Die eulersche Zahl e und die natürliche Exponentialfunktion

Exponentialfunktionen

Exponentialfunktionen beschreiben exponentielles Wachstum oder exponentiellen Zerfall. Dabei wird ein Anfangswert [math]f(0)[/math] immer wieder mit einer festen Basis [math]b[/math], die man auch Wachstumsfaktor nennt, multipliziert:

"Das menschliche Darmbakterium Escherichia coli hat unter Idealbedingungen in Laborkulturen eine Generationszeit von etwa 20 Minuten."	Zeitschritte (je 20min) 0 1 2 3 4 ... [math]x[/math] Anzahl 1 2 4 8 16 ... [math]2^x[/math]
Das radioaktive Iod-Isotop 131 hat eine Halbwertszeit von 8 Tagen:	Zeitschritte (je 8Tage) 0 1 2 3 4 ... [math]x[/math] Masse (in g) 100 50 25 12,5 6,25 ... [math]100\cdot 0{,}5^x[/math]

Die natürliche Exponentialfunktion

Die Eulersche Zahl lautet ungefähr: [math]e = 2{,}7182818284590452353602874713526624977572470936999595749 \ldots[/math]

Sie ist, wie [math]\pi[/math] oder [math]\sqrt 2[/math], eine irrationale Zahl mit unendlich vielen, nichtperiodischen Nachkommastellen.

Man kann alle Wachstumsvorgänge auch ohne diese Zahl beschreiben, wozu braucht man sie dann? Ein Grund von vielen ist die Bestimmung der Ableitung von Exponentialfunktionen. Denn was ist z.B. [math]\left(2^x\right)'[/math]?

Die Differentialgleichung von Exponentialfunktionen

An den Beispielen mit den Bakterien oder dem radioaktiven Iod sieht man:

• Je größer der Bestand, desto größer die Änderungsrate.

Wie hängt die Änderungsrate (Steigung) vom Bestand (Funktionswert) ab?

Diese Aussage kann man auch mathematisch präziser formulieren und mit Hilfe des Differenzenquotienten beweisen:

Bei exponentiellem Wachstum/Zerfall ist die Änderungsrate proportional zum Bestand: [math]f'(x) = k \cdot f(x) \qquad \text{}[/math] (Differentialgleichung, kurz DGL) Die Zahl [math]k[/math] heißt "Wachstumskonstante": [math] k \gt 1 [/math]: Exponentielles Wachstum [math] k \lt 1 [/math]: Exponentieller Zerfall

Die Bedeutung der Wachstumskonstante

Um die Wachstumskonstante zu berechnen, kann man die DGL nach [math]k[/math] auflösen:

[math]k = \frac{f'(x)}{f(x)}[/math]

Der Quotient aus Änderungsrate und Funktionswert ist also für alle x immer gleich. Insbesondere gilt dies für [math]x=0[/math]:

[math]k=\frac{f'(0)}{f(0)} = \frac{f'(0)}{1} = f'(0)[/math]

Die Änderungsrate zu Beginn ist gerade die Wachstumskonstante: [math]k = f'(0)[/math]

Definition der eulerschen Zahl e

Mit dem Schieberegler kann man die Basis der Exponentialfunktion verändern. Hat man den Knopf des Schiebereglers markiert, kann man zur Feinregulierung auch die Kursortasten benutzen.

Für welche Basis ist die Steigung bei x=0 gerade eins?

Es gibt genau eine Exponentialfunktion, die mit ihrer Ableitung übereinstimmt. Die Basis dieser sogenannten "natürlichen Exponentialfunktion" ist die eulersche Zahl [math]e[/math]:

Die natürliche Exponentialfunktion stimmt mit ihrer Ableitung überein. Die Basis dieser Exponentialfunktion heißt "Eulersche Zahl e". Die Wachstumskonstante ist 1. [math]f'(x) = 1 \cdot f(x) \qquad \left( e^x \right) ' = e^x \qquad e\approx 2{,}718[/math]

Ableitungen von beliebigen Exponentialfunktionen

Das Ableiten der natürlichen Exponentialfunktion ist ganz einfach, man muss nur nichts machen! Bei Produkten oder Verkettungen muss man dementsprechend Produkt- und Kettenregel anwenden.

Will man eine Exponentialfunktion ableiten, welche nicht die Basis e hat, so muss man sie vorher in die Basis e umschreiben. Dazu benötigt man den natürlichen Logarithmus, kurz [math]\ln(x)[/math]. Der natürliche Logarithmus von 2 ist die Zahl, mit der man e potenzieren muss, um 2 zu erhalten:

[math]2^x = \left(e^? \right)^x \qquad ? =\ln (2)\approx 0{,}693 [/math]

[math] 2^x = \left(e^ {\ln (2)} \right)^x = e^{\ln (2) \cdot x} \approx e^{0{,}693 \cdot x}[/math]

Man kann jede Exponentialfunktion zur Basis [math]e[/math] schreiben: [math]f(x) = b^x = \left( e^{\ln (b)} \right)^x = e^{\ln(b)\cdot x} [/math] [math]\left( e^{\ln(b)\cdot x} \right)' = \ln(b) \cdot e^{\ln(b)\cdot x} \qquad \text{}[/math] (Kettenregel) Die Wachstumskonstante ist [math]\ln (b)[/math]. [math]f'(x) = \ln(b) \cdot f(x)[/math]

Beispiele für Ableitungen

[math]f(x)[/math]	Regel(n)	[math]f'(x)[/math]
[math]6\cdot 3^x = 6 \cdot e^{\ln (3)\cdot x}[/math]	Kettenregel	[math]6\cdot e^{\ln(3)\, x}\cdot \ln(3) = 6\cdot \ln(3)\cdot e^{\ln(3)\, x}[/math]
[math]18\cdot 0{,}5^x = 18\cdot e^{\ln(0{,}5)\cdot x}[/math]	Kettenregel	[math]18\cdot \ln(0{,}5)\cdot e^{\ln(0{,}5)\cdot x}[/math]
[math]2 \, e^{5x} + x^2[/math]	Summenregel Kettenregel	[math]10\, e^{5x} + 2x[/math]
[math]e^{\sin (x)}[/math]	Kettenregel	[math]\cos (x) \, e^{\sin (x)}[/math]
[math]e^{-x^2}[/math]	Kettenregel	[math]-2x\,e^{-x^2}[/math]
[math]x\, e^{-x}[/math]	Produktregel Kettenregel	[math]1\cdot e^{-x} + x\cdot e^{-x}\cdot (-1)[/math] [math]=e^{-x}-x\, e^{-x}[/math] [math]= (1-x)\, e^{-x}[/math]