Die Bewegungsgesetze einer harmonischen Schwingung

Ausgehend vom Ortsgesetz

$$y = \hat y \sin (\omega t)$$ kann man alle wichtigen Merkmale einer harmonischen Schwingung relativ einfach mathematisch herleiten:

[math] v(t) =  \hat v \cos(\omega t)\qquad \hat v = \hat y \, \omega [/math]    ist die maximale Geschwindigkeit.
[math]a(t)= \hat a \sin(\omega \, t)\qquad \hat a = -\hat y \, \omega ^2 [/math] ist die maximale Beschleunigung.

[math]F = -D \, y[/math]   mit [math]D = m \, \omega^2[/math]

[math]E_{ges} = \frac{1}{2} m \, \hat y^2 \omega^2 [/math] Die Energie einer harmonischen Schwingung ist proportional 
                 zum Quadrat der Frequenz und zum Quadrat der Amplitude.

[math]\omega^2= \frac{D}{m}[/math]  oder  [math]\omega= \sqrt{\frac{D}{m}}[/math]  ;  [math] f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{D}{m}}[/math]  ;  [math] T =  2\pi \sqrt{\frac{m}{D}}[/math]   
Frequenz einer harmonischen Schwingung, sie hängt nicht von der Amplitude ab!

Das Ortsgesetz

Aus der Zeigerdarstellung oder aus der Differentialgleichung folgt beidesmal der sinusförmige Verlauf der Elongation, also des Ortes:

[math]y = \hat y \sin (\omega t)[/math]

Berechnung des Geschwindigkeitsgesetzes

Die Geschwindigkeit ist die zeitliche Änderungsrate des Ortes, also muss man nach der Zeit ableiten. Dabei muss man die Kettenregel beachten.

$$v(t)=\dot s (t) = (\hat y \sin(\omega t)\dot) = \hat y cos(\omega t) \omega$$ (Wiederholung: $$[f(g(t))]'= f'(g(t)) \, g'(t)$$ )

[math] v(t) = \hat y \omega cos(\omega t) = \hat v cos(\omega t)\qquad \qquad \hat v = \hat y \omega [/math] ist die maximale Geschwindigkeit.

Berechnung des Beschleunigungsgesetzes

Um die Beschleunigung zu erhalten, muss man die Geschwindigkeit erneut ableiten.

$$a = \dot v = \hat y \omega \dot{cos(\omega t)} = \hat y \omega (-\sin(\omega t)) \omega$$

[math]a(t)=-\hat y \omega^2 \sin(\omega t) = \hat a \sin(\omega \, t)\qquad \qquad \hat a = -\hat y \omega ^2 [/math] ist die maximale Beschleunigung.

Folgerungen aus den Bewegungsgesetzen

Impuls

Der Impuls hängt direkt mit der Geschwindigkeit über

$$p=m \, v$$ zusammen:

[math]p(t)=m \, \hat y\, \omega \ cos(\omega\, t) \qquad \qquad \hat p = m\, \hat y \,\omega[/math] ist der maximale Impuls.

Kraft

In Abhängigkeit von der Zeit

Die Beschleunigung hängt direkt mit der wirkenden Kraft über

$$F=m\ a$$ zusammen, daher folgt:

[math]F(t)=-m\, \hat y\, \omega^2 \ \sin(\omega\, t) = \hat F \sin(\omega\, t)\qquad \qquad \hat F = -m\, \hat y \,\omega ^2[/math] ist die maximale Kraft.

In Abhängigkeit vom Ort

Ausserdem folgt aus der sinusförmigen Bewegung auch der lineare Zusammenhang

$$F=-D\,y$$ von Kraft und Auslenkung, wie bei einer Feder. Dazu muss man nur $$y = \hat y sin(\omega t)$$ einsetzen:

$$F = -m\, \hat y\, \omega^2 \ \sin(\omega\, t)$$

[math]F = -m \omega^2 \, y[/math]  , mit [math]D = m \omega^2[/math]

Energie

In Abhängigkeit von der Zeit

Die Bewegungsenergie hängt direkt mit der Geschwindigkeit, bzw. mit dem Impuls zusammen:

$$E_{kin}=\frac{1}{2}m \, v^2 = \frac{p^2}{2\, m}$$

Die "restlichen" Energieformen wie Spann- und Lageenergie ergänzen die Bewegungsenergie immer zu einer konstanten Summe. (Zumindest bei einer ungedämpften Schwingung.) Die maximale Bewegungsenergie ist die Energiemenge, die im Laufe der Zeit ständig ihre Form (den Träger wechselt). Diese Energiemenge ist daher auch die Gesamtenergie der Schwingung!

[math]E_{kin} = \frac{1}{2} m\, \hat y^2 \omega^2 \cos^2(w\, t) \qquad \qquad \hat E_{kin} =\frac{1}{2} m \, \hat y^2 \omega^2 [/math] ist die maximale Bewegungsenergie.
Die Energie einer harmonischen Schwingung ist proportional zum Quadrat der Frequenz und zum Quadrat der Amplitude.

Wegen

$$\sin^2(t) + \cos^2(t) = 1$$ ist der die Bewegungsenergie ergänze Anteil der potentiellen Energie gerade:

$$E_{pot}= \frac{1}{2} m\, \hat y^2 \omega^2 \sin^2(w\, t)$$

In Abhängigkeit vom Ort

Wegen des linearen Kraftverlaufs

$$F = - D \, y$$ oder wegen $$E_{pot}= = \frac{1}{2} m\, \hat y^2 \omega^2 \sin^2(w\, t)$$ folgt direkt:

[math]E_{pot} = \frac{1}{2} D \, y^2[/math]
[math]E_{kin} = E_{ges} - E_{pot} = \frac{1}{2} m \, \hat y^2 \omega^2 - E_{pot}[/math]

Frequenz

Die maximal wirkende Rückstellkraft läßt sich auf zwei Arten berechnen. Einmal über die maximale Beschleunigung

$$-\hat y \,\omega^2$$ und einmal über die maximale Auslenkung $$\hat y$$ .

$$\hat F = m \,\hat a = -D\,\hat y$$

$$\Rightarrow -m\, \hat y \,\omega^2 = -D \,\hat y$$ . Teilt man nun noch durch die Amplitude $$\hat y$$ und die Masse $$m$$ , so folgt:

[math]\omega^2= \frac{D}{m}[/math]  oder  [math]\omega= \sqrt{\frac{D}{m}}[/math]  ;  [math] f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{D}{m}}[/math]  ;  [math] T =  2\pi \sqrt{\frac{m}{D}}[/math]   
Frequenz einer harmonischen Schwingung, sie hängt nicht von der Amplitude ab!

Die Schwingungsdauer, bzw Frequenz folgt aus der Kreisfrequenz mit:

$$\omega=2\,\pi\, f$$ und $$T = \frac{1}{f}$$

Beispiel: Federpendel

Das Federpendel benöigt für 10 Schwingungen 12s bei einer Amplitude von 9cm.

$$T=1{,}2$$ $$\omega=\left( \frac {2*\pi}{1{,}2} \right)$$

$$s(t)=9cm \cdot \sin(\left( \frac {2*\pi}{1{,}2s} \right)*t$$

$$v(t)=9cm*\left( \frac {2*\pi}{1{,}2s} \right)*cos(\left( \frac {2*\pi}{1{,}2s} \right)*t)$$

$$\hat v = 9cm*\left( \frac {2*\pi}{1{,}2s} \right)= 47\frac{cm}{s}$$

Aufgaben

Zu 108.2

$$\omega$$ : Winkelgeschwindigkeit $$f$$ : Umläufe pro Zeit

z.B.:

$$f = 2Hz$$

$$w = 2*\pi*\left( \frac{1}{s} \right)= 4*\pi*\left( \frac{1}{s} \right)$$

$$\Rightarrow \omega=2*\pi*f$$ und weil $$f=\left( \frac{1}{T} \right)$$

$$\omega=\left( \frac{2*\pi}{T} \right)$$

Zu 108.3

$$\phi_0$$ : Phasenverschiebung

$$\phi_0 = 0^\circ$$ : Schwingung in Phase

$$\phi_0 = \pi \, (180^\circ\!)$$ : gegenphasig

Links

• Applet zur Zeigerdarstellung
• Applet zur Sinuskurve des Ortsdiagramms eines Pendels (W.Fendt)
• Applet zum Federpendel (W.Fendt)
• Wikipedia: Zeigerdiagramm

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