Praktikum: Untersuchung eines Fadenpendels
Untersuchungsauftrag: Wovon hängt die Frequenz des frei schwingenden Pendels ab?
- Untersuchen Sie experimentell, wovon die Frequenz, bzw. die Schwingungsdauer eines Pendels abhängt.
Mögliche Beeinflussungen durch:
- Pendellänge l
- Masse m
- Amplitude [math]\hat y[/math]
- Reibung
- Antrieb
Man darf immer nur eine Größe variieren und dann jeweils die Periode messen. Misst man z.B. für verschiedene Amplituden die Periode erhält man einen Zusammenhang zwischen Amplitude und Periodendauer, der streng genommen nur für die gewählte Länge, Masse usw. gilt.
Ändert sich die Periode bei Variation einer Größe nicht, so ist sie davon unabhängig.
Periodenlänge eines Fadenpendels
- Vereinfachung des Uhrenpendels als Fadenpendel (mathematisches Pendel)
- Die Masse wird als punktförmig angenommen, die Aufhängung als masselos.
- Weitere Vereinfachung: Ungedämpftes Pendel (Ohne Energieverlust)
- Aufbau
Mittels einer Klemme wird eine Stange senkrecht an einem Tisch angebracht. An dieser Stange wird am oberen Ende ein Haken sowie ein Geodreieck angebracht. Das Geodreieck hat die Funktion, die Amplitude zu messen und wird daher so angebracht, dass die längere Seite oben ist und und die auf das Geodreieck aufgetragene Senkrechte genau auf der Stange verläuft.
Am Haken wird nun ein Faden befestigt, an dessen Ende ein Kugel befestigt ist. Mit dem so entstandenen Pendel werden die Versuche durchgeführt, deren Ergebnisse unten aufgeführt sind.
Zur Untersuchung der Abhängigkeit von einer Größe muß diese variiert und alle anderen konstant gehalten werden.
- Beobachtung/Messwerte
- Abhängigkeit von der Pendellänge l:
- Die Pendellängen sollen ca. folgende Werte haben: 50cm, 40cm, 30cm, 20cm, 10cm, 5cm.
Masse m: Amplitude y max: l in cm | | | | | | | -------------------------------------------------------- 10 T in s| | | | | | | -------------------------------------------------------- T in s | | | | | | | --------------------------------------------------------
- Abhängigkeit von der Masse m:
- Durch Anhängen eines zweiten Gewichts kann man die Masse verdoppeln.
Pendellänge l: Amplitude y max: m in kg | | | | | | | -------------------------------------------------------- 10 T in s| | | | | | | -------------------------------------------------------- T in s | | | | | | | --------------------------------------------------------
- Abhängigkeit von der Amplitude [math]\hat y[/math]:
Masse: Amplitude: y max in °| 5° | 10° | 20° | 40° | 60° | 80° | ---------------------------------------------------------- 10 T in s | | | | | | | ---------------------------------------------------------- T in s | | | | | | | ----------------------------------------------------------
- Erklärung/Auswertung
Die gemessenen Zusammenhänge werden jeweils in ein Koordinatensystem gezeichnet. Man trägt zum Beispiel die Periodendauer (y-Achse) über die Pendellänge (x-Achse) auf.
Um einen rechnerischen Zusammenhang zwischen den Größen zu finden, sucht man nach konstanten Quotienten oder Produkten der Messgrößen. Diese werden in die Tabelle eingetragen.
Als Beispiel hier der Zusammenhang zwischen Periodendauer und Pendellänge. Es kommen mehrere Möglichkeiten in Betrtacht:
- [math]T = c \cdot l \quad \Rightarrow c = \frac{T}{l}[/math]
- [math]T = c \cdot l^2 \quad \Rightarrowc = \frac{T}{l^2}[/math]
- [math]T = c \cdot \sqrt{l} \quad \Rightarrowc = \frac{T}{\sqrt{l}}[/math]
Um die Abhängigkeit von [math]T[/math] und [math]l[/math] möglichst durch eine Konstante zu definieren, werden verschiedene mathematische einfache Möglichkeiten ausprobiert:
([math]c[/math] steht für die restlichen Bestandteile der Schwingungsformel; die Rechnungen gelten für [math]\hat y=30[/math]°)
1. [math]T = l c[/math]
- [math]T \over l[/math][math] = c[/math] ; [math]0,774 \over 0,1[/math][math] = 7,74[/math] ; [math]1 \over 0,2[/math][math] = 5[/math] ; [math]1,16\over 0,3[/math][math] = 3,87[/math] ; [math]1,29\over 0,4[/math][math] = 3,225[/math] ; [math]1,506\over 0,5[/math][math] = 3,012[/math]
2. [math]T = l^2 c[/math]
- [math]T \over l^2[/math][math] = c[/math] ; [math]0,774 \over 0,1^2[/math][math] = 77,4[/math] ; [math]1 \over 0,2^2[/math][math] = 25[/math] ; [math]1,16\over 0,3^2[/math][math] = 12,88[/math] ; [math]1,29\over 0,4^2[/math][math] = 8,06[/math] ; [math]1,506\over 0,5^2[/math][math] = 6,02[/math]
3. [math]T = \sqrt{l} c[/math]
- [math]c=[/math][math] T \over \sqrt{l}[/math] ; [math] 0,774 \over \sqrt{0,1}[/math][math]=2,45[/math] ; [math] 1 \over \sqrt{0,2}[/math][math]=2,24[/math] ; [math] 1,16\over \sqrt{0,3}[/math][math]=2,12[/math] ; [math] 1,29\over \sqrt{0,4}[/math][math]=2,04[/math] ; [math] 1,506\over \sqrt{0,5}[/math][math]=2,13[/math]
Die einzige der Formeln, deren Ergebnisse nur hinter dem Komma unterschiedlich sind, ist: [math]T = \sqrt{l} c[/math]
Wir müssen also davon ausgehen, dass die Unterschiede, die bei 3. bestehen aufgrund von Messungenauigkeiten entstehen und den Durchschnitt der fünf Werte ausrechen, der da lautet: 2,2.
Wir gehen nun davon aus, dass die gesuchte Konstante be ieiner Amplitude von 30° etwa 2,2 beträgt.
- Erklärung/Auswertung
Wie aus den Tabellen 1.03 und 2 zu entnehmen ist, haben unsere Stangen eine sehr ähnliche Länge ([math]l[/math]), jedoch eine unterschiedliche Masse: Stange 2 wiegt weniger als ein Viertel von Stange 1. Hiermit können wir Johannes' anfängliche Hypothese, dass die Masse ([math]m[/math]) irrelevant sei, sehr gut untermauern. Für die einzelnen Amplituden ([math]\hat y[/math]) weichen die Perioden ([math]T[/math]) jeweils nur um ein paar Hunderstelsekunden voneinander ab. "Ein solch geringer Unterschied hat seinen Ursprung nicht in einer so großen Massenrelation von 1:4" denken wir uns; die geringfügigen Längenunterschiede und Messungenauigkeiten müssen hierfür verantwortlich sein.
An dieser Stelle kommt Stange 3 ins Spiel, mit einer dritten Länge. Somit lässt sich die Abhängigkeit der Periode von der Länge besser untersuchen: auf den ersten Blick ist klar, dass die Periode mit Zunahme der Länge ebenfalls zunimmt ([math]l \propto T[/math]?). Um die genaue Abhängigkeit herauszufinden, probieren wir gängige Verhältnisse mithilfe einer allgemeinen Formel aus:
([math]c[/math] steht für die restlichen Bestandteile der Schwingungsformel; die Rechnungen gelten für [math]\hat y=45[/math]°)
- [math]T = l c[/math]
- [math]T \over l[/math][math] = c[/math] ; [math]1.77 \over l.06[/math][math] = 1.67[/math] ; [math]1.69 \over 1.01[/math][math] = 1.67[/math] ; [math]1.03\over 0.33[/math][math] = 3.12[/math]
- [math]T = l^2 c[/math]
- [math]T \over l^2[/math][math] = c[/math] ; [math]1.77 \over 1.06^2[/math][math] = 1.56[/math] ; [math]1.69 \over 1.01^2[/math][math] = 1.66[/math] ; [math]1.03\over 0.33^2[/math][math] = 9.46[/math]
- [math]T = \sqrt{l} c[/math]
- [math]c=[/math][math] T \over \sqrt{l}[/math] ; [math] 1.77 \over \sqrt{1.06}[/math][math]=1.71[/math] ; [math] 1.69 \over \sqrt{1.01}[/math][math]=1.68[/math] ; [math] 1.03\over \sqrt{0.33}[/math][math]=1.79[/math]
Nur bei [math]\sqrt {l}[/math] sind Züge einer Übereinstimmung zu erkennen. Somit lässt sich sagen, dass sich die Wurzel der Länge proportional zur Periode verhält ([math]\sqrt l \propto T[/math]).
Onlineausarbeitung: Nikolaj Kulvelis
Fadenpendel:
Abhängigkeit vom l: [math]\hat y=20[/math]°
[math]\frac{l}{T^2} \approx \frac{24 \,\rm m}{s^2}[/math] (konstant)
- [math]\Updownarrow[/math]
- [math]T=\sqrt{\frac{l}{0,24\frac{m}{s^2}}} [/math][math]=[/math][math]\sqrt{1 s^2\over 0,24 m}[/math][math]\cdot\sqrt{l}[/math]
- [math]T\approx 2,0[/math][math]s\over\sqrt{m}[/math][math]\cdot \sqrt{l}[/math]
- Fehlerbetrachtung
Bei den obigen Messwerten liegen natürlicherweise gewisse Ungenauigkeiten und Messfehler vor. In diesem speziellen Fall liegt das Fehlerspektrum bei der Periode [math]T[/math] bei ca. 0,05 sek und bei der Fadenlänge [math]l[/math] bei ca. 0,2 cm. Mit diesen Werten lässt sich nun ein Maximal- und ein Minimalwert errechnen. Der Durchschnitt dieser Extremwerte bietet dann eine zuverlässige Lösung für die Konstante [math]a[/math].
Fadenpendel:
[math]T\approx 1,915 \frac{s}{\sqrt{m}}\sqrt{l}[/math]
[math]\rightarrow 1,915 \frac{s}{\sqrt{m}}\approx\frac{T}{\sqrt{l}}[/math]
Max./Min. Betrachtung
[math]\bar T=1{,}32\pm 0{,}05s(\pm3{,}8%)[/math]
[math]l=47{,}5cm\pm0{,}2cm(\pm0{,}4%)[/math]
[math]\Rightarrow \quad a_{max}={(1{,}32+0{,}05)s \over \sqrt{(47{,}5-0{,}2)cm}}=1{,}992{s\over\sqrt{m}}[/math]
[math]a_{min}={(1{,}32-0{,}05)s\over\sqrt{(47{,}5+0{,}2)cm}}=1{,}838{s\over\sqrt{m}}[/math]
[math]\Longrightarrow[/math][math]a[/math][math]=1{,}915{s\over\sqrt{m}}\pm0{,}08{s\over\sqrt{m}}(\pm4%)[/math]
Eine statistische Auswertung der Messwerte ist nicht möglich, da jeweils nur drei Zeitmessungen vorgenommen wurden, was zu wenig ist. Vgl mit Messunsicherheit und Fehlerrechnung.
