Dynamik (Zentripetalkraft und Bahnimpuls) der Kreisbewegung
Inhaltsverzeichnis
Beispiele
Wie ist wohl dieses schöne Muster zustandegekommen?
Wie schafft es der Hammerwerfer diese Stahlkugel so weit zu werfen? Video: Weltrekordwurf von Youri Sedykh
Bilderserie
Wenn man einen Milchaufschäumer zum Reinigen...
in einen Wasserstrahl hält...
spritzt das Wasser nach allen Seiten weg.
Versuch: Tennisball schleudern
Simuliert den Hammerwurf. Wie fliegt der Hammer weg?
Versuch: Rutschende Münzen/fallende Männchen/rollende Kugeln
Münzen, Kugeln, Männchen drehen sich mit der gleichen Frequenz in unterschiedlichem Abstand zum Mittelpunkt auf einer drehenden Scheibe (Plattenspieler)
Wer fällt als erstes um?
Handversuch: Gummiprofen an Schnur durch Rohr
Viele Möglichkeiten
Genaue Vorgaben machen
ZB Abhängigkeit Frequenz - Kraft
Radius - Kraft
Masse - Kraft
Versuch ???
Feste Bahngeschwindigkeit, Man muss etwas um die Kurve kriegen: Drehstuhl im Flur, rollende Kugel auf Bahn, ...
Kraft messen oder fühlen.
qualitative Ergebnisse
Es wirkt eine Kraft senkrecht zur Bahn zum Mittelpunkt der Kreisbewegung.
Ohne die Kraft fliegt der Gegenstand tangential weg.
Diese Kraft ändert ständig die Richtung aber nicht die Menge des Impulses! Auch die Energiemenge bleibt konstant, durch die Kraft wird der Gegenstand nicht schneller.
Je schneller der Gegenstand und je enger der Kurvenradius, desto größer muss die Kraft sein.
Versuch: Messung der Zentripetalkraft
- Aufbau
Ein kleiner Wagen ist auf einer Schiene befestigt. Die Schiene kann mit einem Motor unterschiedlich schnell gedreht werden.
Eine Schnur ist an einem Kraftsensor und über eine Umlenkrolle am Wagen befestigt. Dreht sich die Schiene, so zieht die Schnur am Wagen und hält ihn so auf einer Kreisbahn. Diese Zentripetalkraft wird mit einem Kraftsensor gemessen.[2]
Die Zentripetalkraft wird dann in Abhängigkeit vom Radius, der Winkelgeschwindigkeit und der Masse des Wagens gemessen. Dazu verändert man jeweils eine Größe und läßt die anderen konstant. Insbesondere ist von Interesse, wie sich bei einer Verdopplung des Radiuses oder der Winkelgeschwindigkeit oder der Masse die notwendige Zentripetalkraft ändert.
Mit einer Handstoppuhr kann man die Umlaufdauer ermitteln, am besten indem man die Zeit für 10 Umläufe bestimmt.
Die Masse wird mit einer Waage bestimmt.
- Messungen
- Ergebnisse
Berechnung der Zentripetalkraft
Ein Gegenstand mit bekannter Masse [math]m[/math] umläuft ein Drehzentrum im Abstand [math]r[/math] und der Winkelgeschwindigkeit [math]\omega[/math]. Welche Zentripetalkraft benötigt man, um den Gegenstand auf der Kreisbahn zu halten?
Die Bewegung auf der Kreisbahn läuft in zwei Dimensionen ab, daher braucht man auch zwei Koordinaten, um den Ort zu beschreiben. Man legt den Ursprung des Koordinatensystems in das Drehzentrum. Zur Vereinfachung der Situation lassen wir die Zeit laufen, wenn der Gegenstand sich gerade durch den positiven Teil der x-Achse bewegt. Außerdem nehmen wir an, dass sich der Gegenstand gegen den Uhrzeigersinn bewegt. Diese Annahmen sind nicht notwendig, sie vereinfachen aber die folgende Rechnung.
Nach der Zeit t vegrößert sich der Winkel [math]\alpha[/math] um [math]\omega\,t[/math]. Der Ort des Gegenstands ist daher:
- [math]\vec s(t)= r \begin{pmatrix} \cos(\omega\,t) \\ \sin(\omega\,t) \end{pmatrix}[/math]
Nun erhält man die Geschwindigkeit als zeitliche Änderungsrate des Ortes durch Ableiten nach der Zeit. Nach dem Unabhängigkeitsprinzip kann man dabei die x- und die y-Koordinate einzeln ableiten. Bei der Ableitung von [math]\sin(\omega\,t)[/math] muss man die Kettenregel beachten. Die innere Ableitung von [math]\omega\,t[/math] ist gerade [math]\omega[/math].
Durch eine weitere Ableitung nach der Zeit erhält man die Beschleunigung.
Der Bahnimpuls ergibt sich aus p=mv und die Kraft aus F=ma.
[math] \begin{array}{cc} \vec s(t)= \;\;\;\; r \begin{pmatrix} \;\;\cos(\omega\,t) \\ \;\;\sin(\omega\,t) \end{pmatrix} & \\ \vec v(t)= \;\omega\, r \begin{pmatrix} -\sin(\omega\,t) \\ \;\;\; \cos(\omega\,t) \end{pmatrix} & \vec p(t)= m\,\omega\, r \begin{pmatrix} -\sin(\omega\,t) \\ \;\;\; \cos(\omega\,t) \end{pmatrix} \\ \vec a(t)= \omega^2\, r \begin{pmatrix} -\cos(\omega\,t) \\ -\sin(\omega\,t) \end{pmatrix} & \vec F(t)= m\,\omega^2\, r \begin{pmatrix} -\cos(\omega\,t) \\ -\sin(\omega\,t) \end{pmatrix} \end{array} [/math]
Alle Bewegungsgesetze sind der Form "Zahl mal Vektor". Die Vektoren haben alle die Länge eins und geben daher nur die Richtung an. Die Zahl vor dem Vektor ist daher gerade der Betrag des Ortes, der Geschwindigkeit, usw.
Die Richtung der Vektoren verändert sich mit der Zeit, dagegen bleiben die Beträge immer konstant.
Formeln
Für gegebene Bahngeschwindigkeit
Beschreibt eine Situation, bei der die Bahngeschwindigkeit festgelegt ist. Z. B. ein Fahrrad (Auto, Inliner, ...) das in die Kurve fährt.
- [math]F=\frac{m \, v^2}{r}[/math]
Die Zentripetalkraft ist fester Bahngeschwindigkeit antiproportional zum Radius! (doppelter Radius - halbe Kraft)
Für gegebene Winkelgeschwindigkeit
Beschreibt eine Situation, in der die Frequenz, Umlaufdauer oder Winkelgeschwindigkeit festgelegt ist. Z. B. eine Waschmaschine, Karussell, Plattenspieler, etc.
- [math]F = m \, \omega^2 r = m \ 4\, \pi^2 \! f^2 \; r = m \, \frac{ 4 \, \pi^2 }{T^2} \, r[/math]
Die Zentripetalkraft ist bei fester Frequenz proportional zum Radius! (doppelter Radius - doppelte Kraft)
Mischform mit Impuls
Mit und kann man die Größe der benötigten Zentripetalkraft auch mit dem Impuls ausdrücken:
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Die Zentripetalkraft ist proportional zur Winkelgeschwindigkeit und zur Impulsmenge:
"Man benötigt eine große Kraft um viel Impuls stark abzulenken."" |
Im Falle der konstanten Winkelgeschwindigkeit steigt die Impulsmenge und damit auch die Kraft proportional zum Radius. Denn bei doppeltem Radius verdoppelt sich auch der Umfang und somit die Bahngeschwindigkeit und der Impuls.
Im Falle der konstanten Bahngeschwindigkeit ist auch der Impuls konstant. Die Winkelgeschwindigkeit und damit auch die Kraft ist antiproportional zum Radius. Denn bei doppeltem Radius ist die Winkelgeschwindigkeit nur noch halb so groß.
