Die Bewegungsgesetze einer harmonischen Schwingung
Inhaltsverzeichnis
[Verbergen]Herleitung der Bewegungsgesetze
Zusammenhang zwischen Winkelgeschwindigkeit, Frequenz und Periodendauer
Wie bei allen Kreisbewegungen und Schwingungen gilt:
[math]\omega = 2\pi f[/math] und [math]T=\frac{1}{f}[/math]
Das Orts-Gesetz
Der Ort des Körpers ist gerade die y-Koordinate der Zeigerspitze. Hat sich der Zeiger um den Winkel α gedreht, so gilt:
sinα=yˆy⇔y=ˆysinα Der Zeiger bewegt sich mit der Winkelgeschwindigkeit ω, es gilt also α=ωt und damit erhält man:
[math]y = \hat y \sin (\omega t)[/math]
Berechnung des Geschwindigkeitsgesetzes
Die Geschwindigkeit ist die zeitliche Änderungsrate des Ortes, also muss man nach der Zeit ableiten. Dabei muss man die Kettenregel beachten.
v(t)=˙s(t)=(ˆysin(ωt)˙)=ˆycos(ωt)ω (Wiederholung: [f(g(t))]'= f'(g(t)) g'(t) )
[math] v(t) = \hat y \omega cos(\omega t) = \hat v cos(\omega t)\qquad \qquad \hat v = \hat y \omega [/math] ist die maximale Geschwindigkeit.
Berechnung des Beschleunigungsgesetzes
Um die Beschleunigung zu erhalten, muss man die Geschwindigkeit erneut ableiten.
a=˙v=˙ˆyωcos(ωt)=ˆyω(−sin(ωt))ω
[math]a(t)=-\hat y \omega^2 sin(\omega t) = \hat a sin(\omega*t)\qquad \qquad \hat a = -\hat y \omega ^2 [/math] ist die maximale Beschleunigung.
Folgerungen aus den Bewegungsgesetzen
Impuls
Der Impuls hängt direkt mit der Geschwindigkeit über p=mv zusammen:
p(t)=mˆyω cos(ωt)ˆp=mˆyω ist der maximale Impuls.
Kraft
Die Beschleunigung hängt direkt mit der wirkenden Kraft über F=m a zusammen, daher folgt:
F(t)=−mˆyω2 sin(ωt)=ˆFsin(ωt)ˆF=−mˆyω2 ist die maximale Kraft.
Ausserdem folgt aus der sinusförmigen Bewegung auch der lineare Zusammenhang F=−Dy von Kraft und Auslenkung, wie bei einer Feder. (Siehe hier.)
Frequenz
Die maximal wirkende Rückstellkraft läßt sich auf zwei Arten berechnen. Einmal über die maximale Beschleunigung −ˆyω2 und einmal über die maximale Auslenkung ˆy:
- ˆF=mˆa=−Dˆy
⇒−mˆyω2=−Dˆy. Teilt man nun noch durch die Amplitude ˆy und die Masse m, so folgt:
[math]\omega^2= \frac{D}{m}[/math] oder [math]\omega= \sqrt{\frac{D}{m}}[/math] ; [math] f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{D}{m}}[/math] ; [math] T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{D}}[/math] Frequenz einer harmonischen Schwingung, sie hängt nicht von der Amplitude ab.
Die Schwingungsdauer, bzw Frequenz folgt aus der Kreisfrequenz mit: ω=2πf und T=1f
Beispiel: Federpendel
T=1,2
ω=(2∗π1,2)
s(t)=9cm∗sin((2∗π1,2s)∗t
v(t)=9cm∗(2∗π1,2s)∗cos((2∗π1,2s)∗t)
ˆv=9cm∗(2∗π1,2s)=47cms
Aufgaben
Zu 108.2
ω: Winkelgeschwindigkeit f: Umläufe pro Zeit
z.B.: f=2Hz
w=2∗π∗(1s)=4∗π∗(1s)
⇒ω=2∗π∗f und weil f=(1T)
ω=(2∗πT)
Zu 108.3
ϕ0: Phasenverschiebung
ϕ0=0∘: Schwingung in Phase
ϕ0=π(180∘): gegenphasig
