Flächenladungsdichte, elektrische Feldkonstante und erste Maxwellsche Gleichung

Inhaltsverzeichnis

   * 1 Versuch: Influenzierte Platten im Kondensator
         o 1.1 Aufbau
         o 1.2 Beobachtung
         o 1.3 Erklärung
   * 2 Die elektrische Flussdichte (Verschiebungsdichte)
   * 3 Versuch: Influenzierte Hohlkugel (Cavendish)
         o 3.1 Aufbau
         o 3.2 Beobachtung
         o 3.3 Erklärung
   * 4 Felderzeugende Ladung und Feldstärke (Erste Maxwellsche Gleichung)
         o 4.1 Allgemeine Beispiele
         o 4.2 Anwendung beim Kondensator
         o 4.3 Feld eines geladenen langen Drahtes (Zylinderfeld)
   * 5 Links

[bearbeiten] Versuch: Influenzierte Platten im Kondensator [bearbeiten] Aufbau Die beiden Platten liegen unter dem Kondensator. Rechts der Messverstärker mit Voltmeter als Anzeige. vergrößern Die beiden Platten liegen unter dem Kondensator. Rechts der Messverstärker mit Voltmeter als Anzeige.

Zwei Metallplatten, die an Plastikstäben befestigt sind, werden zwischen den Kondensator geführt. Während diesem Vorgang berühren sich die Innenseiten der Platten noch. Im Feld werden die Platen dann getrennt und mit etwa einem Zentimeter Abstand aus dem Feld herausgeführt. Nun werden sie nacheinander , also einzeln an den Messverstärker gehalten.

Danach bestimmt man die Ladung der Kondensatorplatte. [bearbeiten] Beobachtung

Hält man die rechte Platte an den Verstärker, so schlägt er positiv aus. Hält man danach die linke daran, so geht der Ausschlag auf null zurück.

   * U = 10kV d = 5cm Q = 17 nC
   * U = 5kV d = 5cm Q = 8 nC 

   * U = 5kV d = 5cm Q = 160 nC 

Bestimmt man die Flächenladungsdichte der Kondensatorplatte, so stellt man fest, dass diese mit der Dichte auf den influenzierten Platten übereinstimmt! Weitere Messwerte:

   * U = 5kV d = 7cm Q = 3nC
   * U = 10kV d = 7cm Q = 8nC
   * U = 15kV d = 7cm Q = 12nC
   * U = 5kV d = 3,5cm Q = 8nC

Vorallem an dem letzten Messwert kann man nun zusätzlich ablesen, dass nicht nur die Spannung maßgeblich für die Feldstärke ist, sondern auch der Abstand zwischen den Kondensatorplatten. [bearbeiten] Erklärung Zwei influenzierte und auseinandergezogene Platten im elektrischen Feld. vergrößern Zwei influenzierte und auseinandergezogene Platten im elektrischen Feld.

Die Platten werden im Feld influenziert,es baut sich ein Gegenfeld auf, sodass der Raum zwischen den Platten feldfrei ist. An den der Kondensatorplatten zugewandten Oberflächen der Platten befinden sich Ladungen.

   * Die influenzierte Ladungsmenge ist proportional zur Feldstärke. LaTex: Q \sim E
   * Die Ladungsmenge ist außerdem proportional zur Fläche der Platten. LaTex: Q \sim E \, A
   * Die Flächenladungsdichte ist daher proportional zur Feldstärke. LaTex: \frac{Q}{A}\sim E
   * Den Proportionalitätsfaktor nennt man elektrische Feldkonstante LaTex: \epsilon_0. 

   LaTex: \sigma = \frac{Q}{A} = \varepsilon_0 \, E 

Da der Kondensator die gleiche Flächenladungsdichte aufweist, kann man die obige Formel nun auf zweierlei Arten interpretieren:

Ein elektrisches Feld erzeugt eine bestimmte influenzierte Flächenladungsdichte

   LaTex: \frac{Q}{A}=\varepsilon_0 E 

Eine Flächenladungsdichte erzeugt eine bestimmte Feldstärke

   LaTex: E=\frac{1}{\varepsilon_0}\frac{Q}{A} 

Dieses Ergebnis stimmt mit den vorher qualitativ betrachteten Ladungsverteilungen in geladenen Körpern überein. An den Stellen, an denen sich viele Ladungen auf der Oberfläche sammeln ist die Feldstärke groß und umgekehrt. (Vgl. die Bilder von Ladungsverteilungen.) [bearbeiten] Die elektrische Flussdichte (Verschiebungsdichte)

Wie stark ein Körper durch ein elektrisches Feld "elektrisiert", also influenziert wird, kann man mit Hilfe der Flächenladungsdichte nun beschreiben.

Die Möglichkeit einen Gegenstand vom elektrischen Feld influenzieren zu lassen erlaubt es das elektrische Feld selbst zu untersuchen. Diese Feldgröße heißt elektrische Flussdichte oder Verschiebungsdichte. Im Falle von Kondensatorplatten stimmt sie mit der Flächenladungsdichte überein.

LaTex: D=\frac{Q}{A} [bearbeiten] Versuch: Influenzierte Hohlkugel (Cavendish) [bearbeiten] Aufbau Hier wird ein abgeschirmtes Kabel zur Messung der Ladung verwendet. vergrößern Hier wird ein abgeschirmtes Kabel zur Messung der Ladung verwendet.

   * Man lädt die Kugel mit Hilfe des Hochspannungsnetzgerätes auf.
   * Dann nähert man die äußeren Kugelschalen ohne dass sie die innere Kugel berühren.
   * Man misst die Ladung der äußeren Kugelschale.
   * Man misst die Ladung der inneren Kugel. 

[bearbeiten] Beobachtung

   * Die Kugelschalen sind auf der äußeren Seite mit der gleichen Ladungsmenge versehen wie die innere Kugel. 

Bei U= V misst man nC. [bearbeiten] Erklärung Die äußere influenzierte Kugelschale trägt die gleiche Ladungsmenge an ihrer Außenseite wie die innere Kugel. vergrößern Die äußere influenzierte Kugelschale trägt die gleiche Ladungsmenge an ihrer Außenseite wie die innere Kugel.

Die äußere Kugelschale wird im Feld der inneren Kugel influenziert.

Da die innere Kugel eine kleinere Oberfläche hat als die äußere, aber die gleiche Ladungsmenge trägt, kann man daraus schließen, dass die Flächenladungsdichte der äußeren Kugel geringer ist. Daraus folgt wiederum, dass die Feldstärke abgenommen hat!

Daraus kann man die Feldstärke des Zentralfeldes in Abhängigkeit von der felderzeugenden Ladung, also im wesentlichen das Coulombsche Kraftgesetz bestimmen:

   LaTex: \frac{Q}{A}=\varepsilon_0 E 

Setzt man die Kugeloberfläche LaTex: A=4\, \pi r^2 ein und löst nach der Feldstärke auf, ergibt sich:

   LaTex: E=\frac{1}{\varepsilon_0} \, \frac{Q}{A} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\, \frac{Q}{r^2} 

Nun wird auch klar, warum die Proportionalitätskonstante im Coulombschen Gesetz gerade LaTex: \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} ist!

[bearbeiten] Felderzeugende Ladung und Feldstärke (Erste Maxwellsche Gleichung)

Die Ergebnisse des Cavendish-Experimens lassen sich auf zwei Weisen anwenden:

   * Man kann bei bekannter Ladungsmenge die mittlere Feldstärke durch eine Fläche bestimmen.
   * Man kann bei bekannter mittlerer Feldstärke durch eine geschlossene Fläche auf die Ladung innerhalb der Fläche rückschließen. 

Waren die Flächen beim Cavendish-Experiment Kugelschalen, so läßt sich das verallgemeinern:

  1. Man kann beliebige Äquipotentialflächen verwenden.
  2. Man kann sogar beliebige, geschlossene Flächen verwenden.
  3. Bei einer nicht konstanten Feldstärke rechnet man mit der mittleren Feldstärke LaTex: \bar E. 

LaTex: Q = \epsilon_0 \, \bar E \, A

Auf diese elegant formulierte Art wird eindrücklich klar, dass die Ladungen Quellen und Senken des elektrischen Feldes sind. Es ist eine verallgemeinerte Version der Feldstärke des Zentralfeldes.

[bearbeiten] Allgemeine Beispiele

Die umschlossene Ladungsmenge und die mittlere Feldstärke durch die gewählte Fläche hängen direkt zusammen. Je nach Wahl der Fläche lassen sich verschiedene Aussagen machen.

A1: Die mittlere Feldstärke entspricht einer positiven Ladung.

A2: Die mittlere Feldstärke ist Null, die Fläche enthält keine Ladung.

A3: Die mittlere Feldstärke enstpricht einer negativen Ladung. [bearbeiten] Anwendung beim Kondensator

Legt man um die positiv geladene Platte die Fläche A1, so laufen die Feldlinien aus der Fläche heraus, die enthaltene Ladung ist positiv. Bei A2 laufen die Feldlinien herein, die Ladung ist negativ.

Quantitativ erhält man den bereits bekannten Zusammenhang zwischen der Kondensatorfläche, der Feldstärke und der Ladung. Die Feldstärke ausserhalb des Kondensators kann man vernachlässigen.

Man erhält bei A1:

   LaTex: A_K: Kondensatorfläche 
   LaTex: E_K: Feldstärke im Kondensator 
   LaTex: Q=\varepsilon_0 E A = \varepsilon_0 \, \frac{1}{2}E_K \, 2 A_K 
   LaTex: Q= \varepsilon_0 \, E_K A_K 

[bearbeiten] Feld eines geladenen langen Drahtes (Zylinderfeld)

Denkt man sich den Cavendish-Versuch für einen langen, geladenen Draht, so läßt sich seine Feldstärke bestimmen.

Der Draht habe die Länge l und sei mit der Ladung Q geladen.

Man legt eine Zylinderfläche um den Draht, die aus Symmetriegründen auch Äquipotentialfläche ist. Die kreisförmigen Abschlüsse des Zylinders vernachlässigt man, weil man von einem relativ langen Draht ausgeht und die Flächen somit im Vergleich zur Mantelfläche sehr klein sind. Das elektrische Feld durch diese Flächen "ist Null".

Nun gilt:

   LaTex: A=2\pi r l (Mantelfläche des Zylinders) 
   LaTex: E=\frac{1}{\varepsilon_0} \, \frac{Q}{A} = \frac{1}{\varepsilon_0} \, \frac{Q}{2\pi r l} 
   LaTex: E=\frac{1}{\varepsilon_0 2\pi l} \, \frac{Q}{r} 

Die Feldstärke nimmt also nur proportional zu LaTex: \frac{1}{r} ab und nicht wie beim Zentralfeld proportional zu LaTex: \frac{1}{r^2}!

Man sagt, das Feld hat eine größere Reichweite.

Für das Potential ergibt sich eine interessante Folgerung. Da es die Aufleitung (Stammfunktion) der Feldstärke ist, hat das Potential die Form:

   LaTex: \varphi(r)=\mathrm{c} \cdot \ln(r) 

Beim Gravitationsfeld der Erde kann man für einen Körper eine Fluchtenergie bestimmen, mit der er das Feld der Erde langfristig verlässt. Aus dem logarithmischen Potential kann man ließen, dass eine Ladung mit einer gewissen Anfangsenegie dem Feld des geraden Leiters nicht entkommen kann. Auch so kann man den Begriff "größere Reichweite" interpretieren.