Zustandsfunktion, Superpositionsprinzip und Wahrscheinlichkeitsinterpretation beim Doppelspalt (Zeigermodell)

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(Kursstufe > Quantentheorie nach Schrödinger (Wellenfunktion) und Feynman (Pfadintegrale))

Interferenzmuster eines Doppelspaltexperiments mit wachsender Anzahl N der am Schirm angekommenen Elektronen.

Bei Beugungs- und Interferenzexperimenten mit einzelnen Teilchen wie Photonen oder Elektronen werden die Teilchen mit einer dem Interferenzmuster entsprechenden Wahrscheinlichkeit gemessen. Offensichtlich ist es für ein Teilchen aber unmöglich zu interferieren. Daher gibt man die Vorstellung einer Bewegung eines Teilchens durch den Raum auf und beschränkt sich auf die Berechnung der Messwahrscheinlichkeit.

Beschreibung einer elektro-magnetischen Welle

Ein Laserstrahl kommt einer idealisierten em-Welle relativ nahe. Dabei ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Photons überall gleich groß. Diese Situation soll mathematisch beschrieben werden.

Eine Möglichkeit ist die Beschreibung der elektrischen und magnetischen Feldstärke in Abhängigkeit von Ort und Zeit. Aber diese Funktion entspricht nicht der gleichmäßigen Verteilung der Photonen, hat sie doch starke Schwankungen.

Auch die Energiedichte der em-Welle ist aus dem gleichen Grund ungeeignet.


In der Zeigerdarstellung ist aber längs der gesamten Ausbreitungsrichtung die Länge des Zeigers konstant. Die Länge des Zeigers ist gerade die Amplitude der Feldstärken. Weil der Energiegehalt der Felder aber proportional zum Quadrat der Feldstärke ist, ist das Quadrat der Zeigerlänge ein Maß für die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Photons.



Im folgendem soll der Doppelspaltversuch auf eine andere Art und Weise neu interpretiert werden.

  • Aufgrund der Schwierigkeiten des Wellen-Teilchen-Dualismus fassen wir Wellen und Teilcheneigenschaften zu Quanteneigenschaften zusammen.
Quanten sind weder Teichen noch Wellen, sondern etwas Neues!
  • Die Wellenfunktionen, bzw das Interferenzmuster, welches einem Quant zugeordnet wird, sind deterministisch und werden zur Berechnung der Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Quants benutzt. Der Aufenthaltsort des Quants ist unbestimmt, solange man nicht misst.

Berechnung der Wahrscheinlichkeitsdichte beim Doppelspalt

Wir möchten wissen, wie hell der Schirm an einer bestimmten Stelle ist, also wie groß die Intensität ist. Dazu berechnen wir die Anzahl der Quanten pro Zeit, bzw. die Wahrscheinlichkeitsdichte. Diese Berechnung verläuft vollkommen analog zur Berechnung der Intensität beim Doppelspalt mit Wellen.

Doppelspaltversuch;Quant.JPG vergrößern Doppelspaltversuch;Quant.JPG

Wellenzüge werden Zustände

Bei Wellen spricht man von zwei Wellenzügen, die auf dem Schirm interferieren. Bei Quanten von zwei möglichen Zuständen, die das Quant einnehmen kann. (Denn der Doppelspaltversuch klappt auch mit einzelnen Photonen!)

Ein Zustand ist die Wellenfunktion, welche durch den einen Spalt verläuft. Der andere Zustand wird durch eine Wellenfunktion durch den anderen Spalt beschrieben. Ein Zustand beschreibt also einen möglichen Verlauf in Raum und Zeit, nicht einen Ort zu einem Zeitpunkt!

Die Zustände eines Quants werden hier durch die Wellenfunktionen [math]\Psi(x,t)[/math] einer ebenen Welle beschrieben. Die Wellenfunktion ordnet jedem Punkt einen sich drehenden Zeiger zu, deshalb hängt der Zeiger [math]\Psi[/math] vom Ort x und der Zeit t ab.

Bei einer Welle dient die Zeigerdarstellung nur der einfacheren Darstellung. Von einem Zeiger wird die y-Komponente als Elongation betrachtet. Bei der Zustandsfunktion eines Quants kann man dagegen von den Zeigern nichts weglassen oder projizieren!

Bild:Ebene_Welle_Zeigerdarstellung.png

Der Zustand eines Photons definiert sich durch die Emission des Photons aus der Lampe, dem Weg und dem Auftreffen auf dem Schirm. Ein Zustand ist also nicht fest in der Zeit, sondern beschreibt eine Möglichkeit, welchen Weg das Quant genommen haben könnte.

Amplitudenquadrat wird Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeitsdichte des Quants soll der Intensität des Interferenzmusters entsprechen. Weil die Intensität einer Welle proportional zum Amplitudenquadrat ist, legen wir die Wahrscheinlichkeit, ein Quant an einem bestimmten Ort zu finden, als [math]|\Psi|^2[/math], also das Quadrat der Zeigerlänge fest.

Interferenz wird Superposition

Die Wahrscheinlichkeitsdichte der "Überlagerung" am Schirm ist dann [math]|\psi_1+\psi_2|^2[/math]. Man muss die Zeiger addieren und dann das Quadrat der Länge bestimmen.

Bemerkungen zur quantentheoretischen Interpretation

Ob das Quant nun oben oder unten durchgeflogen ist weiss man nicht. Es hat natürlich nicht beides zugleich gemacht. Außerdem ist unser Unwissen darüber von Bedeutung. Siehe auch:(Der Quantenradierer (Welcher Weg Information))

Falsche Vorstellungen und Formulierungen

  • Ein Photon/Elektron,... interferiert mit sich selbst
  • Ein Photon/Elektron passiert bei Spalte des Doppelspaltes
  • Eine Quantenkanone schießt mit Kugeln

Links

Doppelspalt



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