Beschreibung einer harmonischen Schwingung mit der Zeigerdarstellung

Ausgehend von experimentellen Beobachtungen stellt man ein mathematisches Modell auf, mit dem man die Bewegung einer Schwingung beschreiben kann. Ob dieses sogenannte Zeigermodell für eine Schwingung zutrifft, kann man wiederum nur experimentell untersuchen.

Das Vorgehen ist also deduktiv, ein Modell wird im Experiment überprüft.

Alle Schwingungen, die sich mit dem Zeigermodell beschreiben lassen, heißen harmonische Schwingungen.

Versuch: Ein Sandpendel

Aufbau:

Versuchsaufbau des Sandpendels(1) vergrößern Versuchsaufbau des Sandpendels(1)

Siehe Bild 1

Beobachtung:

Versuchsergebnis des Sandpendels(2) vergrößern Versuchsergebnis des Sandpendels(2)

Es entsteht eine Wellenlinie. (Siehe Bild 2)

Erklärung

Diese Wellenlinie ist gerade das Zeit-Ort Diagramm einer Schwingung, denn sie gibt an wann der Körper wo ist. Die Ortsfunktion scheint eine Sinusfunktion zu sein, an der man die Amplitude und die Periode ablesen kann.

Versuch: Projektion der Kreisbewegung

Aufbau:

Versuchsaufbau Projektion der Kreisbewegung(3) vergrößern Versuchsaufbau Projektion der Kreisbewegung(3)

Variation der Drehgeschwindigkeit oder Variation der Schwingung durch Veränderung der Masse und Feder. Die Veränderung der Schwingung ist exakter durchführbar!

Beobachtung:

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Erklärung

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Die Zeigerdarstellung

Ausgehend von dem Ergebnis des Projektionsversuchs, beschreibt man eine harmonische Schwingung durch einen drehenden Zeiger.

• Die Projektion des Zeigers auf die y-Achse ist die Elongation des schwingenden Körpers.
• Der Zeiger dreht sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit gegen den Uhrzeigersinn.
• Die Länge des Zeigers entspricht der Amplitude der Schwingung. (Nur bei einer idealisierten ungedämpften Schwingung ohne Reibung ist also die Zeigerlänge konstant.)

Mit Hilfe des Applets läßt sich das gut nachvollziehen. Das folgende Bild ist damit gemacht. Die Zeigerdarstellung Die Zeigerdarstellung

Herleitung der Bewegungsgesetze

Zusammenhang zwischen Winkelgeschwindigkeit, Frequenz und Periodendauer

Wie bei allen Kreisbewegungen und Schwingungen gilt:

LaTex: \omega = 2\pi f und LaTex: T=\frac{1}{f}

Das Orts-Gesetz

Der Ort des Körpers ist gerade die y-Koordinate der Zeigerspitze. Hat sich der Zeiger um den Winkel LaTex: \alpha gedreht, so gilt:

LaTex: \sin \alpha = \frac{y}{\hat y} \qquad \Leftrightarrow \qquad y = \hat y \sin \alpha

Der Zeiger bewegt sich mit der Winkelgeschwindigkeit LaTex: \omega, es gilt also LaTex: \alpha = \omega t und damit erhält man:

LaTex: y = \hat y \sin (\omega t)

Berechnung des Geschwindigkeitsgesetzes

Die Geschwindigkeit ist die zeitliche Änderungsrate des Ortes, also muss man nach der Zeit ableiten. Dabei muss man die Kettenregel beachten.

LaTex: v(t)=\dot s (t) = \hat y sin(\omega t) = \hat y cos(\omega t) \omega

   Anmerkung: Elongation ist nicht von der Zeit abhängig, daher wird hier nicht abgeleitet; 
   Wiederholung: [f(g(t))]'= f'(g(t)) g'(t) 

LaTex: v(t) = \hat y \omega cos(\omega t) = \hat v cos(\omega t)\qquad \qquad \hat v = \hat y \omega ist die maximale Geschwindigkeit.

Für den Impuls folgt direkt:

Berechnung des Beschleunigungsgesetzes

Um die Beschleunigung zu erhalten, muss man die Geschwindigkeit erneut ableiten.

LaTex: a=\dot v = \dot{\hat y \omega cos(\omega t)} = \hat y \omega (-sin(\omega t)) \omega

LaTex: a(t)=-\hat y \omega^2 sin(\omega t) = \hat a sin(\omega*t)\qquad \qquad \hat a = -\hat y \omega ^2 ist die maximale Beschleunigung.

Folgerungen aus den Bewegungsgesetzen

Impuls

Der Impuls hängt direkt mit der Geschwindigkeit über LaTex: p=m vzusammen:

LaTex: p(t)=m \hat y \omega cos(\omega t) \qquad \qquad \hat p = m\hat y \omega ist der maximale Impuls.

Kraft

Die Beschleunigung hängt direkt mit der wirkenden Kraft zusammen, daher folgt:

LaTex: F(t)=-m \hat y \omega^2 sin(\omega t) = \hat F sin(\omega t)\qquad \qquad \hat F = -m \hat y \omega ^2 ist die maximale Kraft.

Schreibt man die Gleichung etwas um, so erkennt man den Zusammenhang zwischen Kraft F und Auslenkung y:

LaTex: F=-m \hat y \omega^2 sin(\omega t) = -m \omega^2 y

Die Kraft ist also proportional zur Auslenkung mit der Federkonstanten LaTex: D=m \omega^2!

Beispiel: Federpendel Federpendel vergrößern Federpendel

   Für 10 Schwingungen: 12s 
   Amplitude: 9cm 

   LaTex: T=1{,}2 
   LaTex: \omega=\left( \frac {2*\pi}{1{,}2} \right) 

LaTex: s(t)=9cm*sin(\left( \frac {2*\pi}{1{,}2s} \right)*t

LaTex: v(t)=9cm*\left( \frac {2*\pi}{1{,}2s} \right)*cos(\left( \frac {2*\pi}{1{,}2s} \right)*t)

LaTex: \hat v = 9cm*\left( \frac {2*\pi}{1{,}2s} \right)= 47\frac{cm}{s}

Aufgaben

Zu 108.2

LaTex: \omega: Winkelgeschwindigkeit LaTex: f: Umläufe pro Zeit

z.B.:

   LaTex: f = 2Hz 
   LaTex: w = 2*\pi*\left( \frac{1}{s} \right)= 4*\pi*\left( \frac{1}{s} \right) 

   LaTex: \Rightarrow \omega=2*\pi*f und weil LaTex: f=\left( \frac{1}{T} \right) 

   LaTex: \omega=\left( \frac{2*\pi}{T} \right) 

Zu 108.3

   LaTex: \phi_0 = Phasenverschiebung 
   LaTex: \phi_0 = 0° = Schwingung in Phase 
   LaTex: \phi_0 =LaTex: \pi*(180°) = gegenphasig 

Links

• Applet zur Zeigerdarstellung
• Wikipedia: Zeigerdiagramm