Aufgaben zur Geschwindigkeit als Vektor - Lösungen

1) Eine Rolltreppe

a) Die horizontale und die vertikale Geschwindigkeitskomponente stehen senkrecht aufeinander. Sie bilden mit dem Geschwindigkeitsvektor ein rechtwinkliges Dreieck. Für die Komponenten gilt daher:

[math]\cos 35^\circ = \frac{v_x}{v}[/math]

[math]\sin 35^\circ = \frac{v_y}{v}[/math]

Woraus folgt:

[math]v_x = \cos 35^\circ \cdot v = 0{,}82 \cdot 80\,\rm \frac{cm}{s} = 66\,\rm \frac{cm}{s}[/math]

[math]v_y = \sin 35^\circ \cdot v = 0{,}57 \cdot 80\,\rm \frac{cm}{s} = 46\,\rm \frac{cm}{s}[/math]

b) Alexander steigt in der Sekunde um 66 cm an, also braucht er 23s um die 15 Höhenmeter zu überwinden:

[math]v_x = \frac{\Delta s}{\Delta t} \quad \Longleftrightarrow \quad 0{,}66\,\rm \frac{m}{s} = \frac{15\,\rm m}{\Delta t}[/math]

Nach der Zeit aufgelöst:

[math]\Delta t = \frac{15\,\rm m}{0{,}66\,\rm \frac{m}{s}} = 22{,}7\,\rm s[/math]

Oder man berechnet den schrägen Weg, also die Länge der Rolltreppe, den er mit 80cm/s zurücklegt.

2) Über den Fluss

Wenn Eva senkrecht zur Wasserströmung paddelt, setzt sich ihre Geschwindigkeit relativ zum Ufer aus zwei zueinander senkrecht stehenden Komponenten zusammen.

a) Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich ihre Geschwindigkeit zu:

[math]v^2 = \left( 1\,\rm \frac{m}{s}\right)^2 + \left( 1{,}5\,\rm\frac{m}{s} \right)^2 =[/math]

[math]v= \sqrt{\left( 1\,\rm \frac{m}{s}\right)^2 + \left( 1{,}5\,\rm\frac{m}{s} \right)^2} = \sqrt{3{,}25\,\rm\frac{m^2}{s^2}} = 1{,}8 \,\rm\frac{m}{s}[/math]

b) Evas Geschwindigkeit quer zur Wasserströmung beträgt 1m/s. Daher braucht sie auch 20s bis zum anderen Ufer:

[math]v_y = \frac{\Delta s}{\Delta t} \quad \Longleftrightarrow \quad 1\,\rm \frac{m}{s} = \frac{20\,\rm m}{\Delta t}[/math]

Nach der Zeit aufgelöst ergibt sich:

[math]\Delta t = \frac{20\,\rm m}{1\,\rm \frac{m}{s}} = 20\,\rm s[/math]

c) Da sie 20s unterwegs ist und in jeder Sekunde 1,5m abgetrieben wird, wird sie insgesamt um 30m abgetrieben:

[math]v_x = \frac{\Delta s}{\Delta t} \quad \Longleftrightarrow \quad 1{,}5\,\rm \frac{m}{s} = \frac{\Delta s}{20\,\rm s}[/math]

Nach der Strecke aufgelöst ergibt sich:

[math]\Delta s = v\, \Delta t = 1{,}5\,\rm \frac{m}{s} \cdot 20\,\rm s = 30\,\rm m[/math]

Jetzt will Eva wieder zurückfahren, aber diesmal möchte sie nicht wieder abgetrieben werden, sondern genau auf der gegenüberliegenden Seite ankommen.

d) Welche Fahrtrichtung muss Eva wählen, wenn sie weiterhin mit 1 m/s paddelt?

e) Wie lange dauert die Fahrt?

3) Über den Atlantik fliegen

Ein Flug über den Atlantik zwischen Frankfurt und Los Angeles z.B. dauert ca. 11h 10min. Dabei legt das Flugzeug ca. 9.300km zurück.
Die Flüge dauern erstaunlicherweise in beiden Richtungen etwa gleichlang, obwohl in der Flughöhe von 10km Westwinde von bis zu 400km/h wehen, im Mittel kann man eine Windgeschwindigkeit von 100km/h annehmen.
Eine Boeing 747-8l hat eine maximale Reisegeschwindigkeit von Mach 0,86. Das sind 86% der Schallgeschwindigkeit und entspricht in 10km Höhe ungefähr einer Geschwindigkeit von 925km/h.

a) Wie lange braucht die Boeing für die Strecke Frankfurt-Los Angeles und zurück mindestens?

b) Angenommen es herrscht Windstille. Wie lange dauert der Flug nun hin und zurück mindestens? Vergleiche mit dem Hin- und Rückflug bei Westwind!

c) Wie schnell muss das Flugzeug mit und gegen den Wind fliegen, damit die angegebene Reisezeit von 11h 10min eingehalten werden kann?