Aufgaben zu den Grundlagen über Felder (Lösungen)

Ladung als Quellenstärke und der Fluß eines Feldes

Masse der Erde

Der Feldfluss durch die Erdoberfläche ist genauso groß wie die Erdmasse:

$$\frac{1}{4\pi \,G} \ g \, A = m$$

Jetzt muss man nur die Fläche zu

$$A= 4 \pi \, r^2$$ und die Gravitationskonstante einsetzen:

$$\frac{1}{4\pi \,6{,}673\;84\; \cdot 10^{-11} \mathrm{\frac{m^3}{kg \cdot s^2}}} \ 9{,}81 \rm \frac{N}{kg} \, 4 \pi \, (\rm 6380000 m)^2 \approx 5{,}987 \cdot 10^{24}\rm kg$$

Das ist schon ein recht vernünftiger Wert im Vergleich zu genaueren Messwerten.

Gravitationsfeldstärke im All

• Wie groß ist die Gravitationsfeldstärke in einem Abstand von 3680 km über dem Erdboden?
• Welche Kraft wirkt dort auf einen 1000kg schweren Satelliten?

Mit Erdmasse

In einem Abstand von 3680 km über dem Erdboden ist man 7360 km vom Ermittelpunkt entfernt. Man betrachtet den Feldfluss durch eine Kugeloberfläche mit diesem Radius. Dazu kann man die Formel für die Quellenstärke umformen:

$$g = 4 \pi \, G\, \frac{m}{A} = 4 \pi \, 6{,}673\;84\; \cdot 10^{-11} \mathrm{\frac{m^3}{kg \cdot s^2}}} \, \frac{5{,}987 \cdot 10^{24}\rm kg}{4 \pi \, (7360000 m)^2} \approx 2{,}45 \rm \frac{N}{kg}$$

Verdopplung der Entfernung

Durch den doppelten Abstand vom Erdmittelpunkt vergößert sich die Kugelfläche auf das Vierfache. Denn der Radius wird quadriert:

$$A=4 \pi \, r^2$$

Da der Fluss durch die Fläche aber gleich bleibt muss die Feldstärke auf ein Viertel abnehmen!

$$g = \frac{1}{4} \, 9{,}81 \frac{N}{kg} = 2{,}45 \frac{N}{kg}$$