Aufgaben zu Energiebilanzen (Lösungen)

Ein LKW im Stadtverkehr

Ein voll beladenener 40-Tonner hält bei seiner Fahrt durch die Stadt an fünf roten Ampeln und beschleunigt jedesmal wieder auf 50 km/h.

• Nach jeder Beschleunigungsphase steckt die Energiemenge

[math]E_{kin}=\frac{1}{2}\, m \ v^2 = \frac{1}{2}\, 40000 kg \ (13,9 \frac{m}{sec})^2 = 3864000 J[/math]

in der Bewegung. Für alle fünf Ampeln benötigt er 19321000 Joule, also ca. 19 MJ (MegaJoule).

• Durch den Wirkungsgrad von 1/3 benötigt er eine Dieselmenge mit dem dreifachen Energiegehalt aller Bewegungen, also ca. 58 MJ, was 1 1/2 Litern Diesel entspricht.
• Beträgt seine Masse nur noch die Hälfte, so ist auch nur noch die Hälfte der Energie zum Beschleunigen nötig. Denn die Bewegungsenergie ist proportional zur Masse: [math]E_{kin}=\frac{1}{2}\, m \ v^2[/math]. Deshalb benötigt der LKW auch nur die Hälfte des Treibstoffs.

Beim Klettern

Max fällt beim Vorsteigen ins Seil. Der nächste Haken ist drei Meter unter ihm.

• Max fällt sechs Meter tief, bis das Seil straff ist. Dabei wandelt sich seine Lageenergie in Bewegungsenergie um:

[math]E_{pot}= m \, g \, h = 80 kg \cdot 10 N/kg \cdot 6 m = 4800 Nm = 4800 J[/math]

Bei seiner Tochter ist es nur die Hälfte der Energie, also 2400 Joule.

• Man kann seine Lageenergie der Bewegungsenergie gleichsetzen:

[math]4800 J = \frac{1}{2}\, m \ v^2 [/math]

Daraus folgt:

[math]v = \sqrt{\frac{2 \cdot 4800 J}{80 kg}} = \approx 11 \frac{m}{sec} \approx 40 km/h[/math]

Der gleiche Rechenweg ergibt, das seine Tochter genausoschnell fällt! Das weiss man auch schon von der Untersuchung des freien Falls, weil Erikas Trägheit im gleichen Maße abgenommen hat wie ihre Gewichtskraft.

Man erkennt es aber auch an der Energiebilanz:

[math]E_{pot}=E_{kin}[/math]

[math]m \, g \, h = \frac{1}{2}\, m \ v^2 [/math]

Durch Division durch die Masse m kürzt sich nämlich die Masse aus der Rechnung heraus und man erhält als Geschwindigkeit nur in Abhängigkeit von der Fallhöhe:

[math]v= \sqrt{2\, g\, h}[/math].

Beim Radfahren: Unterführung oder Brücke?

• Beim Bergaufrollen wird Energie von der Bewegung auf ihre Lage umgeladen. Beim Bergabrollen umgekehrt.

Rollt Elisabeth unter der Brücke hindurch, so wird sie schneller, bis zum tiefsten Punkt des Weges. Sobald der Weg ansteigt nimmt ihre Geschwindigkeit wieder ab und nach der Unterführung ist sie wieder genausoschnell wie davor.

Rollt sie über die Brücke, so wird sie bis zum höchsten Punkt langsamer um nach der Brücke wieder ihre ursprüngliche Geschwindigkeit zu besitzen.

Im Mittel hat sie daher unter der Brücke eine größere Geschwindigkeit, weswegen sie schneller ist als oben herum!

• Elisabeths Bewegungsenergie beträgt am Anfang:

[math]E_{kin}=\frac{1}{2}\, m \ v^2 = \frac{1}{2}\, 90 kg \ \left(5 \frac{m}{sec}\right)^2 = 1125 J[/math] .

Bei einem Höhenunterschied von einem Meter erhält oder benötigt sie die Energiemenge:

[math]E_{pot}=m\, g\, h = 90 kg \cdot 10 N/kg \cdot 1 m = 900 J[/math]

Unter der Brücke hat sie 2025 Joule, auf der Brücke nur 225 Joule. Setzt man dies mit ihrer Bewegungsenergie gleich, so ergibt sich für Ihre Geschwindigkeiten:

[math]2025 J = \frac{1}{2}\, m \ v^2 [/math]

[math]v=\sqrt{\frac{2\cdot 2025 J}{90 kg} } \approx 6,7 \frac{m}{sec} \approx 24 \frac{km}{h}[/math] und entsprechend auf der Brücke: [math]v \approx 2,2 \frac{m}{sec} \approx 8 \frac{km}{h}[/math]

• Da bei der Fahrt über die Brücke die auftetenden Geschwindigkeiten geringer sind, ist auch ihr Reibungsverlust geringer und sie benötigt insgesamt weniger Energie. Die Energiespeicherung als Lageenergie ist also effektiver als die Speicherung in der Bewegung!

Eine Federschwingung

Ein Wagen ist durch einer Feder am Tisch befestigt. Der Wagen wird ein Stück nach rechts geschoben und losgelassen.

• Beschreibe die Bewegung, die der Wagen dann macht.
• Beschreibe, wie sich der Ort der Energie (die Energieform) im Laufe der Zeit ändert.
• Zur genaueren Beschreibung hat man die Federkonstante zu 0,5 N/cm und die Masse des Wagens zu 100 Gramm bestimmt. Der Wagen wird aus der Position mit entspannter Feder um 2 cm nach rechts ausgelenkt und losgelassen.

Wie schnell wird der Wagen maximal?

Wie schnell wird er, wenn man bei gleicher Auslenkung die Masse des Wagens durch ein 300g-Gewicht vervierfacht?

Wie schnell wird er, wenn man den 100 Gramm trägen Wagen 4 Zentimeter auslenkt?