Arbeitsblatt: Wurzel 2 ist irrational

Die Wurzel aus 2 ist eine Zahl, die mit sich selbst multipliziert 2 ergibt:

[math]\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2[/math]

Eine rationale Zahl ist ein Bruch .

Gibt es einen Bruch, der mit sich selbst multipliziert 2 ergibt?

1) Man kann ja mal Brüche suchen:

[math]{\left(\frac{8}{6}\right)}^{2}=\mathrm 1{,}\, {\bar 7} \qquad {\left(\frac{10}{7}\right)}^{2}\approx \mathrm 2{,}\,04 \qquad {\left(\frac{14}{10}\right)}^{2}=\mathrm 1{,}\,96[/math]

Schreibe drei weitere Brüche auf, deren Quadrat möglichst 2 ergibt!

Um das etwas systematischer anzugehen, muss man sich die Zahlen genauer anschauen. Viele ganze Zahlen lassen sich als Produkt schreiben und diese Faktoren wieder als Produkt. Solange bis Zahlen übrig bleiben, die man nicht mehr als Produkt schreiben kann:

[math]50=2\cdot 25=2\cdot 5\cdot 5[/math]

[math]420=2\cdot 120=2\cdot 2\cdot 60=2\cdot 2\cdot 2\cdot 30=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 15=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5[/math]

Das nennt man Primfaktorzerlegung und ist so etwas wie der Fingerabdruck einer Zahl. Und das geht mit allen Zahlen, auch mit größeren!

[math]5917978459302=2\cdot 3\cdot 7\cdot 7\cdot 7\cdot 13\cdot 23\cdot 23\cdot 67\cdot 79\cdot 79[/math]

2) a) Schreibe die Primfaktorzerlegung dieser Zahlen auf:

[math]12=[/math]

[math]30=[/math]

[math]54=[/math]

[math]42=[/math]

Nun wieder zur Wurzel aus 2. Ich tue mal so, als ob das zweite Beispiel aus 1) stimmen würde:

[math]\frac{10}{7}\cdot \frac{10}{7}=2[/math]

Mit der Primfaktorzerlegung sieht das dann so aus:

[math]\frac{2\cdot 5\cdot 2\cdot 5}{7}=2[/math]

Jetzt multipliziert man die Gleichung mit dem Nenner:

[math]2\cdot 2\cdot 5\cdot 5=2\cdot 7[/math]

Das ist definitiv falsch!

3) Begründe mit dem gleichen Vorgehen, warum [math]{\left(\frac{14}{10}\right)}^{2}=2[/math] falsch sein muss!

Im allgemeinen Fall suchen wir einen Zähler a und einen Nenner b mit:

[math]\frac{a}{b}\cdot \frac{a}{b}=2[/math]

Das ist das gleiche wie

[math]\frac{a\cdot a}{b\cdot b}=2[/math]

Oder, wenn man die Gleichung mit [math]b\cdot b[/math] multipliziert:

[math]a\cdot a=2\cdot b\cdot b[/math] Das kann aber nicht sein!

4) Denn überlege dir: Ist die Anzahl der „2en“ auf der linken Seite der Gleichung gerade oder ungerade? Und wie ist das auf der rechten Seite?

5) Aber ich habe doch noch den richtigen Bruch gefunden! Überprüfe das mit dem Taschenrechner.

[math]{\left(\frac{3467618674}{2451976679}\right)}^{2}=2[/math] Was meinst du dazu?

6) Beweise mit Hilfe der Primfaktorzerlegung: „Die Wurzel aus drei ist irrational.“