Praktikum: Untersuchung eines Fadenpendels

Untersuchungsauftrag: Wovon hängt die Frequenz des frei schwingenden Pendels ab?

• Untersuchen Sie experimentell, wovon die Frequenz, bzw. die Schwingungsdauer eines Pendels abhängt.

• Als vereinfachtes Modell der Schaukel oder des Uhrenpendels nehmen wir einen an einem Faden hängenden Gegenstand. Wir nehmen an, dass die Ausdehnung des Gegenstandes klein ist gegenüber der Fadenlänge. In der Vereinfachung ist die Masse in einem Punkt, dem Schwerpunkt, konzentriert und der Faden masselos. Die Pendellänge ist dann der Abstand vom Aufhängepunkt zum Schwerpunkt. Eine solche Abstraktion heißt auch "mathematisches Pendel".

Mögliche Beeinflussungen durch:

• Pendellänge l
• Masse [math]m[/math]
• Amplitude [math]\hat y[/math]
• Reibung
• Antrieb

Man darf immer nur eine Größe variieren und dann jeweils die Periode messen. Misst man z.B. für verschiedene Amplituden die Periode erhält man einen Zusammenhang zwischen Amplitude und Periodendauer, der streng genommen nur für die gewählte Länge, Masse usw. gilt.
Ändert sich die Periode bei Variation einer Größe nicht, so ist sie davon unabhängig.

Den Zusammenhang zwischen der Periodendauer und der Reibung bzw. des Antriebs kann man mit diesem Versuchsaufbau nicht untersuchen.

Aufbau

Das Fadenpendel

Mittels einer Klemme wird eine Stange senkrecht an einem Tisch angebracht. An dieser Stange wird am oberen Ende eine kleine Querstange befestigt und an dieser eine Klemme.

Mit der Klemme wird nun ein Faden befestigt, an dessen Ende ein kleines Gewicht hängt.

• Zur Untersuchung der Abhängigkeit von einer Größe muß diese variiert und alle anderen konstant gehalten werden.

Beobachtung/Messwerte

• Abhängigkeit von der Pendellänge l:

Die Pendellängen sollen ca. folgende Werte haben: 0,05m 0,1m 0,2m 0,3m 0,4m 0,5m.

Masse [math]m \rm \text{ in } kg[/math]:

Amplitude [math]\hat y \rm \text{ in } ^{\circ} [/math]:

[math]l \rm \text{ in } m[/math]
[math]10 \, T \rm \text{ in } s[/math]
[math]T \rm \text{ in } s[/math]
[math] \frac{T}{l} \text{ in } {\rm \frac{s}{m} }[/math]
[math] \frac{T}{l^2} \text{ in } {\rm \frac{s}{m^2} }[/math]
[math] \frac{T}{\sqrt{l}} \text{ in } {\rm \frac{s}{\sqrt{m}} }[/math]

• Abhängigkeit von der Masse m:

Durch Anhängen eines zweiten Gewichts kann man die Masse verdoppeln oder man verwendet verschiedene Gegenstände.

Pendellänge [math]l \rm \text{ in } m[/math]:

Amplitude [math]\hat y \rm \text{ in } ^{\circ} [/math]:

[math]m \rm \text{ in } kg[/math]
[math]10 \, T \rm \text{ in } s[/math]
[math]T \rm \text{ in } s[/math]

• Abhängigkeit von der Amplitude [math]\hat y[/math]:

Masse [math]m \rm \text{ in } kg[/math]:

Pendellänge [math]l \rm \text{ in } m[/math]:

[math]\hat y \rm \text{ in } ^{\circ} [/math]	5°	10°	20°	40°	60°	80°
[math]10 \, T \rm \text{ in } s[/math]
[math]T \rm \text{ in } s[/math]
[math] \frac{T}{\hat y} \text{ in } {\rm \frac{s}{\circ} }[/math]
[math] \frac{T}{\hat y^2} \text{ in } {\rm \frac{s}{\circ ^2} }[/math]
[math] \frac{T}{\sqrt{\hat y}} \text{ in } {\rm \frac{s}{\sqrt{\circ}} }[/math]

Erklärung/Auswertung

Die gemessenen Zusammenhänge werden jeweils in ein Koordinatensystem gezeichnet. Man trägt zum Beispiel die Periodendauer (y-Achse) über die halbe Stangenlänge (x-Achse) auf.

Um einen rechnerischen Zusammenhang zwischen den Größen zu finden, sucht man nach konstanten Quotienten oder Produkten der Messgrößen. Diese werden in die Tabelle eingetragen.

Als Beispiel hier der Zusammenhang zwischen Periodendauer und Pendellänge. Es kommen mehrere Möglichkeiten in Betracht:

1. [math]T = c \cdot l \quad \Leftrightarrow \quad c = \frac{T}{l}[/math]
2. [math]T = c \cdot l^2 \quad \Leftrightarrow \quad c = \frac{T}{l^2}[/math]
3. [math]T = c \cdot \sqrt{l} \quad \Leftrightarrow \quad c = \frac{T}{\sqrt{l}}[/math]

Man berechnet daher alle Quotienten und untersucht, ob ein Quotient für alle Messungen ungefähr gleich bleibt. Wenn dies der Fall ist, so nimmt man den Mittelwert der Quotienten, um damit eine Formel aufzustellen.