Arbeitsblatt: Wurzel 2 ist irrational

Die Wurzel aus 2 ist eine Zahl, die quadriert, also mit sich selbst multipliziert, 2 ergibt:

$$(\sqrt{2})^2 = \sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2$$

Eine rationale Zahl ist ein Bruch. Gibt es einen Bruch, der quadriert 2 ergibt?

$$\left(\frac{z}{n}\right)^2=\frac{z}{n}\cdot \frac{z}{n}=2$$

1) Man kann einfach mal mit verschiedenen Zählern und Nennern probieren:

$$\rm \frac{8}{6}\cdot \frac{8}{6}=\frac{64}{36}=1{,}\bar {7}$$	oder	$$64=1{,}\bar {7}\cdot 36$$	Der Bruch ist zu klein!
$$\rm \frac{10}{7}\cdot \frac{10}{7}=\frac{100}{49}\approx 2{,}04$$	oder	$$100\approx \mathrm{2,04}\cdot 49$$	Der Bruch ist zu groß!
$$\rm \frac{14}{10}\cdot \frac{14}{10}=\frac{196}{100}=1{,}96$$	oder	$$196=1{,}96\cdot 100$$	Der Bruch ist zu klein!

• Suche drei weitere Brüche, deren Quadrat möglichst 2 ergibt!

2) Warum klappt das nicht ganz genau? Vielleicht muss man länger suchen. Oder mehr über Zahlen nachdenken: Viele ganze Zahlen lassen sich als Produkt schreiben und diese Faktoren wieder als Produkt. Bis Primzahlen übrig bleiben, die man nicht mehr als Produkt schreiben kann:

$$50=2\cdot 25=2\cdot 5\cdot 5$$

$$420=2\cdot 120=2\cdot 2\cdot 60=2\cdot 2\cdot 2\cdot 30=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 15=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5$$

Das nennt man Primfaktorzerlegung und ist so etwas wie der Fingerabdruck einer Zahl. Und das geht mit allen Zahlen, auch mit größeren:

$$5917978459302=2\cdot 3\cdot 7\cdot 7\cdot 7\cdot 13\cdot 23\cdot 23\cdot 67\cdot 79\cdot 79$$

• Schreibe die Primfaktorzerlegung dieser Zahlen auf:

$$12=$$

$$30=$$

$$54=$$

$$42=$$

3) Nun wieder zur Wurzel aus 2. Ich tue mal so, als ob das zweite Beispiel aus 1) stimmen würde:

$$\frac{10}{7}\cdot \frac{10}{7}=\frac{10\cdot 10}{7\cdot 7}=2$$ oder $$10\cdot 10=2\cdot 7\cdot 7$$

Mit der Primfaktorzerlegung bekommt man:

$$2\cdot 2\cdot 5\cdot 5=2\cdot 7\cdot 7$$

Das kann aber nicht stimmen, denn die „Fingerabdrücke“ sind ja ganz unterschiedlich! Die linke Seite kann man zweimal durch 2 teilen, die rechte Seite nur einmal!

• Begründe mit dem gleichen Vorgehen, warum $$\left(\frac{14}{10} \right)^2=2$$ falsch sein muss!

4) Im allgemeinen Fall suchen wir einen Zähler z und einen Nenner n mit: $$\frac{z}{n}\cdot \frac{z}{n}=2$$ oder

$$(*)\quad z\cdot z=2\cdot n\cdot n$$

Das kann aber nicht sein!

• Denn überlege dir: Ist die Anzahl der „2en“ auf der linken Seite der Gleichung $$(*)$$ gerade oder ungerade? Und wie ist das auf der rechten Seite?

5) Aber ich habe doch noch den richtigen Bruch gefunden! Überprüfe das mit dem Taschenrechner.

$${\left(\frac{3467618674}{2451976679}\right)}^{2}=2$$ Was meinst du dazu?

6) Beweise mit Hilfe der Primfaktorzerlegung: „Die Wurzel aus drei ist irrational.“

7) Erkundige dich, was die dritte Wurzel einer Zahl ist und beweise: Die dritte Wurzel von 2 ist irrational.