Arbeitsblatt: Wurzel 2 ist irrational

Die Wurzel aus 2 ist eine Zahl, die quadriert, also mit sich selbst multipliziert, 2 ergibt:

[math](\sqrt{2})^2 = \sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2[/math]

Eine rationale Zahl ist ein Bruch. Gibt es einen Bruch, der quadriert 2 ergibt?

[math]\left(\frac{z}{n}\right)^2=\frac{z}{n}\cdot \frac{z}{n}=2[/math]

1) Man kann einfach mal mit verschiedenen Zählern und Nennern probieren:

[math]\rm \frac{8}{6}\cdot \frac{8}{6}=\frac{64}{36}=1{,}\bar {7}[/math]	oder	[math]64=1{,}\bar {7}\cdot 36[/math]	Der Bruch ist zu klein!
[math]\rm \frac{10}{7}\cdot \frac{10}{7}=\frac{100}{49}\approx 2{,}04[/math]	oder	[math]100\approx \mathrm{2,04}\cdot 49[/math]	Der Bruch ist zu groß!
[math]\rm \frac{14}{10}\cdot \frac{14}{10}=\frac{196}{100}=1{,}96[/math]	oder	[math]196=1{,}96\cdot 100[/math]	Der Bruch ist zu klein!

• Suche drei weitere Brüche, deren Quadrat möglichst 2 ergibt!

2) Warum klappt das nicht ganz genau? Vielleicht muss man länger suchen. Oder mehr über Zahlen nachdenken: Viele ganze Zahlen lassen sich als Produkt schreiben und diese Faktoren wieder als Produkt. Bis Primzahlen übrig bleiben, die man nicht mehr als Produkt schreiben kann:

[math]50=2\cdot 25=2\cdot 5\cdot 5[/math]

[math]420=2\cdot 120=2\cdot 2\cdot 60=2\cdot 2\cdot 2\cdot 30=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 15=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5[/math]

Das nennt man Primfaktorzerlegung und ist so etwas wie der Fingerabdruck einer Zahl. Und das geht mit allen Zahlen, auch mit größeren:

[math]5917978459302=2\cdot 3\cdot 7\cdot 7\cdot 7\cdot 13\cdot 23\cdot 23\cdot 67\cdot 79\cdot 79[/math]

• Schreibe die Primfaktorzerlegung dieser Zahlen auf:

[math]12=[/math]

[math]30=[/math]

[math]54=[/math]

[math]42=[/math]

3) Nun wieder zur Wurzel aus 2. Ich tue mal so, als ob das zweite Beispiel aus 1) stimmen würde:

[math]\frac{10}{7}\cdot \frac{10}{7}=\frac{10\cdot 10}{7\cdot 7}=2[/math] oder [math]10\cdot 10=2\cdot 7\cdot 7[/math]

Mit der Primfaktorzerlegung bekommt man:

[math]2\cdot 2\cdot 5\cdot 5=2\cdot 7\cdot 7[/math]

Das kann aber nicht stimmen, denn die „Fingerabdrücke“ sind ja ganz unterschiedlich! Die linke Seite kann man zweimal durch 2 teilen, die rechte Seite nur einmal!

• Begründe mit dem gleichen Vorgehen, warum [math]\left(\frac{14}{10} \right)^2=2[/math] falsch sein muss!

4) Im allgemeinen Fall suchen wir einen Zähler z und einen Nenner n mit: [math]\frac{z}{n}\cdot \frac{z}{n}=2[/math] oder

[math](*)\quad z\cdot z=2\cdot n\cdot n[/math]

Das kann aber nicht sein!

• Denn überlege dir: Ist die Anzahl der „2en“ auf der linken Seite der Gleichung [math](*)[/math] gerade oder ungerade? Und wie ist das auf der rechten Seite?

5) Aber ich habe doch noch den richtigen Bruch gefunden! Überprüfe das mit dem Taschenrechner.

[math]{\left(\frac{3467618674}{2451976679}\right)}^{2}=2[/math] Was meinst du dazu?

6) Beweise mit Hilfe der Primfaktorzerlegung: „Die Wurzel aus drei ist irrational.“

7) Erkundige dich, was die dritte Wurzel einer Zahl ist und beweise: Die dritte Wurzel von 2 ist irrational.