Aufgaben zu Wellen

Aufgaben

Grundlagen

• 1) Was sind die typischen Eigenschaften einer Welle?

• 2) Erklären Sie die folgenden Begriffe anhand einer La Ola Welle in einem Stadion:
  • Transversal/Longitudinalwelle
  • Phasengeschwindigkeit
  • Wellenzug/lineare Welle
  • Amplitude
  • Frequenz
  • Wellenlänge

• 3) Geben Sie Beispiele für Longitudinal- und Transversalwellen an und erklären Sie den Unterschied.

• 4) Machen Sie anhand der La Ola Welle in einem Stadion klar, dass die Ausbreitungsgeschwindigkeit von der Kopplungsstärke der Schwinger, aber nicht von der Frequenz oder der Amplitude abhängt.

• 5) Warum sind Longitudinalwellen in der Regel schneller als Transversalwellen?

• 7) Wie kommt es dazu, dass bei einem Erbeben nach der ersten Erschütterungswelle noch eine zweite hinterherkommt?

• 8) Geben Sie je ein Beispiel für eine Kugel- und eine Kreiswelle an.

• 9) a) Warum nimmt bei einer Kugelwelle die Intensität proportional zum Quadrat des Abstands ab und bei einer Kreiswelle nur proportional zum Abstand?

b) Eine Kugelwelle wird von einer Schwingung erzeugt, in die ein Energiestrom der Stärke zwei Watt hineinfließt. Wie groß ist die Intensität in einem Abstand von einem und von zwei Metern?

• 10) Geben Sie Beipsiele für Wellen an, die näherungsweise Zylinder- oder ebene Wellen sind. (Wieso nur näherungsweise?)

• 11) Wie unterscheiden sich Oberflächenwellen und Schwerewellen bei Wasserwellen?

• 12) Wie hängen Erregerfrequenz, Phasengeschwindigkeit und Wellenlänge zusammen?

• 13) Wie groß sind die Wellenlängen der Schallwellen innerhalb des menschlichen Hörbereichs? (Wie verändern sich die Wellenlängen für Schallwellen im Wasser?)

Zeigermodell / Wellengleichung

• 1) Nachdem eine Schwingung innerhalb von 3 Sekunden 6 ganze Schwingungen ausgeführt hat, hat sich diese Störung um 1,8 m ausgebreitet.

a) Bestimmen Sie Frequenz, Wellenlänge und Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle.

b) Wie groß ist der Phasenunterschied zweier Schwingungen im Abstand von 3m und 33m?

• 2) Bei einer Pendelkette sind mehrere Pendel in einem Abstand von 10 cm miteinander gekoppelt.

Wird ein Pendel angeregt, so folgen die Nachbarn 0,5 s später mit einer Phasenverschiebung von [math]\pi / 16[/math]. Bestimmen Sie die Ausbreitungsgeschwindigkeit, Wellenlänge und Frequenz der Welle.

• 3) Stellen Sie die Wellengleichung von Aufgabe 1) und 2) auf.

• 4) Eine Transversalwelle hat die Wellenfunktion [math]y(x,t)= 2cm \, \sin(2t -5x)[/math].

a) Zeichnen Sie die Welle zum Zeitpunkt t=0, also zu Beginn der Zeitrechnung, und 0,32 Sekunden später in ein Koordinatensystem. (Mit dem GTR ist das ganz einfach!)

b) Bestimmen Sie Amplitude, Frequenz und Wellenlänge.

Reflektion

• 1) Wie wird ein Wellenberg am festen und wie am losen Ende reflektiert? Geben Sie jeweils ein reales Beispiel für eine solche Situation an.

Interferenz

Zwei Lautsprecher

• 1) Woran kann man im Alltag erkennen, dass sich Wellen störungsfrei überlagern?

• 2) Beschreiben Sie den Versuch mit den zwei Lautsprechern, die an einem Sinusgenerator angeschlossen sind.

• 3) Die beiden Lautsprecher sind 1,5 m voneinander entfernt und schwingen in Phase mit einer Frequenz von 858 Hz.

a) Bestimmen Sie die Lautstärke an den Punkten A und B mit Hilfe eines Zeigerdiagramms. Vernachlässigen Sie dabei die Abnahme der Schallintensität durch den größeren Abstand vom Lautsprecher und der Dämpfung.

b) Suchen Sie zwei Stellen zwischen den Lautsprechern, bei denen der Ton besonders leise bzw. besonders laut ist.

c) Wie verändert sich qualitativ die Situation in den Punkten A und B, wenn man die Änderung der Schallintensität nicht vernachlässigt?

d) Bestimmen Sie die exakte Schwingungsgleichung für die Punkte A und B, wenn beide Lautsprecher mit einem Watt senden.

Beugung

Blick auf einen kleinen Hafen

• 1) Erklären Sie an einem Alltagsphänomen die Beugung von Wellen.
• 2) Warum haben Stereoanlagen zwei Boxen aber nur einen "Subwoofer"?
• 3) Hinter einer Lärmschutzwand ist der Verkehrslärm auch ohne Sichtkontakt zur Strasse noch zu hören. Der Verkehr klingt dumpfer als beim direkten Hinhören. Erklären Sie die Beobachtungen.
• 4) Erklären Sie das Foto der Wellen an einem Hafen.

Brechung

• 1) Nennen Sie ein Alltagsphänomen, bei dem Brechung auftritt.
• 2) Erklären Sie das Phänomen der Brechung mit Hilfe des Huygenschen Prinzips.

a) Zeichnen Sie den Übergang einer Welle von einem Medium in ein anderes mit nur halber Ausbreitungsgeschwindigkeit bei einem Einfallswinkel von 60°.

b) Leiten Sie das Brechungsgesetz her.

Stehende Wellen

Die Pfeife im Querschnitt

• 1) Bestimmen Sie die Höhe des Grundtones und des ersten Obertones der Orgelpfeife im offenen und gedackten Fall.

Lösungen

Grundlagen

• 1) Eine mechanische Welle transportiert Energie und Impuls ohne einen Massetransport.

Eine Welle entsteht durch eine Schwingung, die mit anderen Schwingern gekoppelt ist und sich so ausbreiten kann.

• 5) Die Ausbreitungsgeschwindigkeit hängt von der Kopplungststärke zwischen den Schwingern ab. Je größer die Kopplung, desto schneller reagiert die Nachbarschwingung. Bei Transversalwellen sind die Schwinger durch Scherkräfte gekoppelt, die in der Regel wesentlich kleiner sind als die bei Longitudinalwellen auftretenden Druck- und Zugkräfte.

• 10) Ein Lautsprecher mit einer sehr großen Membran erzeugt in nicht allzu großer Entfernung eine ebene Welle, denn die Bereiche mit hohem und niedrigem Druck bilden annähernd eine flache Ebene. Von größerer Entfernung betrachtet sendet der Lautsprecher Kugelwellen aus.

Um Zylinderwellen zu erzeugen benötigt man einen möglichst langen und dünnen Gegenstand, der Wellen auslöst, dies könnte die Explosion in einem langen Bohrloch sein. Bei größerem Abstand wiederum erscheint die Welle eher als Kugelwelle.

• 11) Reine Oberflächenwellen entstehen aufgrund der Oberflächenspannung des Wassers, wobei die Wasserteilchen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung schwingen und nur kleine Amplituden erreicht werden können.

Bei Schwerewellen spielt die Gravitation die wesentliche Rolle für die Kopplung. Die Wasserteilchen schwingen nicht senkrecht zur Ausbreitungsrichtung, sondern sie beschreiben kleinere und größere Kreise. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit hängt mit der Wassertiefe zusammen: Je tiefer, desto schneller.

In vielen Fällen tritt eine Mischform der Wellentypen auf.

• 12) Es gilt: [math]c= \lambda \, f[/math]

• 13) Für die Wellenlänge gilt: [math]\lambda=\frac{c}{f}[/math]. Bei einer größeren Phasengeschwindigkeit im Wasser (die Kopplungskräfte sind größer!) wird die Wellenlänge des Schalls also größer.

Zeigermodell / Wellengleichung

• 1)
• 2)Ausbreitungsgeschwindigkeit: [math]\frac{10}{0{,}5}\frac{cm}{s}=0{,}2\frac{m}{s}[/math]

Wellenlänge: [math]Abstand * \frac{2\pi}{Phasenverschiebung}\Rightarrow 10cm* \frac{2\pi}{\lambda \left[\frac{\pi}{16}\left[=\frac{2\pi}{32}\right]\right]}=3{,}2m[/math]

Frequenz: [math]\frac{Ausbreitungsgeschwindigkeit}{Wellenlaenge}\Rightarrow \frac{0{,}2\frac{m}{s}}{3{,}2m}=\frac{1}{16}\frac{1}{s}[/math]

• 3)Allgemeine Formel: [math]y(x,t)=\hat y\sin\left(2\pi \left(\frac{t}{T}-\frac{x}{\lambda}\right)\right)[/math]

zu 2): [math]y(x,t)=\hat y\sin\left(2\pi \left(\frac{t}{16}-\frac{x}{3{,}2m}\right)\right)[/math]

Interferenz

• 1) Woran kann man im Alltag erkennen, dass sich Wellen störungsfrei überlagern?

Mehrere Leute können sich miteinander im gleichen Raum unterhalten. Die Schallwellen stören sich nicht.

Die Kreiswellen von Regentropfen überlagern sich ungestört.

• 3) Zwei Lautsprecher

Zunächst kann man aus der Schallgeschwindigkeit die Wellenlänge berechnen.

[math]c=\lambda \, f \Rightarrow \lambda = \frac{c}{f} = \frac{344 m/s}{858 Hz} = 0,4 m [/math]

a) Man kann vom Gangunterschied auf die Phasendifferenz der Schwingungen schließen.

Bei B ist der Gangunterschied Null, die Schwingungen sind in Phase. Die Interferenz ist konstruktiv und dort ist ein lauter Ton zu hören.

Bei A beträgt der Gangunterschied [math]1m=2,5\lambda[/math]. Demnach eilt die vom rechten Lautsprecher ausgelöste Schwingung der vom linken ausgelösten um [math]\pi[/math] voraus, die Schwingungen sind gegenphasig. Die Interferenz ist destruktiv. Vernachlässigt man die Amplitudenabnahme, so sind beide gleich groß und man hört bei B nichts.

b) Zwischen den Lautsprechern befindet sich eine stehende Welle. (Vgl. Lautsprecherversuch) In der Mitte zwischen den Lautsprechern ist ein Bauch. Dort ist ein lauter Ton zuhören. Die Abstände zwischen den Bäuchen beträgt eine halbe Wellenlänge, das sind 20cm. Zwischen zwei Bäuchen liegen Knoten. Dort hört man den Ton (fast) nicht.

c) Bei B verändert sich durch die Berücksichtigung der Amplitudenabnahme nicht so viel. Im Zeigerdiagramm sind beide Pfeile kürzer, was zu einer geringeren Lautstärke führt.

Bei A hingegen ist nun im Diagramm der grüne Pfeil kürzer als der rote. Die Überlagerung ist nicht mehr Null und man kann nun hier einen leisen Ton hören!

d) Zur Bestimmung der Schwingungsgleichung muss man die Phase, also den Winkel der Zeiger, und die Amplitude, also die Länge der Zeiger, bestimmen.

Von der Entfernung zum Lautsprecher kann man auf die Phase der Schwingung schließen.

Man kann annehmen, dass zum Zeitpunkt t=0s die Lautsprecher gerade keine Phase haben, die Zeiger nach rechts zeigen.

Man rechnet die Entfernungen in Wellenlängen um:

[math]1m=2,5\lambda[/math]

[math]2m=5\lambda[/math]

[math]3m=7,5\lambda[/math]

Daraus ergeben sich die bereits eingezeichneten Zeigerpositionen.

Zur Bestimmung der Amplituden berechnet man zunächst die Intensität bei A und B. Die Energie breitet sich kugelförmig aus, die Intensität (Energie pro Fläche und Zeit) nimmt dabei ab.

[math]I_{A_{rot}}=\frac{P}{A}=\frac{1W}{4\pi (2m)^2} = 0,01989 \frac{W}{m^2}[/math]

[math]I_{A_{gruen}}=\frac{P}{A}=\frac{1W}{4\pi (3m)^2} = 0,008842 \frac{W}{m^2}[/math]

[math]I_{B}=\frac{P}{A}=\frac{1W}{4\pi (1m)^2} = 0,07958 \frac{W}{m^2}[/math]

Die Intensität hängt mit der Luftdichte, der Schallgeschwindigkeit, der Frequenz und der Amplitude zusammen. (Vgl. Intensität einer Welle) Man kann nach der Amplitude auflösen.

[math]I = \frac{\rho}{2} \omega^2 \hat y^2 \, c[/math]

[math]\hat y = \sqrt{\frac{2 \, I}{\rho c \omega^2}}[/math]

[math]\hat y_{A_{rot}}= \sqrt{\frac{2 \cdot 0,01989 \frac{W}{m^2}}{1,2 \frac{kg}{m^3} \, 344\frac{m}{s} (2\pi \, 858 Hz)^2}} = 1,8 \, 10^{-6}m =1,8 \, 10^{-3}mm[/math]

[math]\hat y_{A_{gruen}} = 1,2 \, 10^{-6}m[/math]

[math]\hat y_{B} = 3,6 \, 10^{-6}m[/math]

Die Luftmoleküle schwingen nach dieser Theorie also mit einer Amplitude von etwa drei Tausendstel Millimetern!

Die Ergebnisse muss man jetzt nur noch in die Wellengleichung [math]y(x,t) = \hat y \, \sin(\omega t - \frac{2 \pi}{\lambda} x)[/math] einsetzen.

Beugung

• Erklären Sie an einem Alltagsphänomen die Beugung von Wellen.

Brechung

• Nennen Sie ein Alltagsphänomen, bei dem Brechung auftritt.
• Erklären Sie das Phänomen der Brechung mit Hilfe des Huygenschen Prinzips.

Stehende Wellen

• Bestimmen Sie die Höhe des Grundtones und des ersten Obertones der Orgelpfeife im offenen und gedackten Fall.