Aufgaben zur Dynamik (Lösungen)
(Klassische Mechanik > Kräfte ändern den Impuls)
Inhaltsverzeichnis
Grundlagen
2. Newtonsches Gesetz
- Wie lautet das 2. Newtonsche Gesetz?
- Je fester an einem Gegenstand gedrückt (gezogen) wird und je länger das geschieht, desto mehr ändert sich seine Impulsmenge.
- Die Kraft ist die Änderung des Impulses pro Zeit.
- Erläutere es auch an einem selbstgewählten Beispiel.
- Ich stehe auf einem Skateboard und drücke mich eine halbe Sekunde von der Straße mit einer Kraft von 100 Newton ab. Dabei vergrößert sich mein Impuls um 50 Huygens:
- [math]\Delta p = F\, \Delta t = 100\,\rm N \cdot 0{,}5\,\rm s = 50\,\rm Hy[/math]
- Dann lasse ich den Fuß am Boden schleifen und bremse dadurch. Mein Impuls nimmt innerhalb von 5 Sekunden um 20 Huygens ab. Die Bremskraft betrug daher gerade 4 Newton.
- [math]F=\frac{\Delta p}{\Delta t}= \mathrm{\frac{20\,Hy}{5\,s} = 4\,N}[/math]
Das Wasserbehältermodell I
| Bewegung | Behältermodell | ||
|---|---|---|---|
| Impulsmenge | (in Huygens) | Wassermenge | (in ml) |
| Masse | (in kg) | Grundfläche | (in cm2 ) |
| Geschwindigkeit | (in m/s) | Wasserhöhe | (in cm) |
| Kraft | (in Newton) | Zuflussrate | (in ml/s) |
| Reibungskraft | (in Newton) | Abflussrate | (in ml/s) |
Einheitenpuzzle und Sprachwirrwarr
In der jeweils linken Spalte stehen die richtigen Aussagen!
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Das Wasserbehältermodell II
Beschreibe jeweils die Situationen oder Abläufe, indem du passende Wasserbehältermodelle findest.
- Paul und Pauline fahren Skatebord
- Paul und Pauline stehen mit ihrem Skateboard auf der Straße. Beide stoßen sich für eine halbe Sekunde mit einer Kraft von 80 Newton vom Boden ab. Paul hat aber doppelt so viel Masse wie Pauline.
- Beide stoßen sich auf die gleiche Weise vom Boden ab und erhalten deswegen beide die gleiche Impulsmenge von 40 Huygens. Weil Paul die doppelte Masse hat, ist er nur halb so schnell wie Paula.
- Pauline und Antonia fahren zusammen Fahrrad
- Beide haben in etwa die gleiche Masse und sind auch gleichschnell. Vor der Ampel kommt Pauline innerhalb von drei Sekunden zum Stehen. Antonia dagegen kann mit ihren besseren Bremsen sogar in anderthalb Sekunden anhalten.
- Beide haben den gleichen Impuls, den sie aber unterschiedlich schnell verlieren. Bei Pauline wirkt im gleichen Zeitraum eine halb so große Kraft wie bei Antonia.
- Paul zieht Pauline auf dem Schlitten
- Zunächst geht es mit einer gleichbleibenden Geschwindigkeit über den Schnee. Dann aber kommt eine Straße und Paul zieht so, dass sie trotzdem die Geschwindigkeit beibehalten. Schließlich aber bleibt der Schlitten stecken und trotz Ziehens ist der Schlitten nicht mehr zu bewegen.
- Schnee
Bei konstanter Geschwindigkeit ist auch die Impulsmenge konstant. Durch das Ziehen am Schlitten führt Paul dem Schlitten und Pauline Impuls zu. Aber gleichzeitig geht durch die Reibung die gleiche Impulsmenge wieder verloren. - Straße
Auch hier ist die Impulsmenge konstant. Aber wegen der größeren Reibung muss Paul fester ziehen. - Straße, steckengeblieben
Weil der Schlitten steht, ist kein Impuls im Schlitten oder in Paula. Wegen der starken Haftung am Boden geht sämtlicher Impuls, den Paul durch sein Ziehen hineinsteckt, sofort wieder verloren.
- Pauline fährt Rad
- Zuerst steht sie an der Ampel. Dann tritt sie mit einer gleichbleibenden Kraft in die Pedale, bis sie schließlich mit konstanter Geschwindigkeit fährt. Nach einer Weile hört sie auf zu treten und läßt es gemütlich ausrollen.
- Stehen
Beim Stehen hat Pauline noch keinen Impuls. - Losfahren
Wenn sie losfährt wird durch ihr gleichmäßiges Treten der Impuls gleichmäßig zunehmen. Wenn sie langsam fährt, ist ihre Reibung noch gering und es geht wenig Impuls verloren. - konstante Geschwindigkeit
Je schneller sie fährt, desto größer wird auch ihre Reibung, vor allem wegen des Luftwiderstandes. Durch ihr Treten ist ihre Impulsmenge schließlich so groß geworden, bis genausoviel Impuls reingeht wie rausgeht. - Ausrollen
Es kommt kein Impuls mehr hinzu. Durch die Reibungskraft nimmt deswegen der Impuls wieder ab.
Jemanden anschieben
Eine Person wird auf einem Bürodrehstuhl angeschoben. Ihre (träge) Masse beträgt 70kg und die des Stuhls 10kg. Dabei wird sie 2m/sec schnell.
- Die Impulsmengen betragen:
- Person: [math]p= m\, v = 70\, \rm kg \cdot 2\, \rm m/s = 140\, \rm Hy[/math]
- Stuhl: [math]p= m\, v = 10\, \rm kg \cdot 2\, \rm m/s = 20\, \rm Hy[/math]
- Zusammen also [math]160 \,\rm Hy[/math]
- Weil hier der Stuhl vor der Beschleunigung in Ruhe war, also noch keinen Impuls hatte, ist die Impulsänderung genau die Impulsmenge nach dem Anschubsen. Nach dem Veränderungsgesetz ist die Kraft Impulsänderung pro Zeit:
- [math]F=\frac{\triangle p }{ \triangle t}= \frac{160 \, \rm{Hy}}{1\, \rm{s}}= 160\frac{\rm Hy}{\rm s}=160\,\rm N[/math]
- Bei einer Sekunde hat man also mit 160N geschoben, bei der halben Zeitspanne muss die mittlere Kraft doppelt so groß gewesen sein.
Losfahren
Eine RadlerIn beschleunigt aus dem Stand 10 Sekunden lang mit einer mittleren Kraft von 30 Newton. Zusammen mit dem Rad hat sie eine (träge) Masse von 60kg.
- Weil hier das Rad vor der Beschleunigung in Ruhe war, ist die Impulsänderung genau die Impulsmenge nach den ersten zehn Sekunden. Nach dem Veränderungsgesetz ändert sich der Impuls um:
- [math]\triangle \, p = F\, \triangle \, t = \mathrm{30\, N \cdot 10\, s = 300\, Hy}[/math]
- Aus der Definition des Impulses folgt:
- [math]p= m\, v = 300 \, \mathrm{Hy = 60\, kg} \cdot v [/math]
- [math] \Rightarrow \quad v =\mathrm{ 5\, \frac{m}{s} = 18\, \frac{km}{h}}[/math]
- Längs welcher Strecke hat sie beschleunigt?:
- [math]a= \frac{F}{m}\, = \frac{30N}{60kg}\, = { 0,5\, \frac{m}{s^2}}[/math]
- [math]s= \frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2 = \frac{1}{2}\cdot{ 0,5\, \frac{m}{s^2}}\cdot(10s)^2 = 25m [/math]
Roller fahren
Tina steht mit ihrem Roller auf einer ebenen Straße. Zusammen haben sie eine Masse von 50kg. Dann schubst sie sich zweimal von der Straße ab. Beim ersten Mal eine Sekunde lang mit einer Kraft von 100N, beim zweiten Mal eine halbe Sekunde lang mit einer Kraft von 60N. Dazwischen rollt sie für zwei Sekunden.
- Wieviel Impuls hat Tina nach dem ersten und nach dem zweiten Anschubsen und wie schnell ist sie jeweils? (Rechne ohne Reibung, also ohne Impulsverlust.)
- Die Impulsänderungen betragen:
- [math]\triangle p = F \, \triangle t = 100 \, \rm N \cdot 1\, s = 100 \, Hy[/math]
- [math]\triangle p = F \, \triangle t = 60\, \rm N \cdot 0{,}5 \, s = 30 \, Hy[/math]
- Tina hat nach dem ersten Anschubsen eine Impulsmenge von 100Hy, nach dem zweiten Anschubsen von 130Hy:
- [math]p(\rm 1\, s)=100\, Hy [/math] [math].\qquad p(\rm 3{,}5\, s)=130\, Hy .[/math]
- Die Geschwindigkeiten erhält man durch Division durch die Masse:
- [math]p=m\, v \quad \Rightarrow \quad v = \frac{p}{m}[/math]
- [math]v(\rm 1\, s)=\frac{100\, Hy}{50 \, kg}= 2\,\frac{m}{s}\approx 7\, \frac{km}{h} [/math] [math].\qquad v(\rm 3{,}5\, s)=\frac{130\, Hy}{50 \, kg}= 2{,}6\,\frac{m}{s}\approx 9{,}5\, \frac{km}{h}.[/math]
- Zeichne das Impuls-Zeit- und Kraft-Zeit-Diagramm für die drei Sekunden dauernde Fahrt. Zeichne das passende Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm.
- Bewegungsdiagramme
Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm
Impuls-Zeit-Diagramm
Kraft-Zeit-Diagramm
- Wie weit fährt Tina in dieser Zeit?
- Tinas Geschwindigkeit ändert sich während der Fahrt. Die zurückgelegte Strecke kann man mit der Fläche im Geschwindigkeitsdiagramm bestimmen.
- [math]\begin{array}{rclclcl} \Delta s &=& \mathrm{\frac{1}{2}\cdot 2\frac{m}{s}\cdot 1\,s} &+& \mathrm{2\frac{m}{s}\cdot 2\,s} &+& \mathrm{2\,\frac{m}{s}\cdot 0{,5}\,s + \frac{1}{2}\cdot 0{,}6\frac{m}{s}\cdot 0{,}5\,s}\\ &=& \mathrm{1\,m} &+& \mathrm{4\,m} &+& \mathrm{\ 1{,}15\,m}\\ &=& \mathrm{6{,}15\,m} \end{array}[/math]
- Tina kommt also 6 Meter und 15 Zentimeter weit!
Die gerade eben noch vernachlässigte Reibungskraft beträgt für Tina und ihren Roller konstant 10 Newton.
- Wie lange nach dem zweimaligen Anschubsen kann Tina noch rollen, bevor sie stehen bleibt?
- Berücksichtigt man die Reibungskraft von 10N, so gehen in jeder Sekunde 10Hy Impuls verloren. Während der 3,5s dauernden Anschubsphase sind das:
- [math]\Delta p = 10\,\rm N \cdot 3{,}5\,\rm s = 35\,\rm Hy[/math]
Tina hat also nach dem Anschubsen nur 95 Huygens Impuls!
- In jeder Sekunde verliert sie davon 10 Huygens. Damit kann man die Ausrollzeit bestimmen:
- [math]\Delta p = F\, \Delta t \quad \Rightarrow \quad \Delta t = \frac{\Delta p}{F} = \mathrm{\frac{95\,Hy}{10\,N}=9{,}5\,s}[/math]
- Tina kann also noch 9,5 Sekunden lang rollen ohne sich abzustoßen.
- Welche Strecke legt sie beim Ausrollen zurück?
- Beim Ausrollen verändert sich innerhalb von 9,5s die Geschwindigkeit gleichmäßig von 2,6m/s auf 0m/s. Die zurückgelegte Strecke erhält man als Fläche unter dem Geschwindigkeitsdiagramm:
- [math]\Delta s = \mathrm{\frac{1}{2}\cdot 2{,}6\frac{m}{s}\cdot 9{,}5\,s} = 12{,}35\,m[/math]
- Tina rollt also noch 12 Meter und 35 Zentimeter weit.
- Wie könnte sie sich in regelmäßigen Abständen vom Boden abstoßen, um mit gleichbleibender Geschwindigkeit zu fahren?
- Tina muss im Durchschnitt 10 Huygens pro Sekunde Impuls erhalten, denn soviel geht durch die Reibung verloren.
- Sie könnte sich eine Sekunde lang mit 20 Newton abstoßen, dann eine Sekunde lang rollen und so weiter.
- Oder sie stößt sich eine Sekunde lang mit 30 Newton ab, dann kann sie zwei Sekunden lang rollen und so weiter.
Widerstände beim Radfahren
In diesem Widerstandsdiagramm ist die Reibungskraft F über die Geschwindigkeit aufgetragen. Die Reibungskraft setzt sich aus dem geschwindigkeitsunabhängigen Rollwiderstand und der Luftreibung zusammen.
Paula fährt auf ebener Strecke mit einer konstanten Geschwindigkeit von 6 m/s.
- Wie groß ist jetzt die Reibungskraft und wie groß die antreibende Kraft?
- Wenn Paula mit einer konstanten Geschwindigkeit fährt, dann verändert sich auch der Impuls nicht. Deshalb muss durch Paulas antreibende Kraft genausoviel Impuls reingehen, wie durch die Reibungskraft wieder rausgeht.
- Beide Krafte sind also gleich groß, Paula ist im "Kräftegleichgewicht".
- Am Diagramm kann man ablesen, dass die gesamte Reibungskraft bei 6 m/s gerade 24N beträgt. Paula treibt sich also mit einer Kraft von 24N an.
Danach tritt Paula so in die Pedale, dass die antreibende Kraft auf 40N ansteigt.
- Wie schnell wird sie jetzt?
- Auch jetzt wird sie so schnell, dass wieder Kräftegleichgewicht eintritt. Das ist bei einer Geschwindigkeit von ca. 8,2 m/s (30 km/h) der Fall.
Praktische Anwendungen
Die Weltraumwaage SLAMMD
Das "Space Linear Acceleration Mass Measurement Device", kurz SLAMMD bestimmt auf der ISS (International Space Station) die Masse von AstronautInnen durch eine lineare Beschleunigung. (Demovideo)
Bei einer Messung wurde die Person durch eine Kraft von 50 Newton in 1,2 Sekunden auf eine Geschwindigkeit von 0,8 Meter pro Sekunde beschleunigt.
- Man kann den Impuls der Astronautin auf zwei Arten bestimmen. Einmal über das Veränderungsgesetz als Ergebnis der Kraftwirkung und einmal über die Definition des Impulses als Masse mal Geschwindigkeit. Auch hier ist die Impulsänderung genau die Impulsmenge nach der Beschleunigung, weil die Astronautin zu Beginn noch keinen Impuls hat:
- [math] m\, v = \triangle \, p = F\, \triangle \, t[/math]
- Nach der Masse aufgelöst:
- [math]m= \frac{F\, \triangle \, t}{v} = \rm \frac{50\, \rm N \cdot \, 1{,}2\, s}{0{,}8\, m/s} = \frac{60\, \rm Hy}{0{,}8\, m/s} = 75\,kg[/math]
- Die Masse beträgt 75kg.
Der Anschnallgurt
Der Gurt verhindert bei einem Autounfall stärkere Verletzungen.
Wie groß sind wohl die Kräfte auf den Kopf der FahrerIn bei einem Aufprall mit 50 km/h auf ein festes Hindernis mit und ohne Gurt?
Mit Hilfe dieses Videos vom TCS wurde die Zeitdauer des Abremsens des Kopfes mit und ohne Gurt abgeschätzt. In den Zeitlupenaufnahmen wurden ca. 500 Bilder pro Sekunde aufgenommen, also alle 2 msec ein Bild gemacht.
- Abremsen durch Aufprall auf Frontscheibe und Lenkrad: ca. 6 msec
- Abremsen durch den Gurt: ca. 44 msec
Ein menschlicher Kopf hat eine Masse von ca. 3-4kg ([1], [2]).
- Berechne die wirkenden Kräfte beim Abbremsen und vergleiche sie mit der Gewichtskraft des Kopfes.
Weihnachtsbaumtransport
In diesem Video des ADAC wurde der Transport eines Weihnachtsbaumes auf dem Autodach untersucht.
Zitat: "Eine mannshohe Tanne bringt um die 30kg auf die Waage. Bei einem Aufprall mit 50km/h zerren in diesem Fall 750kg am Dachträger."
- Mit den 30kg ist sicherlich die Masse der Tanne gemeint, die vor der Fahrt gewogen wurde. Während des Abbremsens muss der Dachträger mit einer großen Kraft an der Tanne drücken, um sie anzuhalten. Nun kann man zum Vergleich diese Bremskraft in eine Gewichtskraft einer fiktiven Tanne umrechnen. Hätte die Tanne eine Masse von 750kg, so würde deren Gewichtskraft der Bremskraft entsprechen.
- Die Tanne bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von:
- [math]v= 50\; \colon 3{,}6\rm\frac{m}{s} = 13{,}9\rm\frac{m}{s}[/math]
- Der Impuls der Tanne beträgt daher:
- [math]p=m\,v = 30\,\rm kg \cdot 13{,}9\rm\frac{m}{s} = 416\,\rm Hy[/math]
- Die Bremskraft soll einer Gewichtskraft von 750kg entsprechen:
- [math]F=750\,\rm kg \cdot 10\rm\frac{N}{kg}=7500\,\rm N[/math]
- Die Kraft gibt an, wie schnell sich der Impuls ändert. Das 2. Newtonsche Gesetz löst man dann nach der Zeit auf:
- [math]\Delta p = F\, \Delta t \quad \Rightarrow \quad \Delta t= \frac{\Delta p}{F} = \frac{416\,\rm Hy}{7500\,\rm N} = 0{,}055\,\rm s = 55\,ms[/math]
- Der Baum wird also in ca. 6 Hundertstel Sekunden abgebremst.
Turmspringen
Eine Turmspringerin läßt sich vom 10-Meter-Turm fallen. Sie hat eine Masse von 60 kg.
- Mit welcher Kraft wird sie beschleunigt?
- Ihre Gewichtskraft beträgt:
- [math]F_G = m \, g = 60\, \rm kg \cdot 10\,\frac{N}{kg} = 600\, N[/math]
- Wie groß ist ihr Impuls und ihre Geschwindigkeit nach 1, 2, 3 Sekunden? (nach t Sekunden?)
- Ihr Impuls nimmt immer mit 600 Huygens pro Sekunde zu.
- [math]\triangle p = F \cdot \triangle t= 600 \, \rm N \cdot \triangle t[/math]
- [math]p(1\, \rm s)= 600\, Hy[/math]
- [math]p(2\, \rm s)= 1200\, Hy[/math]
- [math]p(3\, \rm s)= 1800\, Hy[/math]
- [math]p(t)= 600\, \frac{Hy}{s} \cdot t[/math]
- Wegen [math]p = m \, v[/math] erhält man die Geschwindigkeit durch Division durch die Masse von 60kg:
- [math]v(1\, \rm s)= 10\, m/s[/math]
- [math]v(2\, \rm s)= 20\, m/s[/math]
- [math]v(3\, \rm s)= 30\, m/s[/math]
- Vergleiche mit dem Fall ihres um 20kg "schwereren" Vereinskameraden.
- die Impuls- und Geschwindigkeitszunahme,
- Seine Gewichtskraft beträgt 800N, daher nimmt sein Impuls immer mit 800 Huygens pro Sekunde zu:
- [math]\triangle p = F \cdot \triangle t= 600 \, \rm N \cdot \triangle t[/math]
- [math]p(1\, \rm s)= 800\, Hy[/math]
- [math]p(2\, \rm s)= 1600\, Hy[/math]
- [math]p(3\, \rm s)= 2400\, Hy[/math]
- [math]p(t)= 800\, \frac{Hy}{s} \cdot t[/math]
- Die Geschwindigkeit erhält man durch Division durch die Masse von 80kg:
- [math]v(1\, \rm s)= 10\, m/s[/math]
- [math]v(2\, \rm s)= 20\, m/s[/math]
- [math]v(3\, \rm s)= 30\, m/s[/math]
- Aha! Die Turmspringerin erhält zwar nur weniger Impuls, aber sie benötigt auch weniger, um auf die gleiche Geschwindigkeit zu kommen!
- Einerseits hat sie durch ihre kleinere Masse eine geringere beschleunigende Kraft, aber andererseits ist sie durch ihre geringere Masse auch weniger träge. Beide Effekte gleichen sich genau aus.
- Man kann das auch nachrechnen. Die Gewichtskraft beträgt:
- [math]F_G=m \, g[/math]
- Der Impuls nach der Zeit t beträgt also:
- [math] p = F \cdot t= m \, g \, t[/math]
- Daraus folgt für die Geschwindigkeit:
- [math] v = \frac{p}{m} = \frac{m \, g \, t}{m} = g\, t[/math]
- Für alle frei fallenden Körper gilt also:
- [math] v = g\, t = 10\,\rm \frac{m}{s^2} \cdot t[/math]
- Die Geschwindigkeit nimmt pro Sekunde um 10m/s zu!
- den Aufprall auf der Wasseroberfläche.
- Da der Mann mehr Impuls als die Frau hat, muss er auch stärker abgebremst werden, das heißt, die wirkende Kraft ist größer oder die Zeitdauer der Einwirkung ist größer. Wahrscheinlich wird beides der Fall sein: Der Mann spürt einen stärkeren Aufprall und taucht länger in das Wasser ein.
- Zeichne für beide die Geschwindigkeit-Zeit-, Impuls-Zeit- und Kraft-Zeit-Diagramme vor dem Aufprall.
- Bewegungsdiagramme der Frau
Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm
Impuls-Zeit-Diagramm
Kraft-Zeit-Diagramm
- Bewegungsdiagramme des Mannes
Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm
Impuls-Zeit-Diagramm
Kraft-Zeit-Diagramm
Lineal-Reaktionstest
Mit einem mindestens 30 cm langen Lineal kann man einen Reaktionstest durchführen.
Du hältst eine Hand so in die Luft, dass du gleich zupacken kannst. Jemand anderes hält dir das Lineal über deine geöffnete Hand und läßt es dann fallen. Je schneller du reagierst, desto weniger tief fällt das Lineal.
- a) gemessene Fallstrecken:
23 cm | 25 cm | 30 cm | 24 cm | 28 cm
- b) Das Lineal fällt frei mit einer Beschleunigung von [math] g = 9{,}81 \rm \frac{m}{s}[/math]:
[math] \begin{array}{rrcll} & v &=& g \ t & \\ & s &=& \frac{1}{2}\ g \ t^2 & | \, \cdot 2 \ |\mathopen: \ g \\ \Rightarrow & \frac{2\ s}{g} &=& t^2 & | \,\sqrt{\quad} \\ \Rightarrow & \sqrt{\frac{2\ s}{g} } &=& t \end{array} [/math]
- Damit kann man nun die Reaktionszeiten berechnen. Zum Beispiel für 25cm:
- [math] t = \sqrt{\frac{2\ s}{g} } = \sqrt{\frac{2\cdot 0{,}25\ \rm m}{9{,}81 \rm \frac{m}{s}}} = 0{,23}\ \rm s [/math]
- Alle Reaktionszeiten:
0,22 s | 0,23 s | 0,25 s | 0,22 s | 0,24 s
- Im Mittel sind das [math]0{,}232[/math] Sekunden.
- c) Der Luftwiderstand des Lineals ist klein, denn es hat eine günstige Form und es fällt noch relativ langsam. Deshalb fällt es frei und somit spielt die Masse des Lineals keine Rolle.
Fallschirmspringen
Elena macht heute ihren ersten Freifall. Sie springt aus einer Höhe von 2000m aus dem Flugzeug. Mit ihren 80kg erreicht sie eine maximale Geschwindigkeit von 180km/h. In einer Höhe von 1000m sollte sie ihren Schirm ziehen. Mit Schirm hat sie dann nur noch eine Sinkgeschwindigkeit vom 5m/s.
- a) Am Anfang spielt der Luftwiderstand keine große Rolle und Elenas Geschwindigkeit nimmt im freien Fall in jeder Sekunde um ca. 10 m/s zu. (Ihre Beschleunigung ist die Erdbeschleunigung von ca. 10 m/s^2)
- Allgemein: [math]v = g\, t [/math]
- Nach 0,5s: [math]v = 10\,{\rm \frac{m}{s^2}} \cdot 0{,}5\,\rm s = 5\,{\rm \frac{m}{s}} [/math]
- Nach 1s: [math]v = 10\,{\rm \frac{m}{s^2}} \cdot 1\,\rm s = 10\,{\rm \frac{m}{s}} [/math]
- b) Wenn Elena in jeder Sekunde 10m/s schneller wird, dann hat sie nach 5s eine Geschwindigkeit von 50m/s erreicht.
- c) Der gestrichelte Graph stellt den Geschwindigkeitsverlauf ohne Luftwiderstand dar. Zu Beginn verlaüft auch der Fall mit Luftwiderstand wie der freie Fall. Nach ca. 10s wird Elena aber ihre Maximalgeschwindigkeit von 50m/s erreichen, schneller kann sie nicht werden.
- d) Die hellgrüne Fläche entspricht der Fallstrecke der ersten 10 Sekunden. Durch Zählen der Kästchen findet man eine Strecke von ca. 330m.
- Die dunkelgrüne Rechteck-Fläche entspricht der Strecke von 10s bis 15s: [math]\Delta s = 50\,{\rm \frac{m}{s}} \cdot 5\,\rm s = 250\,\rm m[/math]. Die gesamte grüne Fläche entspricht der Fallstrecke während der ersten 15 Sekunden, also ca. 580m.
- Elena springt aus 2000m Höhe und muss nach 1000m Fall den Schirm ziehen. Die Frage ist daher, in welcher Zeit sie diese Strecke zurücklegt. In den ersten 10s legt sie 330m zurück, dann darf sie noch 670m mit einer Geschwindigkeit von 50m/s fallen:
- [math]\Delta s = 650\,\rm m = 50\,{\rm \frac{m}{s}} \cdot t \quad \Rightarrow \quad t = 13\,\rm s[/math]
- Elena muss also 23 Sekunden nach dem Absprung den Schirm ziehen.
- e) Nach 15 Sekunden hat sie ihre maximale Geschwindigkeit erreicht, ist also im Kräftegleichgewicht. Der Luftwiderstand ist entgegengesetzt genausogroß wie ihre Gewichtskraft und beträgt daher 800N.
Mit dem Fahrrad bergab rollen
Anna rollt aus dem Stand den Schauinsland herunter. Sie möchte gerne wissen, wie schnell sie nach einer gewissen Zeit wird und welche maximale Geschwindigkeit sie erreichen kann.
Dazu bestimmt sie das Gefälle der Straße zu 10%, ihre Masse zu 50 kg, die Masse des Rads zu 10 kg und im Internet findet sie noch ein Diagramm, das ihr angibt wie die Widerstandskraft von der Geschwindigkeit abhängt.
- Warum kann man für die Betrachtung der ersten drei Sekunden der Bewegung den Luftwiderstand noch vernachlässigen?
- Um die beschleunigende Kraft zu berechnen, rechnet Anna:
- [math]F_G = 60\,\rm kg \cdot 10\frac{\rm N}{\rm kg}[/math]
- und weiter:
- [math]\tan \alpha = \frac{F}{F_N} \approx \frac{F}{F_G} = \frac{1\,\rm km}{10\,\rm km} = 10\% [/math]
- [math] \Rightarrow \quad F = F_G \cdot 10\%[/math]
- und dann zieht sie von diesem Ergebnis noch 6 Newton ab.
Begründe ihre Rechnung und berechne die beschleunigende Kraft.
- Wie schnell wird Anna innerhalb der ersten drei Sekunden? Zeichne ein Geschwindigkeitsdiagramm (x: Zeit ; y: Geschwindigkeit) der ersten drei Sekunden.
- Nach ca. einer Minute Rollen hat Anna schon ihre maximale Geschwindigkeit erreicht.
- Bestimme mit Hilfe des Widerstands-Diagramms Annas maximale Geschwindigkeit.
- Zeichne das Geschwindigkeitsdiagramm der ersten Minute.
Wasserwerfer
Der Wasserstrahl eines Wasserwerfers hat soviel Impuls, dass er Menschen umwerfen kann. Hält man in einem vereinfachten Experiment ein Brett in den Wasserstrahls eines Gartenschlauchs, so spürt man eine Kraft. Mit dieser Kraft wird das Wasser bis zum Stillstand abgebremst!
Aus einem Schlauch spritzen pro Minute 6 Liter Wasser. Man misst eine Kraft von 0,5 Newton auf das Brett.
- In der Zeit von 60s werden 6kg Wasser abgebremst. Wiederum ist die Impulsänderung der gesamte Impuls, weil das Wasser bis zur Ruhe abgebremst wird:
- [math] m\, v = \triangle \, p = F\, \triangle \, t[/math]
- Diesmal sucht man die Geschwindigkeit, die anderen Größen sind bekannt:
- [math]v = \frac{F\, \triangle \, t}{m} = \rm \frac{0{,}5\, \rm N \cdot 60\, s}{6\, kg} = \frac{30 \,Hy}{6\, kg} = 5\,m/s[/math]
- Das Wasser hat eine Geschwindigkeit von 5m/s (18km/h).
Am Wasserhahn
Bestimme die Austrittsgeschwindigkeit des Wassers am Hahn.
Man hat folgende Hilfsmittel zur Verfügung: eine Waage (mit einer Plastiktüte zum Schutz), ein Messbecher und eine (Stopp-)Uhr.
Beschreibe den Aufbau, die Messergebnisse und die Auswertung.
- Aufbau
- Messung
Anzeige der Waage: 95 g
Innerhalb von 5 Sekunden fließen 870 ml Wasser aus dem Hahn.
- Auswertung
Innerhalb der Zeit [math]t = 5s[/math] werd en 870ml Wasser an der Waage bis zur Ruhe abgebremst. Dabei verliert das Wasser seinen gesamten Impuls von [math]p = m \, v[/math] durch die bremsende Kraft [math]F = 0,95 N[/math].
Wegen [math]p = m \, v = F \, t \qquad.[/math] folgt: [math]v= \frac{F \, t}{m}[/math] mit den gemessenen Werten:
- [math]v= \frac{4,75 Hy}{0,87kg} \approx 5,46 \frac{m}{sec} \approx 19,7 \frac{km}{h}[/math]
Das Wasser ist also ungefähr 20 km/h schnell.
Vektorielle Impulsänderung
Pelton-Turbine
Vergleicht man die Schaufel mit dem Brett, so nimmt man den gleichen Wasserstrahl, also trifft genausoviel Wasser pro Zeit auf die Schaufel wie auf das Brett. Bei der Schaufel muss nun der Impuls des Wassers in der gleichen Zeit um die doppelte Menge geändert werden, nämlich von der positiven Richtung zur entgegengesetzten Richtung.
Die Impulsänderung pro Zeit, also die Kraft, ist daher doppelt so groß.
Impuls- und Kraft-Diagramme
Luft- und Rollwiderstand eines Autos
Aus dem Geschwindigkeitsverlauf läßt sich auf den Verlauf des Impulses schließen. Der Impuls des Autos nimmt mit der Geschwindigkeit ab, genauer gilt:
- [math]p=m \, v[/math]
Die wirkende Widerstandskraft sorgt dafür, dass der Impuls kleiner wird, genauer ist die Kraft gerade die zeitliche Änderungsrate des Impulses. Aus den gemessenen Werten kann man in einzelnen Zeitschritten jeweils die mittlere Änderungsrate am Diagramm als Steigung oder anhand der Wertetabelle als Differenzenquotient berechnen:
- [math]F=\dot p \approx \frac{\triangle p}{\triangle t}=\frac{p(t_2)-p(t_1)}{t_2-t_1}[/math]
Alternativ dazu kann man auch zunächst die Beschleunigung des Autos als die zeitliche Änderungsrate der Geschwindigkeit bestimmen. Und dann daraus die wirkende Kraft:
- [math]a=\dot v \approx \frac{\triangle v}{\triangle t} = \frac{v(t_2)-v(t_1)}{t_2-t_1}[/math]
- [math]F=m \, a[/math]
Es ist zu erkennen, dass die Geschindigkeit und damit auch der Impuls zunächst stark mit der Zeit abnimmt. Rollt der Wagen schon länger, so nimmt der Impuls weniger schnell ab. Das heisst, die Widerstandskraft nimmt mit der Zeit ab. Gegen Ende der Fahrt nimmt der Impuls gleichmäßig ab, die Widerstandskraft ist also einigermaßen konstant.
Die Abnahme der Kraft kann nur mit der Abnahme der Geschwindigkeit zusammenhängen. Man sieht im Kraft-Geschwindigkeit-Diagramm deutlich, wie der Widerstand zunimmt. Bei der Verdoppelung der Geschwindigkeit von 50 km/h auf 100 km/h steigt der Widerstand ungefähr auf das Dreifache.
Auch bei einer sehr geringen Geschwindigkeit sinkt der Widerstand nicht unter 50 Newton. Dieser Anteil des Widerstandes scheint der geschwindigkeitsunabhängige Rollwiderstand zu sein.
Ein Fahrrad rollt bergab
Ein Fahrrad steht auf einer abschüssigen Strasse und rollt nach dem Lösen der Bremsen hinab. Die Person hat zusammen mit dem Rad eine Masse von 90kg. Für den Beginn der Bewegung ist die Reibung noch zu vernachlässigen und für den Geschwindigkeitsverlauf gilt:
- [math]v(t)= 0{,}8 \mathrm{\frac{m}{s^2}} \ t[/math]
- Diagramme des zeitlichen Verlaufs der ersten 10 Sekunden:
Ort s (m), Geschwindigkeit v (m/s) und Beschleunigung a (m/s^2)
Impuls p (N s) und Kraft F (N)
- Die Funktionsgleichungen lauten:
- [math]s(t)=\frac{1}{2}\cdot 0{,}8 \mathrm{\frac{m}{s^2}}\,t^2[/math]
- [math]v(t)=\dot s(t)= \mathrm{0{,}8 \frac{m}{s^2}}\, t \qquad \quad \ \, p(t)=m \, v(t) = \mathrm{72\frac{kg \, m}{s^2}}\,t = 72 \mathrm{\frac{N \, s}{s}}\,t =72\,\rm N\,t[/math]
- [math]a(t)=\dot v(t)= 0{,}8 \mathrm{\frac{m}{s^2}} \qquad \qquad F(t)=\dot p(t) = m\, \dot v(t) = 72\,\rm N[/math]
- Wieviel % Gefälle hat die Strasse?
Die Beschleunigung beträgt nur 0,8 m/s^2 statt im freien Fall ca. 10 m/s^2. Wegen des kleinen Winkels kann man daraus direkt ein Gefälle von 8% ablesen, mit folgender Begründung:
Das Gefälle der Straße ist der Tangens des Neigungswinkels:
- [math] \tan(\alpha) = \mathrm{Gef\ddot a lle}[/math].
Vom Neigungswinkel hängt auch das Verhältnis von Hangabtriebskraft [math]F_\|[/math] und Gewichtskraft [math]F_G[/math], bzw. Hangabtriebsbeschleunigung [math]a_\|[/math] und Erdbeschleunigung [math]g[/math] ab:
- [math]\sin(\alpha) = \frac{F_\|}{F_G} = \frac{m \, a_\|}{m \, g} = \frac{a_\|}{g} = \mathrm{\frac{0{,}8 \, m/{s}^2}{10 \, m/ {s}^2}} = 0{,}08[/math]
Für kleine Winkel unterscheiden sich Sinus und Tangens nur geringfügig, deshalb beträgt das Gefälle 0,08 , also 8%.
Für eine genaue Rechnung bestimmt man zunächst den Neigungswinkel und daraus den Tangens:
Für die Hangabtriebskraft gilt:
- [math]F=F_G \sin( \alpha)[/math]
- [math] \mathrm{72\, N = 90\, kg \cdot 9{,}81 \frac{N}{kg} \sin(\alpha)= 882{,}9\, N \, \sin(\alpha)}[/math]
Der Winkel der Straße beträgt demnach:
- [math]\alpha = \sin^{-1}(0{,}081549) \approx 4,678^\circ[/math]
Und daraus folgt für das Gefälle:
- [math]\tan(4,678^\circ)\approx 0{,}0818[/math]
Das Gefälle beträgt also 8,2%.
