Gedämpfte Schwingungen

Versuch: Schwingende Stange

Aufbau

Datei:Versuchsaufbau Schwingungen gedämpft Stange.jpg

Versuchsaufbau mit Markierungen der Amplitude.

Versuch: Wassergedämpftes Federpendel

Aufbau

Datei:Versuchsaufbau Schwingungen gedämpft.jpg

Versuchsaufbau mit variablen Gewichten und Scheiben.

Beobachtung

Datei:Schwingung Dämpfung klein.png

Bla bla bla

Datei:Schwingung Dämpfung mittel.png

Bla bla bla

Datei:Schwingung Dämpfung Grenzfall.png

Bla bla bla

Datei:Schwingung Dämpfung Kriechfall.png

Bla bla bla

Theoretischer Hintergrund

Bei Gleitreibung

Die Amplitude nimmt linear ab, die Frequenz ändert sich nicht.

$$F_{R}=const.$$

DGL: [math]m\ddot y=-Dy\pm F_R[/math]

Bei einem Strömungswiderstand und "kleiner" Geschwindigkeit

Laminare Strömung ohne Wirbel

$$F_{R}$$ $$\sim v$$

Amplitude nimmt exponentiell ab

 DGL: [math]m\ddot y=-Dy-r\dot y[/math]          ([math]r[/math]: Reibungskoeffizient)
  
        [math]\ddot y=-{D\over m}y-{r\over m}\dot y[/math]

Schwingfall

$$\quad \mathrm{k^2} \, \lt \, \omega_0^2 \quad \Leftrightarrow \quad r^2 \, \lt \, 4 \mathrm{D m}$$

  [math]\operatorname{y(}\, t)=\hat y_oe^{-kt}\sin {(\omega t + \varphi)[/math]     ([math]k[/math]: Dämpfungskoeffizient)

     [math]k={r\over{2m}}[/math]             [math]\omega^2={\omega_o}^2-k^2[/math]

aperiodischer Grenzfall

$$\quad \mathrm{k^2} \, = \, \omega_0^2 \quad \Leftrightarrow \quad r^2 \, = \, 4 \mathrm{D m}$$

Kriechfall

$$\quad \mathrm{k^2} \, \gt \, \omega_0^2 \quad \Leftrightarrow \quad r^2 \, \gt \, 4 \mathrm{D m}$$

$$\mathrm{ y(t) = \hat y_0 \quad e^{-K t} }\quad$$ mit $$\quad\mathrm{K = k-sqrt{k^2 - \omega_0^2}}$$

Bei einem Strömungswiderstand und "großer" Geschwindigkeit

Strömung mit Wirbelbildung

$$F_{R}\sim v^2$$

DGL: [math]m\ddot y=-Dy-r\dot y^2[/math]    [math]\Rightarrow[/math]ist nicht exakt lösbar! (nur näherungsweise mit Computer)