Der Hall-Effekt

Berechnung der Hallspannung

Um den Zusammenhang zwischen Hallspannung, Magnetfeldstärke, Stromstärke und den Materialeigenschaften des Leiters zu untersuchen, macht man zwei Ansätze:

1. Das elektrische Feld ähnelt dem eines Plattenkondensators.
2. Die Lorentzkraft auf die Ladungen ist gleich der elektrischen Kraft.

$$F_E=F_L$$

Man setzt ein: $$F_E= q \, E = e \, E$$ mit der Elementarladung $$e$$ eines Elektrons.

Für die Feldstärke nimmt man einen Plattenkondensator mit dem Plattenabstand h an, also: $$E=\frac{U_H}{h}$$

Die Lorentzkraft auf ein Elektron beträgt: $$F_L =\mu_0\, e \, v \, H$$

$$e \frac{U_H}{h}= \mu_0\, e \, v \, H$$

(*) $$U_H = \mu_0\, v \, H \, h$$ Die Hallspannung ist proportional zur Magnetfeldstärke (Flussdichte) und zur Geschwindigkeit der Ladungsträger. Die Hallspannung hängt nicht von der Ladungsmenge auf den Ladungsträgern ab.

Bis jetzt bleiben Materialeigenschaften unberücksichtigt. Das ändert sich, wenn man die Ladungsträgerdichte im leitenden Material betrachtet:

Die Kraft auf alle Elektronen im Leiter ist $$F_{Lges}=\mu_0 \, H \, I \, l$$ . Wenn man annimmt, dass sich die Anzahl von $$N_q$$ Elektronen im Leiter befindet, ergibt sich die Kraft auf ein Elektron als der $$N_q$$ -te Teil der gesamten Kraft:

$$F_E=F_L$$

(**) $$e \frac{U_H}{h}=\mu_0 \ H \, I \, l \, \frac{1}{N_q}$$

Nach der Hallspannung auflösen:

$$U_H=\frac{\mu_0 \, H \, I \, l \, h}{N_q \, e}$$

Das Volumen beträgt $$V=l\,h\,d,$$ also ist $$l\,h=\frac{V}{d}$$ .

$$U_H=\frac{\mu_0 \, H \, I}{d} \frac{V}{N_q} \frac{1}{e}$$

Die Anzahl der Ladungsträger pro Volumen $$\rho_N=\frac{N_q}{V}$$ heißt "Ladungsträgerdichte". Damit kann man das Ergebnis etwas kürzer schreiben:

(***) $$U_H=\frac{\mu_0 \, H \, I}{d} \frac{1}{\rho_N\, e}$$

Der Bruch $$\frac{1}{\rho_N\, e} = \frac{V}{N_q\,e}$$ heißt Hallkonstante $$R_H$$ und ist eine Materialeigenschaft, die von der Ladungsträgerdichte abhängt. Sie ist gerade der Kehrwert der Ladungsdichte des Leiters. Je kleiner die Ladungsdichte, desto größer die Hallkonstante.

Zwei beispielhafte Werte für ein Metall und einen Halbleiter:

Material	Hall-Konstante $$\frac{V}{N_q\,e}$$	Ladungsdichte $$\frac{N_q\,e}{V}$$	Ladungsträgerdichte $$\frac{N_q}{V}$$
Kupfer	$$-50\cdot 10^{-6}\,\rm\frac{{cm}^3}{C}$$	$$-20000\,\rm\frac{C}{{cm}^3}$$
Germanium p-dotiert	$$5000\,\rm\frac{{cm}^3}{C}$$	$$0{,}2\cdot10^{-3}\,\rm\frac{C}{{cm}^3}$$

Das Kupfer hat also pro Volumen viel bewegliche Ladung zur Verfügung, das dotierte Germanium um den Faktor $$10^8$$ weniger!

$$U_H=R_H \, \frac{\mu_0 \, H \, I}{d} \quad \text{mit der Hallkonstante}\quad R_H = \frac{1}{\rho_N\, e} \quad \text{und der Ladungsträgerdichte}\quad \rho_N = \frac{N_q}{V}$$ Die Hallspannung ist proportional zur Magnetfeldstärke (Flussdichte) und zur Stromstärke, antiproportional zur Dicke des Leitermaterials und zur Ladungsträgerdichte.