Materiewellen nach de Broglie

Um alle Phänomene von Licht zu beschreiben, mußten wir sowohl auf das Teilchen-, als auch auf das Wellenmodell zurückgreifen.

Einerseits beschreiben wir die Ausbreitung von gekoppelten elektrischen und magnetischen Feldern, andererseits sprechen wir von Photonen, die eine gewisse Energiemenge enthalten, eine Masse und einen Impuls besitzen.

Es stellt sich daher die Frage, ob nicht auch Gegenstände, die bisher im Teilchenmodell beschrieben wurden, auch Welleneigenschaften haben. Wie zum Beispiel Moleküle, Atome, Atomkerne, Elektronen, usw.

Welche Frequenz oder Wellenlänge sollte dann so einer Welle zugeordnet werden? Bisher kennen wir nur die Energie, Masse und den Impuls eines Photons:

[math]E=m\,c^2=h\,f \qquad p=\frac{h}{\lambda}[/math]

Bei der Berechnung der Energie und der Masse ist es wesentlich, dass das Photon sich mit Lichtgeschwindigkeit ausbreitet. Dies ist aber bei Atomen und anderen Teilchen nie der Fall, daher ist es sinnvoll den Zusammenhang von Impuls und Wellenlänge zu verallgemeinern. Diese Wellenlänge bezeichnet man nach Louis de Broglie auch als de Broglie-Wellenlänge.

Welche Wellenlängen haben dann zum Beispiel ein Elektron mit 10% der Lichtgeschwindigkeit und welche ein Fußball mit 10m/s?

[math]\lambda=\frac{h}{p}=\frac{h}{m\,v}[/math]

Elektron: [math]\lambda = 2{,}4\cdot10^{-11}\rm m[/math] Im Bereich der Röntgenstrahlung. Fußball: [math]\lambda = 1{,}3\cdot10^{-34}\rm m[/math] Extrem klein!

Um typische Welleneigenschaften, wie Beugung und Interferenz nachzuweisen, braucht man ein Doppelspalt oder ein Gitter in der Größenordnung der Wellenlänge. Für Elektronen kommen deshalb Kristallgitter in Frage, deren Atomabstände im Bereich der Wellenlänge von Röntgenstrahlung liegen.

Elektronenbeugung Debey-Scherrer-Verfahren

Aufbau

Versuchsaufbau Elektronenbeugung

Beobachtung

Erklärung

Man nimmt an, das die Elektronen Welleneigenschaften haben, also verwenden wir das Huygensche Prinzip und die Interferenz von Wellen zur Erklärung.

Die Atome sind in einem Kristall regelmäßig angeordnet. Wir betrachten den einfachen Fall von Atomebenen, die einen festen Abstand voneinander haben.

Jedes Atom im Kristall kann als Ausgangspunkt einer Elementarwelle gesehen werden. Die Elementarwellen einer Ebene überlagern sich dabei zu einer reflektierten Welle, nach dem Reflektionsgesetz und einer unverändert weiterlaufenden Welle.

Durch die Reflfektion an unterschiedlichen Atomebenen entsteht ein Gangunterschied. Beträgt dieser Gangunterschied ein Vielfaches der Wellenlänge, so liegt konstruktive Interferenz (ein Maximum) vor. Der Gangunterschied hängt vom Ebenenabstand und dem Winkel von der Ausbreitungrichtung zur Atomebene ab.

Braggsche Interferenz-Bedingung

Dargestellt sind zwei Atomebenen im Abstand d. Man kann den Winkel des einfallenden Elektronenstrahls durch Ziehen am grünen Punkt verändern.

Nur bei bestimmten Winkeln ist der Gangunterschied ein Vielfaches der Wellenlänge. Für diese Fälle liegt konstruktive Interferenz vor.

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Sinus im rechtwinkligen Dreieck:

[math]\sin(\varphi)=\frac{\triangle s /2}{d}[/math]

Braggsche Interferenzbedingung für das n-te Maximum. [math]2\, d \sin(\varphi)=\triangle s[/math] mit [math]\triangle s = n\, \lambda[/math] Bei der Debey-Scherrer oder Pulver-Methode verläuft der einfallende Elektronenstrahl immer in der gleichen Richtung und die kleinen Kristalle des Pulvers haben alle möglichen Ausrichtungen. Dadurch kann man die Maxima als helle Kreise auf dem Schirm sehen.

Maxima des Debey-Scherrer-Verfahrens / Pulver-Verfahrens

Dargestellt ist einer der vielen kleinen Kristalle des Pulvers. Der Kristall kann in seiner Lage durch die Angabe des Winkels [math]\varphi[/math] verändert werden.

Für manche Winkel ist die Braggsche Interferenzbedingung für das erste, zweite, usw. Maxima erfüllt. Im Pulver sind die kleinen Kristalle in allen möglichen Lagen vorhanden, weswegen es auch für alle Winkel Kristalle gibt, welche die Interferenzbedingung erfüllen.

Trifft der Elektronenstrahl auf den fluoreszierenden Schirm, so sieht man dort einen Fleck.

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Interferenzbedingungen

Gemessen wird der Abstand L zwischen Schirm und Graphit, sowie die Entfernung R des Maximas von der Achse. Der Winkel zwischen den Elektronenstrahlen hinter dem Graphit beträgt [math]2\, \varphi[/math]. Das kann man daran erkennen, daß die Atomebenen des Kristalls gerade parallel zur Winkelhalbierenden der Elektronenstrahlen liegen. Nun gilt:

[math]\tan(2\, \varphi)=\frac{R}{L}[/math]

Für kleine Winkel gilt die Näherung:

[math]\frac{R}{L}\approx \sin(2\, \varphi) \approx 2\, \sin( \varphi)[/math]

Das kann man nun in die Bragg-Bedingung einsetzen:

[math] d \, \frac{R}{L} = n \, \lambda[/math]

Berechnung der atomaren Abstände

Nimmt man die Wellenlänge als gegeben an, kann man die Abstände der Atomebenen berechnen.

1) Energie der Elektronen 2) Geschwindigkeit und Impuls der Elektronen 3) de Broglie-Wellenlänge der Elektronen 4) Abstand d berechnen

Berechnung der Elektronen-Wellenlänge

Kennt man den Atomebenenabstand bereits, zum Beispiel aus einer Messung mit Röntgenlicht, so kann man daraus die Wellenlänge der Elektronen berechnen und so die de-Broglie-Wellenlänge bestätigen.

Links

• Leybold, Hanblätter Physik: Elektronenbeugung an einem polykristallinen Gitter (Debye-Scherrer-Beugung)
• Zur Elektronenbeugung an Graphit (Robert Schwanker Markus Eisenwirth, Institut für physikalische Chemie, Uni München)
• Ferngesteuertes Labor "Remotely Controlled Laboratories - RCLs" Dem Link "Elektronenbeugung" folgen.
• Animation: Berechnung der konstruktiven Interferenzbedingung (Konstantin Lukin, Mineral Physics Institute, SUNY Stony Brook)
• Stundenprotokoll Elektronenbeugung