Aufgaben zu Schwingungen

Aufgaben

1 Schwebung

Zwei Stimmgabeln erzeugen eine Schwebung, weil die eine mit einem Reiter versehen wurde. Die Frequenz derjenigen ohne Reiter beträgt 440 Hz. Schätzen Sie die Frequenz der anderen Stimmgabel ab.

2 Überlagerung

Bestimmen Sie jeweils die Schwingung, die aus der Überlagerung von y₁ und y₂ entsteht mit Hilfe des Zeigerdiagramms:

1. [math]y_1 = 2cm \, sin(2t)\qquad y_2 = 4cm sin(2t+\pi)[/math]
2. [math]y_1 = 2cm \, sin(2t)\qquad y_2 = 4cm sin(2t+\pi/2)[/math]
3. [math]y_1 = 2cm \, sin(2t)\qquad y_2 = 2cm sin(2t+\pi)[/math]

3 Energie

Welche Energie hat eine schwingender Körper der Masse 1kg, wenn er eine Periodendauer von 1s und eine Amplitude von 1cm hat?

4 Energie

Wie muss ein Körper der Masse 1kg schwingen, damit die Schwingung 1J Energie hat?

5 Energie(y,D,m)

Wie verändert sich die in einer Federschwingung enthaltene Energiemenge, wenn

1. man die Amplitude verdoppelt?
2. man die Federhärte verdoppelt?
3. man die Masse verdoppelt?

und dabei jeweils die anderen Größen konstant hält.

6 Energie(f)

Zwei gleichschwere Körper schwingen mit der gleichen Amplitude, aber der eine doppelt so schnell wie der andere. Vergleichen sie die Energiemengen.

7 Schwingung bei bekannter Energie

Zwei Wagen, die beide eine Masse von 600g haben, sind mit einer Feder der Härte 1N/cm verbunden. Wie schwingen die Wagen, wenn ihnen eine Energie von 1Joule zugeführt wird?

8 Wasserstoffmolekül

Ein H₂-Molekül kann man idealisiert als zwei, mit einer Feder verbundene, Körper auffassen. Durch eine Messung regt man das Molekül zum Schwingen an und bestimmt die Frequenz der Schwingung zu 9,2 10¹¹ Hz.

Bestimmen sie die "Federkonstante" der gedachten Feder zwischen den Molekülen. Wieviel Energie steckt im Molekül, wenn beide Atome mit einer Amplitude von 10^-10m schwingen?

(Fehlende Angaben entnehmen sie dem Buch oder dem www.)

9 E_kin = E_Spann

Für welche Auslenkung verteilt sich die Energie eines (horizontalen) Federpendels gerade je zur Hälfte auf die Feder und den Impuls?

10 Zeitlicher Mittelwert von E_kin und E_Spann

Bestimmen sie das zeitliche Mittel der kinetischen und potentiellen Energie (Spannenergie der Feder) eines (horizontalen) Federpendels an einem selbst gewählten Beispiel. Hinweise:

[math]E_{kin}(t)=m/2 \, v(t)^2 \qquad E_{pot}=D/2 \, y(t)^2[/math]

Den Mittelwert einer Funktion f(x) von x₁ bis x₂ bestimmt man mit Hilfe des Integrals:

[math]\bar f = \frac{1}{x_2 - x_1} \int_{x_1}^{x_2}f(x) dx[/math]

Anschaulich bestimmt man zur Fläche zwischen Schaubild und x-Achse ein Rechteck gleicher Fläche. Die Höhe des Rechtecks ist gerade der Mittelwert.

Lösungen

1 Schwebung

Zwei Stimmgabeln erzeugen eine Schwebung, weil die eine mit einem Reiter versehen wurde. Die Frequenz derjenigen ohne Reiter beträgt 440 Hz. Schätzen Sie die Frequenz der anderen Stimmgabel ab.

Lösung:
Das Schätzen der Frequenz der anderen Stimmgabel wäre aüßerst schwierig, da die Frequenz wohl viel zu hoch wäre. Man kann aber die Frequenz der Schwebung abschätzen. In unserm Beispiel ergab dies etwa [math]1{,}2[/math]Hz. Da die Frequenz der zweiten Stimmgabel geringer seien wird, als die der anderen (der Reiter verlangsamt die Schwingung, indem er zusätzliche Masse einbringt) und die Frequenz der Schwebung gerade die Differenz der Frequenzen der beiden Stimmgabeln ist, ergibt sich:
[math]440Hz-xHz=1{,}2Hz\Rightarrow x=438{,}8[/math]
Die zweite Stimmgabel hat also etwa die Frequenz [math]438{,}8[/math]Hz.

2 Überlagerung

Bestimmen Sie jeweils die Schwingung, die aus der Überlagerung von y₁ und y₂ entsteht mit Hilfe des Zeigerdiagramms:

[math]y_1 = 2cm \, sin(2t)\qquad y_2 = 4cm sin(2t+\pi)[/math]

Überlegung:
Beide Schwingungen haben die selbe Frequenz (das [math]\omega[/math] beider Schwingungen ist 2)
Die zweite Schwingung ist um [math]\pi[/math] phasenverschoben, also genau gegenphasig.
Da die Schwingungen gegenphasig sind eleminieren sie sich gegenseitig, da die zweite Schwingung aber die doppelte Amplitude der ersten Schwingung hat, wird ein Ton mit der halben Amplitude der zweiten Schwingung, aber ohne Phasenverschiebung zu dieser hörbar sein.
Die mathematische Beschreibung einer solchen Schwingung wäre:
[math]y = 2cm sin(2t+\pi)[/math]

[math]y_1 = 2cm \, sin(2t)\qquad y_2 = 4cm sin(2t+\pi/2)[/math]

Überlegung

[math]y_1 = 2cm \, sin(2t)\qquad y_2 = 2cm sin(2t+\pi)[/math]

Überlegung
Da die Pfeile entgegengesetzt sind, ergibt die Amplitude 0. Daher gilt [math]y''=0[/math].

3 Energie

Welche Energie hat eine schwingender Körper der Masse 1kg, wenn er eine Periodendauer von 1s und eine Amplitude von 1cm hat?

Geg:

[math]m - 1kg[/math]

[math]T - 1s[/math]

[math]\hat y - 0,01m[/math]

Ges:

[math]E[/math]

Rechnung:

[math]E_{kin}=0.5*m*(\omega\hat y)^2[/math] ist unsere Formel für die kinetische Energie. Eine Angabe fehlt uns jedoch noch, daher:

[math]\omega = 2\pi *f[/math]

[math]\omega = 2\pi[/math]

[math]E_{kin}=0.5*(2\pi)^2*0.01^2[/math]

4 Energie

Wie muss ein Körper der Masse 1kg schwingen, damit die Schwingung 1J Energie hat?

5 Energie(y,D,m)

Wie verändert sich die in einer Federschwingung enthaltene Energiemenge, wenn

1. man die Amplitude verdoppelt?
2. man die Federhärte verdoppelt?
3. man die Masse verdoppelt?

und dabei jeweils die anderen Größen konstant hält.

6 Energie(f)

Zwei gleichschwere Körper schwingen mit der gleichen Amplitude, aber der eine doppelt so schnell wie der andere. Vergleichen sie die Energiemengen.

7 Schwingung bei bekannter Energie

Zwei Wagen, die beide eine Masse von 600g haben, sind mit einer Feder der Härte 1N/cm verbunden. Wie schwingen die Wagen, wenn ihnen eine Energie von 1Joule zugeführt wird?

[math]Geg:[/math]       [math]m=0.6kg[/math]     [math]D=100[/math][math]N\over m[/math]     [math]E=1J[/math]

Die Charakteristik einer Schingung definieren wir als Angabe von der Frequenz [math]f[/math] und der Amplitude [math]\hat y[/math].
Es wird mit der doppelten Federstärke [math]D[/math] gerechnet, da wir denn Fall auf nur einen Wagen idealisieren (Stille Annahme: Symmetrie der Bewegung).
Zunächst widmen wir uns der Frequenz [math]f[/math]:

[math]f=[/math][math]{\omega}\over 2\pi[/math][math]=[/math][math]\sqrt {2D \over m}\over 2\pi[/math][math]=[/math][math]\sqrt {{200 {N\over m}} \over 0.6kg}\over 2\pi[/math][math]=[/math][math]2.91Hz[/math]

Nun zur Amplitude [math]\hat y[/math]:

[math]E_{pot}=[/math][math]2\left({2D\over 2}{\hat y}^2\right)[/math]

[math]\hat y=[/math][math]\sqrt {E\over 2D}[/math][math]=[/math][math]\sqrt {1Jm\over {200N}}[/math][math]=[/math][math]{0.1\over{\sqrt 2}}m[/math][math]=[/math][math]0.07m[/math]   (für einen einzelnen Wagen; das Gesamtsystem hat jedoch 2[math]\hat y[/math])

8 Wasserstoffmolekül

Ein H₂-Molekül kann man idealisiert als zwei, mit einer Feder verbundene, Körper auffassen. Durch eine Messung regt man das Molekül zum Schwingen an und bestimmt die Frequenz der Schwingung zu 9,2 10¹¹ Hz.

Bestimmen sie die "Federkonstante" der gedachten Feder zwischen den Molekülen. Wieviel Energie steckt im Molekül, wenn beide Atome mit einer Amplitude von 10^-10m schwingen?

Man betrachte erst die Hälfte des Versuchsaufbau.

geg: T=1/(9,2*10^11) s m=(2/(6*10^23)*0,001)kg s=10^-10

Formel: D=m/((T/2PI)^2)

=>D=0,05599

E=D/2*ý^2

9 E_kin = E_Spann

Für welche Auslenkung verteilt sich die Energie eines (horizontalen) Federpendels gerade je zur Hälfte auf die Feder und den Impuls?

Es wird gefragt für welche Auslenkung die Energie gleichermaßen in dem Impuls als auch in der Feder ist. Also wann die kinetische Energie gerade gleich der potentiellen bzw.der Spannenergie ist.

D.h.:

[math]E_{kin}=E_{spann}[/math]

also:

[math]m/2*v^2=D/2*s^2[/math]

nach s aufgelöst:

[math]s=\sqrt{D/m}*v[/math]

10 Zeitlicher Mittelwert von E_kin und E_Spann

Bestimmen sie das zeitliche Mittel der kinetischen und potentiellen Energie (Spannenergie der Feder) eines (horizontalen) Federpendels an einem selbst gewählten Beispiel.