Das Potential eines Feldes: Unterschied zwischen den Versionen
(→Links) |
|||
| Zeile 23: | Zeile 23: | ||
==Das Potential eines Feldes== | ==Das Potential eines Feldes== | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
In Feldern wird [[Feldenergie|Energie]] gespeichert. Wieviel Energie sich im Feld befindet, hängt unter anderem von der Ladung und dem Ort der Gegenstände ab. Häufig befindet sich ein "kleiner" Gegenstand in einem Feld eines "großen". Z.B. Mond und Erde oder Erde und Sonne oder Satellit und Erde. Ein Elektron kann sich in einem elektrischen Feld befinden. Nun fragt man sich: | In Feldern wird [[Feldenergie|Energie]] gespeichert. Wieviel Energie sich im Feld befindet, hängt unter anderem von der Ladung und dem Ort der Gegenstände ab. Häufig befindet sich ein "kleiner" Gegenstand in einem Feld eines "großen". Z.B. Mond und Erde oder Erde und Sonne oder Satellit und Erde. Ein Elektron kann sich in einem elektrischen Feld befinden. Nun fragt man sich: | ||
| Zeile 35: | Zeile 34: | ||
:<math>\varphi_E = \frac{E_{pot}}{Q}</math> | :<math>\varphi_E = \frac{E_{pot}}{Q}</math> | ||
:<math>\varphi_H = \frac{E_{pot}}{Q_m}</math> | :<math>\varphi_H = \frac{E_{pot}}{Q_m}</math> | ||
| + | |||
| + | <!-- Irgendwie einfacher Hinführen. ZB F-s-Diagramm und Epot-s-Diagramm und dann alles normieren | ||
| + | Ebenso einfach die Gleichungen durch m teilen. --> | ||
===Die potentielle Energie bei konstanter Feldstärke=== | ===Die potentielle Energie bei konstanter Feldstärke=== | ||
| + | [[Image:Mechanik_sF_Diagramm.jpg|thumb]] | ||
In der Nähe der Erdoberfläche ist die Stärke des Schwerefeldes ungefähr konstant. | In der Nähe der Erdoberfläche ist die Stärke des Schwerefeldes ungefähr konstant. | ||
:<math>F_G= m\, g</math> | :<math>F_G= m\, g</math> | ||
| Zeile 45: | Zeile 48: | ||
Für die Energiemenge eines Gegenstandes der Masse m, der sich in der Höhe h über einem festgelegten Nullniveau befindet, gilt: | Für die Energiemenge eines Gegenstandes der Masse m, der sich in der Höhe h über einem festgelegten Nullniveau befindet, gilt: | ||
:<math>E_{pot}=F_G\, h = m\, g\, h</math> | :<math>E_{pot}=F_G\, h = m\, g\, h</math> | ||
| − | |||
| + | ====Definition des Potentials==== | ||
| + | Je mehr Masse der Gegenstand hat, desto mehr Energie steckt also im Feld und desto größer ist die Anziehungskraft. Die Energie und die Kraft sind sogar proportional zur Masse. | ||
| + | |||
| + | Deshalb kann man die Kraft und die potentielle Energie auf ein kg normieren: | ||
| + | |||
| + | Die auf ein kg normierte Kraft kennen wir schon, es ist die Feldstärke oder der Ortsfaktor: | ||
| + | :<math>g=\frac{F}{m}</math> | ||
| + | Die auf ein kg normierte potentielle Energie heißt "Potential". | ||
| + | Das Potential des Schwerefeldes beschreibt, wieviel potentielle Energie ein Gegenstand an einem Ort pro kg Masse hat: | ||
| + | :<math>\varphi_g=\frac{E_{pot}}{m} \quad [\varphi_g]=\rm \frac{J}{kg}\qquad \Leftrightarrow \quad E_{pot} = m\, \varphi_g</math> | ||
| + | |||
| + | ====Zusammenhang zwischen Potential und Feldstärke==== | ||
Die wirkende Kraft beschreibt die Änderung der potentiellen Energie mit der Höhe. So besagt eine Gewichtskraft von 20 N, dass man bei einem Höhenunterschied von 1m eine Energiemenge von 20J bekommt oder aufwenden muss: | Die wirkende Kraft beschreibt die Änderung der potentiellen Energie mit der Höhe. So besagt eine Gewichtskraft von 20 N, dass man bei einem Höhenunterschied von 1m eine Energiemenge von 20J bekommt oder aufwenden muss: | ||
| − | :<math> | + | :<math>F_g = \frac{E_{pot}}{h}</math> |
| + | |||
| + | Dementsprechend beschreibt die Feldstärke die Änderung des Potentials mit der Höhe. So besagt eine Feldstärke von 9,81 J/kg, dass sich das Potential pro Meter um 9,81 J/kg verändert oder dass man pro Meter und pro kg eine Energiemenge von 9,81 J benötigt oder bekommt. | ||
| + | :<math>g = \frac{\varphi_g}{h}</math> | ||
| + | |||
| + | ====Verallgemeinerung auf alle Felder==== | ||
| + | Diese überlegungen kann man auch für eine elektrisch geladenen Gegenstand oder für einen Magnetpol anstellen. | ||
| + | |||
Ebenso eine geladene Kugel in einem Kondensator: | Ebenso eine geladene Kugel in einem Kondensator: | ||
| Zeile 58: | Zeile 79: | ||
===Die potentielle Energie bei veränderlicher Feldstärke=== | ===Die potentielle Energie bei veränderlicher Feldstärke=== | ||
| − | + | [[Datei:Vulkan_Landkarte_und_Konturen.png|thumb|Ein Vulkan]] | |
| + | [[Datei:Höhenlinien.png|thumb|Schematische Dartsellung der Höhenlinien]][[Datei:Felder_Potentialgebirge_Feldstärke.png|thumb|Feldflächen, Potential und Feldstärke eines Zentralfeldes]] | ||
Statt <math>E = F\ s</math> nun das Integral im Kraft-Wegdiagramm: | Statt <math>E = F\ s</math> nun das Integral im Kraft-Wegdiagramm: | ||
:<math>E = \int F(s)\, ds</math> | :<math>E = \int F(s)\, ds</math> | ||
| Zeile 67: | Zeile 89: | ||
:<math>E_{pot}=\int_R^h F(h) \, dh = \int_R^h G\, \frac{m}{h^2} \, dh</math> | :<math>E_{pot}=\int_R^h F(h) \, dh = \int_R^h G\, \frac{m}{h^2} \, dh</math> | ||
:<math>=- G\, m \, [\frac{1}{h}]_R^h = - G\, m \, [\frac{1}{h}-\frac{1}{R}]</math> | :<math>=- G\, m \, [\frac{1}{h}]_R^h = - G\, m \, [\frac{1}{h}-\frac{1}{R}]</math> | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
[[Image:Mechanik_sF_Diagramm_Feder.jpg|thumb]] | [[Image:Mechanik_sF_Diagramm_Feder.jpg|thumb]] | ||
| − | |||
[[Image:Mechanik_sF_Diagramm_variabel.jpg|thumb]] | [[Image:Mechanik_sF_Diagramm_variabel.jpg|thumb]] | ||
| − | |||
| − | |||
==Links== | ==Links== | ||
Version vom 10. Mai 2012, 22:01 Uhr
Inhaltsverzeichnis
Beispiele und Versuche
Ein Satellit wurde in eine Umlaufbahn gebracht.
Die Batterie ist eine "Elektronenpumpe".
Eine Kugel rollt in einem "Trichter".
Ein geladenes Kügelchen in einem Kondensator.
Der Potentialtrichter
Beobachtungen und Vergleiche mit Planeten / Satelliten.
Steilheit und Kraftwirkung? Je steiler, desto größer die Kraft.
Energiemenge der Kugeln? Je höher, desto mehr potentielle Energie. Je mehr Masse, desto mehr Energie. Umwandlung in kinetische Energie und zurück. Gleiches Niveau der potentiellen Energie auf einer "Höhenlinie", bei gleicher Masse.
- Ein Oszilloskop?
- Beschleunigen eines e- in einem E-Feld?
Das Potential eines Feldes
In Feldern wird Energie gespeichert. Wieviel Energie sich im Feld befindet, hängt unter anderem von der Ladung und dem Ort der Gegenstände ab. Häufig befindet sich ein "kleiner" Gegenstand in einem Feld eines "großen". Z.B. Mond und Erde oder Erde und Sonne oder Satellit und Erde. Ein Elektron kann sich in einem elektrischen Feld befinden. Nun fragt man sich:
- Wie ändert sich die Energie mit der Ladung des Probekörpers?
- Wie ändert sich die Energiemenge mit dem Ort des Probekörpers?
Potential ist die "normierte" Energiemenge also die Energie pro kg oder pro Coulomb oder pro Weber.
- [math]\varphi_g = \frac{E_{pot}}{m}[/math]
- [math]\varphi_E = \frac{E_{pot}}{Q}[/math]
- [math]\varphi_H = \frac{E_{pot}}{Q_m}[/math]
Die potentielle Energie bei konstanter Feldstärke
In der Nähe der Erdoberfläche ist die Stärke des Schwerefeldes ungefähr konstant.
- [math]F_G= m\, g[/math]
Hebt man einen Gegenstand hoch, so wirkt währenddessen die Gewichtskraft entgegen der Bewegungsrichtung und daher muss dafür Energie aufgewendet werden. Diese Energie steckt dann im Schwerefeld. (Vgl. Energieübertragung mit einer Kraft)
Fällt ein Gegenstand, so geht die Energie des Feldes in den bewegten Gegenstand.
Für die Energiemenge eines Gegenstandes der Masse m, der sich in der Höhe h über einem festgelegten Nullniveau befindet, gilt:
- [math]E_{pot}=F_G\, h = m\, g\, h[/math]
Definition des Potentials
Je mehr Masse der Gegenstand hat, desto mehr Energie steckt also im Feld und desto größer ist die Anziehungskraft. Die Energie und die Kraft sind sogar proportional zur Masse.
Deshalb kann man die Kraft und die potentielle Energie auf ein kg normieren:
Die auf ein kg normierte Kraft kennen wir schon, es ist die Feldstärke oder der Ortsfaktor:
- [math]g=\frac{F}{m}[/math]
Die auf ein kg normierte potentielle Energie heißt "Potential". Das Potential des Schwerefeldes beschreibt, wieviel potentielle Energie ein Gegenstand an einem Ort pro kg Masse hat:
- [math]\varphi_g=\frac{E_{pot}}{m} \quad [\varphi_g]=\rm \frac{J}{kg}\qquad \Leftrightarrow \quad E_{pot} = m\, \varphi_g[/math]
Zusammenhang zwischen Potential und Feldstärke
Die wirkende Kraft beschreibt die Änderung der potentiellen Energie mit der Höhe. So besagt eine Gewichtskraft von 20 N, dass man bei einem Höhenunterschied von 1m eine Energiemenge von 20J bekommt oder aufwenden muss:
- [math]F_g = \frac{E_{pot}}{h}[/math]
Dementsprechend beschreibt die Feldstärke die Änderung des Potentials mit der Höhe. So besagt eine Feldstärke von 9,81 J/kg, dass sich das Potential pro Meter um 9,81 J/kg verändert oder dass man pro Meter und pro kg eine Energiemenge von 9,81 J benötigt oder bekommt.
- [math]g = \frac{\varphi_g}{h}[/math]
Verallgemeinerung auf alle Felder
Diese überlegungen kann man auch für eine elektrisch geladenen Gegenstand oder für einen Magnetpol anstellen.
Ebenso eine geladene Kugel in einem Kondensator:
- [math]F_E= Q\, E[/math]
- [math]E_{pot}=F_E\, h = Q\, E\, h[/math]
- [math]F_E = \frac{E_{pot}}{h}[/math]
Die potentielle Energie bei veränderlicher Feldstärke
Statt [math]E = F\ s[/math] nun das Integral im Kraft-Wegdiagramm:
- [math]E = \int F(s)\, ds[/math]
und die Kraft ist die örtliche Änderungsrate der potentiellen Energie:
- [math]F = E'[/math]
Für einen Satelliten in der Höhe h über dem Erdboden:
- [math]E_{pot}=\int_R^h F(h) \, dh = \int_R^h G\, \frac{m}{h^2} \, dh[/math]
- [math]=- G\, m \, [\frac{1}{h}]_R^h = - G\, m \, [\frac{1}{h}-\frac{1}{R}][/math]
Links
- Darstellung eines elektrischen Potentialgebirges (von W. Christian, Physlet-System)
- Animation eines Potentialgebirges, mit fließenden Kugeln von vielen verschiedenen Situationen von Paul Falstad
