Beschreibung einer harmonischen Schwingung mit der Zeigerdarstellung: Unterschied zwischen den Versionen

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==Herleitung der Bewegungsgesetze==
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==Herleitung des Ortsgesetzes==
 
===Zusammenhang zwischen Winkelgeschwindigkeit, Frequenz und Periodendauer===
 
===Zusammenhang zwischen Winkelgeschwindigkeit, Frequenz und Periodendauer===
  
 
Wie bei allen Kreisbewegungen und Schwingungen gilt:
 
Wie bei allen Kreisbewegungen und Schwingungen gilt:
  
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  <math>\omega = 2\pi f</math> und  <math>T=\frac{1}{f}</math>
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===Das Orts-Gesetz===
 
===Das Orts-Gesetz===
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  <math>y = \hat y \sin (\omega t)</math>
 
  <math>y = \hat y \sin (\omega t)</math>
  
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===Berechnung des Geschwindigkeitsgesetzes===
 
  
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Die Geschwindigkeit ist die zeitliche Änderungsrate des Ortes, also muss man nach der Zeit ableiten. Dabei muss man die Kettenregel beachten.
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====Beispiel: Federpendel====
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<math>v(t)=\dot s (t) = (\hat y sin(\omega t)\dot) = \hat y cos(\omega t) \omega</math>  (Wiederholung: [f(g(t))]'= f'(g(t)) g'(t) )
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<math> v(t) = \hat y \omega cos(\omega t) = \hat v cos(\omega t)\qquad \qquad \hat v = \hat y \omega </math> ist die maximale Geschwindigkeit.
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===Berechnung des Beschleunigungsgesetzes===
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Um die Beschleunigung zu erhalten, muss man die Geschwindigkeit erneut ableiten.
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<math>a=\dot v = \dot{\hat y \omega cos(\omega t)} = \hat y \omega (-sin(\omega t)) \omega</math>
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<math>a(t)=-\hat y \omega^2 sin(\omega t) = \hat a sin(\omega*t)\qquad \qquad \hat a = -\hat y \omega ^2 </math> ist die maximale Beschleunigung.
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==Folgerungen aus den Bewegungsgesetzen==
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===Impuls===
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Der Impuls hängt direkt mit der Geschwindigkeit über  <math>p=m \, v</math> zusammen:
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<math>p(t)=m \, \hat y\, \omega \ cos(\omega\, t) \qquad \qquad \hat p = m\, \hat y \,\omega</math> ist der maximale Impuls.
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===Kraft===
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Die Beschleunigung hängt direkt mit der wirkenden Kraft über <math>F=m\ a</math> zusammen, daher folgt:
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<math>F(t)=-m\, \hat y\, \omega^2 \ sin(\omega\, t) = \hat F \sin(\omega\, t)\qquad \qquad \hat F = -m\, \hat y \,\omega ^2</math> ist die maximale Kraft.
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Ausserdem folgt aus der sinusförmigen Bewegung auch der lineare Zusammenhang <math>F=-D\,y</math> von Kraft und Auslenkung, wie bei einer Feder. (Siehe [[Die harmonische Schwingung#Von der Sinusförmigkeit auf den linearen Kraftverlauf|hier]].)
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===Frequenz===
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Die maximal wirkende Rückstellkraft läßt sich auf zwei Arten berechnen. Einmal über die maximale Beschleunigung <math>-\hat y \,\omega^2 </math> und einmal über die maximale Auslenkung <math>\hat y</math>:
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:<math>\hat F = m \,\hat a = -D\,\hat y</math>
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<math>\Rightarrow -m\, \hat y \,\omega^2 = -D \,\hat y </math>.        Teilt man nun noch durch die Amplitude <math>\hat y</math> und die Masse <math>m</math>, so folgt:
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<math>\omega^2= \frac{D}{m}</math>  oder  <math>\omega= \sqrt{\frac{D}{m}}</math>  ;  <math> f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{D}{m}}</math>  ;  <math> T =  2\pi \sqrt{\frac{m}{D}}</math>  Frequenz einer harmonischen Schwingung, sie hängt nicht von der Amplitude ab.
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Die Schwingungsdauer, bzw Frequenz folgt aus der Kreisfrequenz mit:
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<math> \omega=2\,\pi\, f </math> und <math> T = \frac{1}{f}</math>
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==Beispiel: Federpendel==
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[[Bild:Federpendel_paint.JPG|thumb|none|Das Federpendel  benöigt für 10 Schwingungen 12s bei einer Amplitude von 9cm.]]
 
[[Bild:Federpendel_paint.JPG|thumb|none|Das Federpendel  benöigt für 10 Schwingungen 12s bei einer Amplitude von 9cm.]]
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<math>T=1{,}2 sec \qquad f=\frac{1}{1,2 sec}\approx 0,8 Hz \qquad \omega=\left( \frac {2*\pi}{1{,}2 sec} \right) \approx 5,2 Hz</math>
  
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<math>y(t)=9cm \cdot sin( 5,2 Hz \cdot t)</math>
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<math>T=1{,}2</math>
 
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<math>\omega=\left( \frac {2*\pi}{1{,}2} \right)</math>
 
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<math>s(t)=9cm*sin(\left( \frac {2*\pi}{1{,}2s} \right)*t</math>
 
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<math>v(t)=9cm*\left( \frac {2*\pi}{1{,}2s} \right)*cos(\left( \frac {2*\pi}{1{,}2s} \right)*t)</math>
 
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<math>\hat v = 9cm*\left( \frac {2*\pi}{1{,}2s} \right)= 47\frac{cm}{s}</math>
 
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==Aufgaben==
 
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Zu 108.2
 
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<math>\omega</math>: Winkelgeschwindigkeit <math>f</math>: Umläufe pro Zeit
 
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z.B.:
 
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<math>f = 2Hz</math>
 
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<math>w = 2*\pi*\left( \frac{1}{s} \right)= 4*\pi*\left( \frac{1}{s} \right)</math>
 
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<math>\Rightarrow \omega=2*\pi*f</math> und weil <math> f=\left( \frac{1}{T} \right)</math>
 
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<math>    \omega=\left( \frac{2*\pi}{T} \right)</math>
 
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Zu 108.3
 
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<math>    \phi_0 </math>:  Phasenverschiebung
 
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<math>    \phi_0 = 0^\circ </math>:  Schwingung in Phase
 
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<math>    \phi_0 = \pi \, (180^\circ\!) </math>: gegenphasig
 
  
 
==Links==
 
==Links==

Version vom 14. November 2011, 14:54 Uhr

Ausgehend von experimentellen Beobachtungen stellt man ein mathematisches Modell auf, mit dem man die Bewegung einer Schwingung beschreiben kann. Ob dieses sogenannte Zeigermodell für eine Schwingung zutrifft, kann man wiederum nur experimentell untersuchen.

Das Vorgehen ist also deduktiv, ein Modell wird im Experiment überprüft.

Alle Schwingungen, die sich mit dem Zeigermodell beschreiben lassen, heißen harmonische Schwingungen.


Versuch: Ein Sandpendel

Aufbau:

Versuchsaufbau des Sandpendels (1)

Siehe Bild 1

Beobachtung:

Versuchsergebnis des Sandpendels(2)

Es entsteht eine Wellenlinie. (Siehe Bild 2)

Erklärung

Diese Wellenlinie ist gerade das Zeit-Ort Diagramm einer Schwingung, denn sie gibt an wann der Körper wo ist. Die Ortsfunktion scheint eine Sinusfunktion zu sein, an der man die Amplitude und die Periode ablesen kann.

Versuch: Projektion der Kreisbewegung

Aufbau:

Versuchsaufbau Projektion der Kreisbewegung(3)


Variation der Drehgeschwindigkeit oder Variation der Schwingung durch Veränderung der Masse und Feder. Die Veränderung der Schwingung ist exakter durchführbar!

Beobachtung:

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Erklärung

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Die Zeigerdarstellung

Ausgehend von dem Ergebnis des Projektionsversuchs, beschreibt man eine harmonische Schwingung durch einen drehenden Zeiger.

  • Die Projektion des Zeigers auf die y-Achse ist die Elongation des schwingenden Körpers.
  • Der Zeiger dreht sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit gegen den Uhrzeigersinn.
  • Die Länge des Zeigers entspricht der Amplitude der Schwingung. (Nur bei einer idealisierten ungedämpften Schwingung ohne Reibung ist also die Zeigerlänge konstant.)

Mit Hilfe des Applets läßt sich das gut nachvollziehen. Das folgende Bild ist damit gemacht.

Die Zeigerdarstellung

Herleitung des Ortsgesetzes

Zusammenhang zwischen Winkelgeschwindigkeit, Frequenz und Periodendauer

Wie bei allen Kreisbewegungen und Schwingungen gilt: 

[math]\omega = 2\pi f[/math] und  [math]f=\frac{1}{T}[/math]

Das Orts-Gesetz

Der Ort des Körpers ist gerade die y-Koordinate der Zeigerspitze. Hat sich der Zeiger um den Winkel [math]\alpha[/math] gedreht, so gilt:

[math]\sin \alpha = \frac{y}{\hat y} \qquad \Leftrightarrow \qquad y = \hat y \sin \alpha [/math] Der Zeiger bewegt sich mit der Winkelgeschwindigkeit [math]\omega[/math], es gilt also [math]\alpha = \omega t[/math] und damit erhält man: 

[math]y = \hat y \sin (\omega t)[/math]


Beispiel: Federpendel

Das Federpendel benöigt für 10 Schwingungen 12s bei einer Amplitude von 9cm.

[math]T=1{,}2 sec \qquad f=\frac{1}{1,2 sec}\approx 0,8 Hz \qquad \omega=\left( \frac {2*\pi}{1{,}2 sec} \right) \approx 5,2 Hz[/math]

[math]y(t)=9cm \cdot sin( 5,2 Hz \cdot t)[/math]


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