2011 Ph10bKA2 Lösungen

Straßenbahn Fahren

• Peter muss sich beim Anfahren, Kurven fahren und beim Bremsen festhalten.
• Peters Körper ist träge, das heißt er behält seine Impulsmenge bei, wenn keine Kraft auf ihn wirkt. Die Straßenbahn übt beim Anfahren, Kurven fahren und beim Bremsen eine Kraft auf ihn aus.

• Von Außen betrachtet schiebt beim Anfahren der Sitz Peter nach vorne.
• Von Innen gesehen hat Peter während des Anfahrens keinen Impuls, er ruht in Bezug auf die Straßenbahn. Eine (Trägheits-)Kraft drückt ihn in den Sitz, was durch die vom Sitz auf Peter wirkende Kraft ausgeglichen wird.

Von Außen gesehen nimmt Peters Impuls zu, was durch die Kraft vom Sitz auf Peter bewirkt wird.

Springbrunnen

• Das Wasser der Fontäne hat beim Austritt aus dem Boden Impuls nach oben. Während der gesamten Bewegung wirkt die Gewichtskraft des Wassers nach unten. Dadurch nimmt der Impuls ab und wird schließlich in der anderen Richtung, nach unten, wieder größer. Beim Aufprall auf dem Boden hat er die gleiche Impulsmenge wie beim Austritt, aber um 180° gedreht.

Bei dem anderen Brunnen hat das Wasser zunächst nur Impuls nach links. Durch die ständig nach unten wirkende Gewichtskraft vergrößert sich die Impulskomponente nach unten.

• Beim Austritt aus dem Boden hat das Wasser nur Bewegungsenergie, die sich bis zum höchsten Punkt in Lageenergie wandelt. Beim Herabfallen geschieht genau der umgekehrte Vorgang.
• Das Wasser hat beim Austritt die gleiche Bewegungsenergie wie beim Wiederaufprall, ist also auch genauso schnell.

Die Lageenergie eines Tropfens in 1,5m Höhe wandelt sich in Bewegungsenergie. Man kann mit einer "Wasserportion" von z.B. 100g oder auch nur 1g oder einfach mit "m" rechnen, bei der Rechnung spielt das keine Rolle.

[math]E_{pot}=E={kin}[/math]

[math]m \, g\, h = \frac{1}{2}\, m\, v^2[/math]

[math]0,1kg\cdot 10\frac{N}{kg}\cdot 1,5m = \frac{1}{2}\cdot 0,1kg\cdot v^2[/math]

[math]2\cdot 15\frac{Nm}{kg} = v^2[/math]

[math]\sqrt{2\cdot 15\frac{Nm}{kg}} = v \approx 5,5 \frac{m}{sec}[/math]

Abstoßen mit dem Skateboard

• Elisabeth hat am Anfang keinen Impuls, ebenso wie ihr Bewegungspartner, die Erde. Durch das Abstoßen erhält sie den gleichen Impuls nach vorne, wie die Erde nach hinten.

Die Energie befindet sich zunächst in Elisabeth (gespeichert in Form von ATP ...). Sie geht dann auf die Bewegung von Elisabeth und der Erde (allerdings nur minimal, vergleiche mit dem letzten Aufgabenteil) über. Durch die Reibung findet man sie dann in Form von Wärme in den Rollen und im Boden.

• Die Änderung des Ortes läßt sich durch die Fläche im v-t-Diagramm bestimmen ("Aufleitung" oder "Integration"). Man kann den Ort zu Beginn der Zeitmessung bei 0 Metern beginnen lassen, also den Ursprung des Orts-Koordinatensystems in den Startpunkt legen.

Die Beschleunigung ist die (zeitliche) Änderung der Geschwindigkeit ("Ableitung"), im v-t-Diagramm also die Steigung.

Vom Geschwindigkeits-Diagramm erhält man das Impuls-Diagramm wegen p=mv einfach durch Multiplikation mit der Masse von 50 kg.

Die Kraft ist die Änderung des Impulses ("Ableitung", "Steigung") oder wegen F=ma das m-fache der Beschleunigung.

• Die Fläche unter dem Graphen im v-t-Diagramm verät die Beschleunigungsstrecke von [math]\frac{1}{2}\cdot 1\frac{m}{sec}\cdot 1sec = 0,5m[/math] und den Bremsweg von [math]\frac{1}{2}\cdot 1\frac{m}{sec}\cdot 10sec=5m[/math]. Sie rollt also insgesamt 5,5m weit.
• Die zeitliche Änderung des Impulses gibt die Kraft an:

Beim Abschubsen: [math]F=\frac{50 Hy}{1sec} = 50N[/math]

Beim Ausrollen: [math]F=\frac{-50 Hy}{10sec} = -5N[/math]

• Die Bewegungsenergie läßt sich mit [math]\frac{1}{2}m\,v^2[/math] oder [math]\frac{p^2}{2\, m}[/math] berechnen. Bei Elisabeth ist es egal welche Formel man nimmt, denn man kennt sowohl ihren Impuls auch auch ihre Geschwindigkeit. Zur Berechnung der Energie der Erde ist die zweite viel praktischer, weil man den Impuls, aber nicht die Geschwindigkeit kennt.

Elisabeth: [math]E_{kin}=\frac{1}{2}\cdot 50kg \cdot \left(1\frac{m}{sec}\right)^2 = \frac{(50 Hy)^2}{2\cdot 50 kg} = 25 J[/math]

Erde: [math]E_{kin}= \frac{(50 Hy)^2}{2\cdot 6\cdot 10^{24} kg} = 2\cdot 10^{-23} J \approx 0J[/math]

Elisabeth und die Erde haben also den gleichen Impuls, aber nur Elisabeth hat auch Bewegungsenergie!

Windkraftanlage

• Bei einer Umdrehungsdauer von nur zwei Sekunden dreht es sich am schnellsten: [math]f=\frac{1}{T} = 0,5 \frac{1}{sec} = 0,5 Hz[/math]
• [math]v=\frac{U}{T}=\frac{2\, \pi\, 50 m}{2 sec} \approx 157 \frac{m}{sec} \approx 570\frac{km}{h}[/math] Das ist doch recht flott!
• [math]F = \frac{m\, v^2}{r}= \frac{1 kg \, \left(157 \frac{m}{sec}\right)^2}{50 m} \approx 490 N[/math] Das ist fast das 50-fache der Gewichtskraft!
• Am einfachsten ist die Erklärung aus Sicht des Rotorblattes: Durch die Drehung wirkt eine Zentrifugalkraft nach Außen. Am höchsten Punkt der Bahn wirkt die Gewichtskraft entgegen und entlastet das Blatt. Am niedrigsten Punkt zieht die Gewichtskraft in die gleiche Richtung wie die Zentrifugalkraft und die Belastung steigt.

Aus Sicht eines Außenstehenden ist es schwieriger zu erklären: Um das Rotorblatt auf einer Kreisbahn zu halten ist eine zur Mitte wirkende Zentripetalkraft nötig, die immer gleich groß ist, da sich der Rotor mit einer konstanten Geschwindigkeit dreht. Auf das Rotorblatt wirken zwei Kräfte, die Gewichtskraft und die Kraft mit der die Nabe am Rotorblatt zieht, wodurch das Blatt belastet wird. Beide Kräfte ergeben in der Summe die Zentripetalkraft. Am höchsten Punkt wirken beide Kräfte nach unten. Die Gewichtskraft "unterstützt" die Kreisbewegung, die Nabenkraft sinkt. Am unteren Ende ist die Nabenkraft um die doppelte Gewichtskraft des Rotorblattes größer, denn jetzt wirkt die Gewichtskraft der Nabenkraft entgegen.

• Die abgebremste Luftmasse hat die Form eines Zylinders von 5 Metern Länge und einem Radius von 50 Metern. Das sind [math]\pi r^2 \, h = \pi \cdot (50 m)^2 \cdot 5 m \approx 3 \cdot (50 m)^2 \cdot 5 m = 39270 m^3\approx 40000 m^3 [/math] Luftvolumen. Ein Kubikmeter enthält 1000 Liter, also hat ein Kubikmeter Luft eine Masse von einem Kilogramm und die gesamte Luftmasse hat ca. 40000kg Masse.
• Der Unterschied der Bewegungsenergie der Luft vor und nach dem Abbremsen geht auf die Windenergieanlage über.

Energie vorher: [math]E_{kin}=\frac{1}{2}\, m \, v^2 = \frac{1}{2}\, 40000kg \, \left(5\frac{m}{sec}\right)^2 =500000J[/math]

nachher: [math]E_{kin}= \frac{1}{2}\, 40000kg \, \left(1,67\frac{m}{sec}\right)^2 = 56000 J[/math]

Es gehen also pro Sekunde ca. 444000 Joule auf die Anlage über, das ist eine Leistung von 444000 Watt oder 0,444 MegaWatt.

• Nun die gleiche Rechnung mit 10 m/sec. Durch die doppelte Windgeschwindigkeit strömt die doppelte Luftmenge an der Anlage vorbei und außerdem enthält ein Kubikmeter Luft nun die vierfache Energiemenge: Der Energieübertrag pro Zeit (Leistung) verachtfacht sich bei doppelter Windgeschwindigkeit!

Energie vorher: [math]E_{kin}=\frac{1}{2}\, m \, v^2 = \frac{1}{2}\, 80000kg \, \left(10\frac{m}{sec}\right)^2 =4000000J[/math]

nachher: [math]E_{kin}= \frac{1}{2}\, 80000kg \, \left(3,33\frac{m}{sec}\right)^2 = 444000J[/math]

Es gehen also pro Sekunde ca. 3556000 Joule auf die Anlage über, das ist eine Leistung von 3556000 Watt oder 3,556 MegaWatt.

Einige Angaben

• Masse der Erde: [math]6 \cdot 10^{24} kg[/math]
• Ortsfaktor / Erdbeschleunigung: [math]9,81 \frac{N}{kg} = 9,81 \frac{m}{{sec}^2}[/math]
• Dichte von Luft: [math]1,2 \frac{g}{l}[/math]