Die eulersche Zahl e und die natürliche Exponentialfunktion

Exponentialfunktionen

Exponentialfunktionen beschreiben exponentielles Wachstum oder exponentiellen Zerfall. Dabei wird ein Anfangswert [math]f(0)[/math] immer wieder mit einer festen Basis [math]b[/math], die man auch Wachstumsfaktor nennt, multipliziert:

"Das menschliche Darmbakterium Escherichia coli hat unter Idealbedingungen in Laborkulturen eine Generationszeit von etwa 20 Minuten."

Zeitschritte (je 20min)	0	1	2	3	4	...	[math]x[/math]
Anzahl	1	2	4	8	16	...	[math]2^x[/math]

Das radioaktive Iod-Isotop 131 hat eine Halbwertszeit von 8 Tagen:

Zeitschritte (je 8Tage)	0	1	2	3	4	...	[math]x[/math]
Masse (in g)	100	50	25	12,5	6,25	...	[math]100\cdot 0{,}5^x[/math]

Die Eulersche Zahl e

Die Eulersche Zahl lautet ungefähr: [math]e = 2{,}7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277 \ldots[/math]

Sie ist, wie [math]\pi[/math] oder [math]\sqrt 2[/math], eine irrationale Zahl mit unendlich vielen, nichtperiodischen Nachkommastellen.

Man kann alle Wachstumsvorgänge auch ohne diese Zahl beschreiben, wozu braucht man sie dann? Ein Grund von vielen ist die Bestimmung der Ableitung von Exponentialfunktionen. Denn was ist z.B. [math]\left(2^x\right)'[/math]?

Die Ableitung von Exponentialfunktionen

An den Beispielen mit den Bakterien oder dem radioaktiven Iod sieht man:

• Je größer der Bestand, desto größer die Änderungsrate.

Diese Aussage kann man auch mathematisch präziser formulieren und mit Hilfe des Differenzenquotienten beweisen:

Bei exponentiellem Wachstum/Zerfall ist die Änderungsrate proportional zum Bestand: [math]f'(x) = k \cdot f(x) \qquad \text{}[/math] (Differentialgleichung) Der Faktor [math]k[/math] heißt "Wachstumsfaktor": [math] k \gt 1 [/math]: Exponentielles Wachstum [math] 0 \lt k \lt 1 [/math]: Exponentieller Zerfall

Die Bedeutung des Wachstumsfaktors

Um den Wachstumsfaktor zu berechnen, kann man die DGL nach [math]k[/math] auflösen:

[math]k = \frac{f'(x)}{f(x)}[/math]

Der Quotient aus Änderungsrate und Funktionswert ist also für alle x immer gleich. Insbesondere gilt dies für [math]x=0[/math]:

[math]k=\frac{f'(0)}{f(0)} = \frac{f'(0)}{1} = f'(0)[/math]

Die Änderungsrate zu Beginn ist gerade der Wachstumsfaktor: [math]k = f'(0)[/math]