Mathematische Beschreibung von Schwingungen

Beschreiben der Bewegung einer harmonischen Schwingung

• Idealisierung:
  • Reibungsfrei
  • lineare Rückstellkraft

Versuch: Ein Sandpendel

Versuchsaufbau des Sandpendels(1)

Versuchsergebnis des Sandpendels(2)

Aufbau:

Siehe Bild 1

Beobachtung:

Es entsteht eine Wellenlinie. (Siehe Bild 2)

Erklärung

Diese Wellenlinie ist gerade das Zeit-Ort Diagramm einer Schwingung, denn sie gibt an wann der Körper wo ist. Die Ortsfunktion scheint eine Sinusfunktion zu sein, an der man die Amplitude und die Periode ablesen kann.

Versuch: Projektion der Kreisbewegung

Aufbau:

Versuchsaufbau Projektion der Kreisbewegung(3)

Siehe Bild 3

Beobachtung:

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Erklärung

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Zu 108.2

[math]\omega[/math]: Winkelgeschwindigkeit [math]f[/math]: Umläufe pro Zeit

z.B.:

[math]f = 2Hz[/math]

[math]w = 2*\pi*\left( \frac{1}{s} \right)= 4*\pi*\left( \frac{1}{s} \right)[/math]

[math]\Rightarrow \omega=2*\pi*f[/math] und weil [math]f=\left( \frac{1}{T} \right)[/math]

[math]\omega=\left( \frac{2*\pi}{T} \right)[/math]

Zu 108.3

[math]\phi_0[/math] = Phasenverschiebung

[math]\phi_0[/math] = 0° = Schwingung in Phase

[math]\phi_0[/math] =[math]\pi*(180°)[/math] = gegenphasig

Berechnung des Geschwindigkeitsgesetzes

[math]v=\dot s[/math] [math]v(t)=[\hat y*sin(\omega*t)][/math] [math]\rightarrow[/math] Ableitung = [math]v=\^y*cos(\omega*t)*\omega[/math]

Anmerkung: Elongation ist nicht von der Zeit abhängig, daher wird hier nicht abgeleitet;

Wiederholung: [f(g(t))]= f'(g(t))*g'(t)

[math]\Rightarrow[/math] [math]v(t) = \hat y*\omega*cos(\omega*t)[/math]

[math]v(t) = \hat v*cos(\omega*t)[/math]

[math]\hat v[/math] ist die maximale Geschwindigkeit

Berechnung des Beschleunigungsgesetzes

Beschleunigung = [math]a=\dot v = [\hat y*\omega*cos(\omega*t)]= \hat y*\omega*(-sin(\omega*t)*\omega[/math]

[math]\Rightarrow a(t)=-\hat y*\omega^2*sin(\omega*t)[/math]

Beispiel: Federpendel

Federpendel

Für 10 Schwingungen: 12s

Amplitude: 9cm

[math]T=1{,}2[/math]

[math]\omega=\left( \frac {2*\pi}{1{,}2} \right)[/math]

[math]s(t)=9cm*sin(\left( \frac {2*\pi}{1{,}2s} \right)*t[/math]

[math]v(t)=9cm*\left( \frac {2*\pi}{1{,}2s} \right)*cos(\left( \frac {2*\pi}{1{,}2s} \right)*t)[/math]

[math]\hat v = 9cm*\left( \frac {2*\pi}{1{,}2s} \right)= 47\frac{cm}{s}[/math]

Differentialgleichung einer harmonischen Schwingung

• Rückstellkraft
• F-s-Diagramm
• Potential

Untersuchung dreier Schwingungen

• Ziel der Untersuchung ist es, das -Zeit-Orts-Gesetz [math]y(t)[/math] und damit auch die Frequenz der Schwingung aus der äußeren Situation, wie z.B. die Masse eines Körpers herzuleiten.

Dazu ist es sinnvoll jeweils die DGL aufzustellen. Zunächst muss man ein Koordinatensystem wählen und den Ort-Kraft-Verlauf bestimmen. Vor allem beim Fadenpendel hilft auch ein Blick in ein Buch oder ins Internet weiter.

Als Ergebnis sollen Sie sowohl eine allgemeine Formel erstellen, sowie eine konkrete Rechnung mit den gemessenen Größen durchführen.

• Welche Schlussfolgerung können Sie aus der allgemeinen Lösung ziehen? (Z.B. Abhängigkeit von der Masse, etc.)

• Vergleichen Sie dann die errechnete Frequenz mit der gemessenen und führen Sie eine Fehlerrechnung durch.