Widerstand ungefähr auf das Dreifache.

Auch bei einer sehr geringen Geschwindigkeit sinkt der Widerstand nicht unter 50 Newton. Dieser Anteil des Widerstandes scheint geschwindigkeitsunabhängig zu sein.

Ein Fahrrad rollt bergab

Ein Fahrrad steht auf einer abschüssigen Strasse und rollt nach dem Lösen der Bremsen hinab. Die Person hat zusammen mit dem Rad eine Masse von 90kg. Für den Beginn der Bewegung ist die Reibung noch zu vernachlässigen und für den Geschwindigkeitsverlauf gilt:

[math]v(t)= 0,8 \frac{m}{sec^2} \, t[/math]

• Diagramme des zeitlichen Verlaufs der ersten 10 Sekunden:

• 

  Ort s (m), Geschwindigkeit v (m/sec) und Beschleunigung a (m/sec^2)

• 

  Impuls p (N sec) und Kraft F (N)

• Die Funktionsgleichungen lauten:

[math]s(t)=0,4 \frac{m}{sec^2}\,t^2[/math]

[math]v(t)=\dot s(t)= 0,8 \frac{m}{sec^2}\, t \qquad \qquad p(t)=m \, v(t) =72\frac{kg \, m}{sec^2}\,t = 72\frac{N \, sec}{sec}\,t =72 N\,t[/math]

[math]a(t)=\dot v(t)= 0,8 \frac{m}{sec^2} \qquad \qquad F(t)=\dot p(t) = m\, a(t) = 72 N[/math]

• Wieviel % Gefälle hat die Strasse?

Die Beschleunigung beträgt nur 0,8 m/sec^2 statt im freien Fall ca. 10 m/sec^2. Wegen des kleinen Winkels kann man daraus direkt ein Gefälle von 8% ablesen, mit folgender Begründung:

Das Gefälle der Straße ist der Tangens des Neigungswinkels:

[math] \tan(\alpha) = \rm{Gef \ddot a lle}[/math].

Vom Neigungswinkel hängt auch das Verhältnis von Hangabtriebskraft [math]F_\|[/math] und Gewichtskraft [math]F_G[/math], bzw. Hangabtriebsbeschleunigung [math]a_\|[/math] und Erdbeschleunigung [math]g[/math] ab:

[math]\sin(\alpha) = \frac{F_\|}{F_G} = \frac{m \, a_\|}{m \, g} = \frac{a_\|}{g} = \frac{0,8 \, m/{sec}^2}{10 \, m/ {sec}^2} = 0.08[/math]

Für kleine Winkel unterscheiden sich Sinus und Tangens nur geringfügig, deshalb beträgt das Gefälle 0,08 , also 8%.

Für eine genaue Rechnung bestimmt man zunächst den Neigungswinkel und daraus den Tangens:

Für die Hangabtriebskraft gilt:

[math]F=F_G \ sin( \alpha)[/math]

[math]72 N = 90 kg \, 9,81 \frac{N}{kg} \sin(\alpha)= 882,9 N \, \sin(\alpha)[/math]

Der Winkel der Straße beträgt demnach:

[math]\alpha = sin^{-1}(0,081549) \approx 4,678^\circ[/math]

Und daraus folgt für das Gefälle:

[math]tan(4,678^\circ)\approx 0,0818[/math]

Das Gefälle beträgt also 8,2%.