Aufgaben zu Energiebilanzen (Lösungen)

Ein LKW im Stadtverkehr

Ein voll beladenener 40-Tonner hält bei seiner Fahrt durch die Stadt an fünf roten Ampeln und beschleunigt jedesmal wieder auf 50 km/h.

• Nach jeder Beschleunigungsphase steckt die Energiemenge

[math]E_{kin}=\frac{1}{2}\, m \ v^2 = \frac{1}{2}\, 40000 kg \ (13,9 \frac{m}{sec})^2 = 3864000 J[/math]

in der Bewegung. Für alle fünf Ampeln benötigt er 19321000 Joule, also ca. 19 MJ (MegaJoule).

• Durch den Wirkungsgrad von 1/3 benötigt er eine Dieselmenge mit dem dreifachen Energiegehalt aller Bewegungen, also ca. 58 MJ, was 1 1/2 Litern Diesel entspricht.
• Beträgt seine Masse nur noch die Hälfte, so ist auch nur noch die Hälfte der Energie zum Beschleunigen nötig. Denn die Bewegungsenergie ist proportional zur Masse: [math]E_{kin}=\frac{1}{2}\, m \ v^2[/math]. Deshalb benötigt der LKW auch nur die Hälfte des Treibstoffs.

Beim Klettern

Max fällt beim Vorsteigen ins Seil. Der nächste Haken ist drei Meter unter ihm.

• Max fällt sechs Meter tief, bis das Seil straff ist. Dabei wandelt sich seine Lageenergie in Bewegungsenergie um:

[math]E_{pot}= m \, g \, h = 80 kg \cdot 10 N/kg \cdot 6 m = 4800 Nm = 4800 J[/math]

Bei seiner Tochter ist es nur die Hälfte der Energie, also 2400 Joule.

• Man kann seine Lageenergie der Bewegungsenergie gleichsetzen:

[math]4800 J = \frac{1}{2}\, m \ v^2 [/math]

Daraus folgt:

[math]v = \sqrt{\frac{2 \cdot 4800 J}{80 kg}} = \approx 11 \frac{m}{sec} \approx 40 km/h[/math]

Der gleiche Rechenweg ergibt, das seine Tochter genausoschnell fällt! Das weiss man auch schon von der Untersuchung des freien Falls, weil Erikas Trägheit im gleichen Maße abgenommen hat wie ihre Gewichtskraft.

Man erkennt es aber auch an der Energiebilanz:

[math]E_{pot}=E_{kin}[/math]

[math]m \, g \, h = \frac{1}{2}\, m \ v^2 [/math]

Durch Division durch die Masse m kürzt sich nämlich die Masse aus der Rechnung heraus und man erhält als Geschwindigkeit nur in Abhängigkeit von der Fallhöhe:

[math]v= \sqrt{2\, g\, h}[/math].

Beim Radfahren: Unterführung oder Brücke?

An der Dreisam kann sich Elisabeth an einigen Brücken entscheiden, ob sie unter der Brücke hindurchfähren will oder oben entlang.

Welche Vor- oder Nachteile haben die beiden Möglichkeiten eigentlich? Interessant wäre auf welchem Weg sie schneller ist und auf welchem Weg sie weniger Energie benötigt.

Als Rechenbeispiel zur Abschätzung kann man annehmen, dass der Weg oben entlang einen Meter höher liegt und der Weg unten einen Meter tiefer. Elisabeth wiegt mit ihrem Rad zusammen 90 kg fährt mit 18 km/h auf die Brücke zu.

• Zunächst nehmen wir der Einfachheit halber an, dass die Reibung an Luft und Boden keine große Rolle spielt und Elisabeth unter oder auf der Brücke nur noch rollt ohne zu Treten.

Wie ist dann der Geschwindigkeitsverlauf, wenn sie oben oder unten fährt? Auf welchem Weg ist sie daher schneller?

Berechne Elisabeths Geschwindigkeit unter oder auf der Brücke.

• In einer zweiten Betrachtung tritt sie gerade soviel in die Pedale, dass die Reibung ausgeglichen wird. Die Reibung, also auch der Energie"verlust" ist bei größeren Geschwindigkeiten auch größer.

Welcher Weg ist für Elisabeth energetisch günstiger?

Eine Federschwingung

Ein Wagen ist durch einer Feder am Tisch befestigt. Der Wagen wird ein Stück nach rechts geschoben und losgelassen.

• Beschreibe die Bewegung, die der Wagen dann macht.
• Beschreibe, wie sich der Ort der Energie (die Energieform) im Laufe der Zeit ändert.
• Zur genaueren Beschreibung hat man die Federkonstante zu 0,5 N/cm und die Masse des Wagens zu 100 Gramm bestimmt. Der Wagen wird aus der Position mit entspannter Feder um 2 cm nach rechts ausgelenkt und losgelassen.

Wie schnell wird der Wagen maximal?

Wie schnell wird er, wenn man bei gleicher Auslenkung die Masse des Wagens durch ein 300g-Gewicht vervierfacht?

Wie schnell wird er, wenn man den 100 Gramm trägen Wagen 4 Zentimeter auslenkt?