Aufgaben zur Überlagerung von Bewegungen / vektorieller Impulsänderung (Lösungen)

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Ein Steinwurf

Jemand wirft einen Stein waagrecht von einem 20m hohen Turm.

1. Der Stein ist träge, er behält seinen Impuls und bewegt sich zunächst horizontal weiter. Durch die Gravitation wirkt eine Gewichtskraft nach unten und der Stein erhält nach und nach immer mehr Impuls nach unten.

2. Der Stein hat eine Impulsmenge von [math]p= m\, v = 0{,}5\,\rm kg \cdot 12\,\rm m/s = 6\,\rm Hy[/math] nach rechts.

3. Auf den Stein wirkt eine Kraft der Stärke

[math]F_G=m\,g = 0{,}5\,\rm kg \cdot 10\,\rm N/kg = 50\,\rm N[/math] nach unten.

4. Der Stein erhält in jeder Sekunde 50 Huygens nach unten, denn: [math]\Delta \vec p=\vec F\,\Delta t [/math]

5. Der x-Impuls bleibt konstant bei 50Hy. Der y-Impuls nimmt mit der Zeit zu. Die Menge des Gesamtimpulses kann man mit dem Satz des Pythagoras berechnen:

[math]p_x=6\,\rm Hy[/math]

[math]p_y=50\,\rm N \cdot t[/math]

Zeit  px   py    p
0s    6Hy   0Hy   6Hy
0,1s  6Hy   5Hy   7,8Hy
0,2s  6Hy  10Hy  11,7Hy
0,3s  6Hy  15Hy  16,2Hy

6. In x-Richtung behält der Stein seine Geschwindigkeit bei. In y-Richtung führt er einen freien Fall aus.

Die Ortsgesetze lauten:

[math]s_x=12\,\rm \frac{m}{s} \cdot t \qquad s_y=\frac{1}{2}\cdot \, 10\,\rm \frac{m}{s^2}\cdot t^2[/math]

Die Geschwindigkeitsgesetze lauten:

[math]v_x=12\,\rm \frac{m}{s} \qquad v_y= 10\,\rm \frac{m}{s^2}\cdot t[/math]

7. In y-Richtung muss der Stein eine Strecke von 20m zurücklegen:

[math]20\,\rm m = \frac{1}{2}\cdot \, 10\,\rm \frac{m}{s^2}\cdot t^2[/math]

[math]t^2 = \frac{20\,\rm m \cdot 2}{10\,\rm \frac{m}{s^2}} = 4\,\rm s^2[/math]

[math]t = 2\,\rm s[/math]

Der Stein fällt also zwei Sekunden lang!

8. Während der zwei Sekunden Fallzeit bewegt sich der Stein mit 12 m/s in x-Richtung:

[math]s_x=12\,\rm \frac{m}{s} \cdot 2\,\rm s = 24\,\rm m[/math]

Der Stein wird also 24 Meter weit geworfen!

9. & 10.

Ein Brunnen

Bei einem Brunnen spritzt das Wasser waagrecht heraus und fällt 80cm tief bis auf die Wasseroberfläche. Ein Wasserstrahl (a) kommt dabei 20cm weit ein anderer (b) 40cm.

1. Egal mit welcher horizontalen Geschwindigkeit die Wassertropfen aus dem Brunnen austreten, sie führen nach unten einen freien Fall aus. Die Tropfen von Brunnen (a) fallen also in y-Richtung die gleiche Zeitdauer wie die Tropfen von Brunnen (b). Während dieser Zeit kommen die Tropfen von (a) nur halb so weit wie (b), weswegen sie in horizontaler Richtung auch nur halb so schnell sind!

Die exakte Zeitdauer berechnet sich aus dem Ortsgesetz des freien Falls:

[math]0{,}8\,\rm m = \frac{1}{2}\cdot \, 10\,\rm \frac{m}{s^2}\cdot t^2[/math]

[math]t^2 = \frac{0{,}8\,\rm m \cdot 2}{10\,\rm \frac{m}{s^2}} = 0{,}16\,\rm s^2[/math]

[math]t = 0{,}4\,\rm s[/math]

In diesen 0,4s legen die Wassertropfen in x-Richtung unterschiedliche Strecken zurück:

[math]v_{xa}=\frac{20\,\rm cm}{0{,}4\,\rm s}= 50 \rm\frac{cm}{s}[/math]

[math]v_{xb}=\frac{40\,\rm cm}{0{,}4\,\rm s}= 100\rm\frac{cm}{s}[/math]

2. Die Geschwindigkeiten in x-Richtung sind schon bekannt. Die Geschwindigkeit in y-Richtung ergibt sich aus 0,4s freiem Fall:

[math]v_y=10\rm\frac{m}{s^2}\cdot 0{,}4\,s = 4\rm\frac{m}{s}[/math]

Um den Geschwindigkeitsvektor [math]\vec v[/math] zu bekommen, macht man sich am besten eine Zeichnung. Der Winkel des Wasserstrahls, bzw. des Geschwindigkeitsvektors zum Boden ergibt sich im rechtwinkligen Dreieck mit:

[math]\tan(\alpha)=\frac{4\rm\frac{m}{s}}{0{,}5\rm\frac{m}{s}}=8[/math]

[math]\alpha =\tan^{-1}(8)\approx 82{,}9^{\circ}[/math]

[math]\beta =\tan^{-1}(4)\approx 76{,}0^{\circ}[/math]