Das Potential eines Feldes

(Kursstufe > Grundlagen elektrischer, magnetischer und schwerer Felder)

In Feldern wird Energie gespeichert. Wieviel Energie sich im Feld befindet, hängt unter anderem von der Masse, bzw. der Ladung, und dem Ort der Gegenstände ab. Häufig befindet sich ein "kleiner" Probekörper in einem Feld eines "großen" Gegenstandes. So wie bei einem Satelliten im Gravitationsfeld der Erde oder der Erde im Gravitationsfeld der Sonne. Ein Elektron kann sich in einem elektrischen Feld eines Kondensators befinden oder ein Kompass im Erdmagnetfeld. Das Konzept des Potentials beruht also auf dem Probekörpermodell. Nun fragt man sich:

• Wie ändert sich die Energie mit der Masse/der Ladung des Probekörpers?
• Wie ändert sich die Energie mit dem Ort des Probekörpers?

Weil die im Feld gespeicherte Energie von der Lage des Probekörpers abhängt, heißt sie auch Lageenergie oder auch potentielle Energie.

Beispiele und Versuche

• 

  Eine Kugel rollt in einem "Trichter". (Video Simulation)

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  Eine Kugel rollt auf einem schiefen Tisch.

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  Wenn man das Wasser hochpumpt, wird damit ein Wasserrad angetrieben.

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  Ein Satellit wurde in eine Umlaufbahn gebracht.

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  Ein geladenes Kügelchen in einem Kondensator.

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  Die Batterie ist eine "Elektronenpumpe".

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  Auch ohne Berührung der Oberleitung kam es zu einem tötlichen Unfall. (Bericht/Video)

• 

  Manche dieser Vögel sind in Gefahr!?

Kugeln im Potentialtrichter

Aufbau / Beobachtung

• Legt man eine Kugel auf den Rand des Trichters, so rollt sie in das Loch und wird dabei immer schneller.
• Schubst man die Kugeln an und zielt dabei nicht in Richtung des Lochs, so rollen sie spiralförmig um die Mitte herum. Je tiefer die Kugeln sind, desto schneller sind sie.

Um eine möglichst kreisrunde Bahn zu erreichen, muss man die Kugel parallel zum Rand des Trichters und mit der richtigen Stärke anschubsen. Stimmt die Richtung oder die Stärke nicht, so rollen die Kugeln in ovalen Bahnen.

• Schubst man eine Kugel ganz stark an, so beschreibt sie eine Kurve und fällt vom Trichter herunter.

Simulation: Satellitenbahnen um die Erde

Mit dieser Simulation kann man die Bewegung der Kugeln im Potentialtrichter nachvollziehen. Schalte dazu die Darstellung der "Äquipotentialflächen" an, sie entsprechen den Höhenlinien des Trichters.

Die Position und die Geschwindigkeit der Kugel (des Satelliten) läßt sich mit Hilfe des grünen Punktes und der Pfeilspitze verändern.

Versuche mit der richtigen Einstellung von Ort und Geschwindigkeit die Kugel (den Satellit) auf eine Kreisbahn zu bringen.

(Zur Datei und zum Programm)

Kugeln auf einem schiefen Tisch

Aufbau

Man kippt einen Tisch leicht, indem man an einer Seite etwas unter die Tischbeine stellt.

• Dann kann man eine Kugel den Tisch herabrollen lassen.
• Man kann sie auch nach oben anschubsen oder
• schräg nach oben anschubsen.

Beobachtung

• Beim Herunterrollen wird sie immer schneller.
• Schubst man sie genau nach oben, so wird sie immer langsamer, bis sie schließlich stehenbleibt und nach unten rollt.
• Wird die Kugel schräg angeschubst, so beschreibt sie einen Bogen, genauer eine Parabel.

VERSUCH??? Nordpol um einen Südpol kreisen lassen. Langer Faden bis zur Decke, so dass die Gravitationswirkung gering ist.

Folgerungen

Das Gravitationsfeld der Erde und sein Potentialtrichter.

• Der Trichter ist ein Modell für das Gravitationsfeld der Sonne oder der Erde oder eines anderen Himmelskörpers. Die Kugeln entsprechen dabei der um die Sonne kreisenden Planeten oder Satelliten, die um die Erde kreisen.

Ebenso kann man den Trichter als Modell für das elektrische Zentralfeld einer negativ geladenen Kugel oder eines "isolierten" Südpols nehmen. Hierbei entsprechen die Kugeln positiv geladenen Teilchen oder kleinen Nordpolen.

• Die schiefe Ebene ist ein Modell für ein homogenes Feld, in dem die Feldstärke ja in Stärke und Richtung konstant ist.

Zum Beispiel das Schwerefeld der Erde in der Nähe der Erdoberfläche. Die rollende Kugel entspricht einem Ball, der fallengelassen oder (schräg) nach oben geworfen wird.

In einer Richtung ändert das Feld den Impuls des Probekörpers in den anderen Richtungen nicht. In dieser Richtung ist die Bewegung immer gleichmäßig beschleunigt, in den anderen Richtungen ändert sich der Impuls nicht. (Vgl. Kraft verändert den Impuls; vektoriell) (Ein Oszilloskop? Beschleunigen eines e- in einem E-Feld?)

• Das Modell des Trichters beschreibt gut einige Eigenschaften des echten Gravitationsfeldes:

Trichtermodell	Gravitationsfeld
Je näher die Kugel der Trichtermitte kommt, desto stärker ist die wirkende Kraft.	Je näher ein Gegenstand der Erde kommt, desto stärker wird er angezogen.
Man benötigt Energie, um die Kugel wieder aus dem Trichter herauszuholen.	Man benötigt Energie, um einen Satelliten von der Erde weg in den Weltraum zu bringen.
Um eine große Kugel aus dem Trichter zu holen, benötigt man mehr Energie als bei einer kleinen.	Um einen großen Satelliten von der Erde weg zubekommen, benötigt man mehr Energie als bei einem kleinen.
Beim Herabrollen verliert die Kugel potentielle Energie und bekommt Bewegungsenegie.	Fällt ein Meteorit auf die Erde, so bekommt er immer mehr Bewegungsenergie und verliert potentielle Energie.
Ein steiler Trichter oder Tisch entspricht	einer großen Feldstärke.

Potential und potentielle Energie bei konstanter Feldstärke

Um einen Koffer hochzuheben braucht man Energie. Diese steckt nach dem Hochheben als potentielle Energie des Koffers im Gravitationsfeld.

Am blauen Punkt kann man den Koffer hochheben. Mit dem Schieberegler seine Masse verändern.

• Wie hängt die potentielle Energie mit dem Höhenunterschied und der Masse zusammen?

(Zur Datei und zum Programm)

In der Nähe der Erdoberfläche ist die Stärke des Schwerefeldes ungefähr konstant.

[math]\vec F_G= m\, \vec g[/math]

Hebt man einen Gegenstand hoch, so wirkt währenddessen die Gewichtskraft entgegen der Bewegungsrichtung und daher muss dafür Energie aufgewendet werden. Diese Energie steckt dann im Schwerefeld. (Vgl. Energieübertragung mit einer Kraft)
Fällt ein Gegenstand, so geht die Energie des Feldes in den bewegten Gegenstand.

Für die Energiemenge eines Gegenstandes der Masse m, der sich in der Höhe h über einem festgelegten Nullniveau befindet, gilt:

[math]E_{pot}=F_G\, h = m\, g\, h[/math]

Definition des Potentials und Verallgemeinerung auf alle Felder

• Je mehr Masse der Gegenstand hat, desto mehr potentielle Energie steckt im Feld. Die Energie ist sogar proportional zur Masse: [math]E_{pot}\sim m[/math]
• Die Lageenergie pro Masse ist deshalb konstant und eine vom Probekörper unabhängige Feldeigenschaft. Sie heißt "Potential" des Gravitationsfeldes und ist ein skalares Feld.
• Dies lässt sich auf elektrische und magnetische Felder übertragen. Die Rolle der Masse übernimmt dabei die elektrische oder magnetische Ladung.

Das Potential eines Feldes ist die potentielle Energie pro Masse (elektrischer / magnetischer Ladung) des Probekörpers: Im Falle des elektrischen Potentials hat die Einheit sogar einen eigenen Namen bekommen, nämlich "Volt". Und elektrische Potentialunterschiede heißen "Spannung" (U). [math]\varphi_g=\frac{E}{m} \quad \Leftrightarrow \ E = m\, \varphi_g \qquad\text{}[/math] mit der Einheit [math][\varphi_g]=\rm \frac{J}{kg}[/math]. [math]\varphi_el=\frac{E}{Q} \quad \Leftrightarrow \ E = Q\, \varphi_{el} \qquad\text{}[/math] mit der Einheit [math][\varphi_{el}]=\rm \frac{J}{C} = \rm Volt[/math]. [math]\varphi_{mag}=\frac{E}{Q_{mag}} \quad \Leftrightarrow \ E = m\, \varphi_{mag} \qquad\text{}[/math] mit der Einheit [math][\varphi_{mag}]=\rm \frac{J}{kg}[/math]. Es beschreibt, wieviel Energie das Feld pro kg Masse (C Ladung / Wb magn. Ladung) des Probekörpers aufnimmt.

Das Potential entspricht der Höhe der Kugel im Potentialtrichter:

Verbindet man die Orte gleichen Potentials, so erhält man die Äquipotentialflächen, welche immer senkrecht zu den Feldlinien sind:

Feldflächen sind Äquipotentialflächen. Sie entprechen den "Höhenlinien" des Potentialtrichters.

Das Potential als Energiemenge pro Energieträgermenge spielt im gesamten Konzept der Energie eine Rolle.

Zusammenhang zwischen Potential und Feldstärke

Die wirkende Kraft beschreibt die Änderung der potentiellen Energie mit der Höhe. So besagt eine Gewichtskraft von 20 N, dass man bei einem Höhenunterschied von 1m eine Energiemenge von 20J bekommt oder aufwenden muss:

[math]E_{pot}=F_G\, h \quad \Rightarrow \quad F_g = \frac{E_{pot}}{h}\qquad \left(\text{Bsp: }20\,\rm N = 20 \frac{J}{m}\right)[/math]

Teilt man nun die Gleichungen durch die Masse, so sieht man, dass die Feldstärke dementsprechend die Änderung des Potentials mit der Höhe beschreibt. So besagt eine Feldstärke von 9,81 N/kg, dass sich das Potential pro Meter um 9,81 J/kg verändert oder dass man pro Meter und pro kg eine Energiemenge von 9,81 J benötigt bzw. bekommt.

[math] \begin{alignat}{2} E_{pot} &= F_G\, h = m\, g\, h \quad | :m \\ \tfrac{E_{pot}}{m} &= g\, h \\ \varphi_g &= g\, h \quad \Rightarrow \quad g = \frac{\varphi_g}{h}\qquad \left(\text{Bsp: }9{,}81\,\rm \frac{N}{kg} = 9{,}81 \frac{J}{m\, kg}\right)\\ \end{alignat} [/math]

Verallgemeinerung auf elektrische und magnetische Felder

Diese Überlegungen kann man auch für einen elektrisch geladenen Gegenstand in einem Kondensator oder für einen Magnetpol in einem homogenen Magnetfeld anstellen.

An die Stelle der Masse tritt in diesem Fall die elektrische oder die magnetische Ladung.

Feld	Kraft	Feldstärke "normierte Kraft"	potentielle Energie	Potential "normierte Energie"
Schwerefeld	[math]\vec F= m\, \vec g[/math]	[math]\vec g=\frac{\vec F}{m}[/math]	[math]E_{pot}=F\, h = m\, g\, h[/math]	[math]\varphi_{g}=\frac{E_{pot}}{m}=g\, h[/math]
elektrisches Feld	[math]\vec F= q\, \vec E[/math]	[math]\vec E=\frac{\vec F}{q}[/math]	[math]E_{pot}=F\, h = q\, E\, h[/math]	[math]\varphi_{E}=\frac{E_{pot}}{q}=E\, h[/math]
Magnetfeld	[math]\vec F= q_m\, \vec H[/math]	[math]\vec H=\frac{\vec F}{q_m}[/math]	[math]E_{pot}=F\, h = q_m\, H\, h[/math]	[math]\varphi_{H}=\frac{E_{pot}}{q_m}=H\, h[/math]

Das Feldlinienbild eines Kondensatorfeldes (Mitte) und zwei Darstellungen des Potentials.

Das Potential bei inhomogenen Feldern

• Hebe den Koffer an dem blauen Punkt hoch und beobachte wie sich seine potentielle Energie verändert.
• Wieviel Energie braucht man, um einen Koffer mit 5kg (10kg) Masse einen (zwei, drei) Erdradien anzuheben? (Zum Vergleich: Ein Liter Benzin enthält ca. 42MJ Energie)

Zusammenhang zwischen Potential und Feldstärke

Je steiler das Potentialgebirge, desto größer die Feldstärke. Die Feldstärke ist sogar gerade die räumliche Änderungsrate des Potentials: [math]g={\varphi_g}' \approx \frac{\triangle \varphi_g}{\triangle h} \qquad \Leftrightarrow \quad \triangle \varphi_g = \int_{s_1}^{s_2} g(h) ds \approx g\, \triangle h[/math] [math]E={\varphi_E}' \approx \frac{\triangle \varphi_E}{\triangle h} \quad \Leftrightarrow \quad \triangle \varphi_E = \int_{s_1}^{s_2} E(h) ds \approx E\, \triangle h[/math] [math]H={\varphi_H}' \approx \frac{\triangle \varphi_H}{\triangle h} \quad \Leftrightarrow \quad \triangle \varphi_H = \int_{s_1}^{s_2} H(h) ds \approx H\, \triangle h[/math]

Berechnung der Energiemenge durch die wirkende Kraft

Mit einer Kraft von 2N längs eines Weges der Länge 4m wird die Energiemenge von 8J übrtragen.

Eine Feder der Härte 0,5 N/m ist um 4m verlängert worden und speichert 4J Energie.

Durch eine veränderliche Kraft wird längs der 4m Wegstrecke eine Energie von ca. 6J übertragen.

Um die Definition des Potentials zu rechtfertigen, ist es entscheidend, dass

• die Energiemenge des Feldes proportional zur Ladung / Masse des "kleinen" Gegenstandes ist und das
• diese Energiemenge für einen Ort des "kleinen" Gegenstandes immer gleich ist, egal wie er dort hingekommen ist.

Zur Begründung schaut man sich die auf den Probekörper wirkende Kraft genauer an:

Bei der Bewegung des Probekörpers im Feld wirkt auf ihn eine Kraft, für die wir diese Fragen schon beantwortet haben:

Die wirkende Kraft ist proportional zur Ladung des Probekörpers, weshalb man die Feldstärke als "normierte" Kraft festgelegt haben.

Die Feldstärke hängt ansonsten nur vom Ort des Probekörpers ab.

[math]F= m\, g = Q \, E = Q_m \, H[/math]

Mit Hilfe der wirkenden Kraft läßt sich auch die Energiemenge berechnen. (Vgl. Energieübertragung mit einer Kraft)

Ist die Kraft F räumlich konstant und (anti-)parallel zum Weg der Länge s, so beträgt die übertragene Energiemenge:

[math]E = F \, s[/math]

Wenn die Kraft F(s) sich mit dem Ort ändert, aber noch (anti-)parallel ist, so kann man die Energiemenge mit einem Integral ausrechenen:

[math]E = \int_{s_1}^{s_2}F(s)\,ds[/math]

Ist die Kraft F räumlich konstant aber nicht (anti-)parallel zum Weg, so spielt nur der parallele Anteil der Kraft eine Rolle. Der senkrechte Anteil überträgt keine Energie.

[math]E = F_{||} \, s[/math] mit [math]F_{||}=F\, \cos(\alpha)[/math]

Die potentielle Energie bei veränderlicher Feldstärke

Kugeln rollen im Potentialgebirge von Lummerland.

Ein Vulkan

Schematische Darstellung der Höhenlinien

Feldflächen, Potential und Feldstärke eines Zentralfeldes

Statt [math]E = F\ s[/math] nun das Integral im Kraft-Wegdiagramm:

[math]E = \int F(s)\, ds[/math]

und die Kraft ist die örtliche Änderungsrate der potentiellen Energie:

[math]F = E'[/math]

Für einen Satelliten in der Höhe h über dem Erdboden:

[math]E_{pot}=\int_R^h F(h) \, dh = \int_R^h G\, \frac{m}{h^2} \, dh[/math]

[math]=- G\, m \, [\frac{1}{h}]_R^h = - G\, m \, [\frac{1}{h}-\frac{1}{R}][/math]

Links

• Darstellung eines elektrischen Potentialgebirges (von W. Christian, Physlet-System)
• Animation eines Potentialgebirges, mit fließenden Kugeln von vielen verschiedenen Situationen von Paul Falstad

• Geoelektrik (Karlsruher Institut für Technonolgie)

• Stromschlag tötet zwei Jugendliche im Bahnhof in Itzehoe NDR, 29.11.2020