Die Bewegungsgesetze einer harmonischen Schwingung
Inhaltsverzeichnis
Das Ortsgesetz
Aus der Zeigerdarstellung oder aus der Differentialgleichung folgt beidesmal der sinusförmige Verlauf der Elongation, also des Ortes:
[math]y = \hat y \sin (\omega t)[/math]
Berechnung des Geschwindigkeitsgesetzes
Die Geschwindigkeit ist die zeitliche Änderungsrate des Ortes, also muss man nach der Zeit ableiten. Dabei muss man die Kettenregel beachten.
[math]v(t)=\dot s (t) = (\hat y \sin(\omega t)\dot) = \hat y cos(\omega t) \omega[/math] (Wiederholung: [math][f(g(t))]'= f'(g(t)) \, g'(t)[/math])
[math] v(t) = \hat y \omega cos(\omega t) = \hat v cos(\omega t)\qquad \qquad \hat v = \hat y \omega [/math] ist die maximale Geschwindigkeit.
Berechnung des Beschleunigungsgesetzes
Um die Beschleunigung zu erhalten, muss man die Geschwindigkeit erneut ableiten.
[math]a = \dot v = \hat y \omega \dot{cos(\omega t)} = \hat y \omega (-\sin(\omega t)) \omega[/math]
[math]a(t)=-\hat y \omega^2 \sin(\omega t) = \hat a \sin(\omega \, t)\qquad \qquad \hat a = -\hat y \omega ^2 [/math] ist die maximale Beschleunigung.
Folgerungen aus den Bewegungsgesetzen
Impuls
Der Impuls hängt direkt mit der Geschwindigkeit über [math]p=m \, v[/math] zusammen:
[math]p(t)=m \, \hat y\, \omega \ cos(\omega\, t) \qquad \qquad \hat p = m\, \hat y \,\omega[/math] ist der maximale Impuls.
Energie
Die Bewegungsenergie hängt direkt mit der Geschwindigkeit, bzw. mit dem Impuls zusammen: [math]E_{kin}=\frac{1}{2}m \, v^2 = \frac{p^2}{2\, m}[/math]
Die "restlichen" Energieformen wie Spann- und Lageeneergie ergänzen die Bewegungsenergie immer zu einer konstanten Summe. (Zumindest bei einer ungedämpften Schwingung.)
[math]E_{kin} = \frac{1}{2} m\, \hat y^2 \omega^2 \cos^2(w\, t) \qquad \qquad \hat E_{kin} =\frac{1}{2} m \, \hat y^2 \omega^2 [/math] ist die maximale Bewegungsenergie.
Die Energie ist proportional zum Quadrat der Frequenz und zum Quadrat der Amplitude.
Kraft
Die Beschleunigung hängt direkt mit der wirkenden Kraft über [math]F=m\ a[/math] zusammen, daher folgt:
[math]F(t)=-m\, \hat y\, \omega^2 \ \sin(\omega\, t) = \hat F \sin(\omega\, t)\qquad \qquad \hat F = -m\, \hat y \,\omega ^2[/math] ist die maximale Kraft.
Ausserdem folgt aus der sinusförmigen Bewegung auch der lineare Zusammenhang [math]F=-D\,y[/math] von Kraft und Auslenkung, wie bei einer Feder. (Siehe hier.)
Frequenz
Die maximal wirkende Rückstellkraft läßt sich auf zwei Arten berechnen. Einmal über die maximale Beschleunigung [math]-\hat y \,\omega^2 [/math] und einmal über die maximale Auslenkung [math]\hat y[/math]:
- [math]\hat F = m \,\hat a = -D\,\hat y[/math]
[math]\Rightarrow -m\, \hat y \,\omega^2 = -D \,\hat y [/math]. Teilt man nun noch durch die Amplitude [math]\hat y[/math] und die Masse [math]m[/math], so folgt:
[math]\omega^2= \frac{D}{m}[/math] oder [math]\omega= \sqrt{\frac{D}{m}}[/math] ; [math] f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{D}{m}}[/math] ; [math] T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{D}}[/math] Frequenz einer harmonischen Schwingung, sie hängt nicht von der Amplitude ab!
Die Schwingungsdauer, bzw Frequenz folgt aus der Kreisfrequenz mit: [math] \omega=2\,\pi\, f [/math] und [math] T = \frac{1}{f}[/math]
Beispiel: Federpendel
[math]T=1{,}2[/math]
[math]\omega=\left( \frac {2*\pi}{1{,}2} \right)[/math]
[math]s(t)=9cm \cdot \sin(\left( \frac {2*\pi}{1{,}2s} \right)*t[/math]
[math]v(t)=9cm*\left( \frac {2*\pi}{1{,}2s} \right)*cos(\left( \frac {2*\pi}{1{,}2s} \right)*t)[/math]
[math]\hat v = 9cm*\left( \frac {2*\pi}{1{,}2s} \right)= 47\frac{cm}{s}[/math]
Aufgaben
Zu 108.2
[math]\omega[/math]: Winkelgeschwindigkeit [math]f[/math]: Umläufe pro Zeit
z.B.: [math]f = 2Hz[/math]
[math]w = 2*\pi*\left( \frac{1}{s} \right)= 4*\pi*\left( \frac{1}{s} \right)[/math]
[math]\Rightarrow \omega=2*\pi*f[/math] und weil [math] f=\left( \frac{1}{T} \right)[/math]
[math] \omega=\left( \frac{2*\pi}{T} \right)[/math]
Zu 108.3
[math] \phi_0 [/math]: Phasenverschiebung
[math] \phi_0 = 0^\circ [/math]: Schwingung in Phase
[math] \phi_0 = \pi \, (180^\circ\!) [/math]: gegenphasig
Links
- Applet zur Zeigerdarstellung
- Applet zur Sinuskurve des Ortsdiagramms eines Pendels (W.Fendt)
- Applet zum Federpendel (W.Fendt)
- Wikipedia: Zeigerdiagramm
</math>
