Der Hall-Effekt: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 9. Juli 2012, 11:00 Uhr

Fließt senkrecht zu einem Magnetfeld ein Strom in einem Leiter, so entsteht senkrecht zum Leiter eine Spannung.

Dies läßt sich mit der Lorentzkraft auf die bewegten Ladungsträger erklären. Diese verschieben sich aufgrund der wirkenden Lorentzkraft quer zum Leiter. In den meisten Leitern, insbesondere in Metallen, sind die Ladungsträger die Elektronen.

Die Verschiebung der Elektronen verursacht andererseits ein elektrisches Feld, dass der Lorentzkraft entgegenwirkt. Deshalb stellt sich ein Gleichgewicht ein, bei dem die Lorentzkraft auf ein Elektron gleich der elektrischen Kraft ist.

Berechnung der Hallspannung

Um den Zusammenhang zwischen Hallspannung, Magnetfeldstärke, Stromstärke und den Materialeigenschaften des Leiters zu untersuchen, macht man zwei Ansätze:

1. Die Lorentzkraft auf die Ladungen ist gleich der elektrischen Kraft.
2. Das elektrische Feld ähnelt dem eines Plattenkondensators.

[math]F_E=F_L[/math]

Man setzt ein: [math]F_E= Q \, E = e \, E[/math] mit der Elementarladung [math]e[/math] eines Elektrons.

Für die Feldstärke nimmt man einen Plattenkondensator mit dem Plattenabstand b an, also: [math]E=\frac{U_H}{b}[/math]

Die Lorentzkraft auf ein Elektron beträgt: [math]F_L = e \, v \, B[/math]

[math]e \frac{U_H}{b}= e \, v \, B[/math]

(*) [math]U_H = v \, B \, b[/math]

Die Hallspannung ist proportional zur Magnetfeldstärke (Flussdichte) und zur Geschwindigkeit der Ladungsträger. Die Hallspannung hängt nicht von der Ladungsmenge auf den Ladungsträgern ab.

Bis jetzt bleiben Materialeigenschaften unberücksichtigt. Das ändert sich, wenn man die Ladungsträgerdichte im leitenden Material berücksichtigt:

Die Kraft auf alle Elektronen im Leiter ist [math]F_{Lges}=\mu_0 \, H \, I \, l,[/math] man nimmt an, dass sich n Elektronen im Leiter befinden:

(**) [math]e \frac{U_H}{b}=\mu_0 \ H \, I \, l \, \frac{1}{n}[/math]

Nach der Hallspannung auflösen:

[math]U_H=\frac{\mu_0 \, H \, I \, l \, b}{n \, e}[/math]

Das Volumen beträgt [math]V=l\,b\,d,[/math] also ist [math]l\,b=\frac{V}{d}[/math].

[math]U_H=\frac{\mu_0 \, H \, I}{d} \frac{V}{n} \frac{1}{e}[/math]

Die Ladungsträgerdichte beträgt [math]\delta=\frac{n}{V}[/math].

(***) [math]U_H=\frac{\mu_0 \, H \, I}{d} \frac{1}{\delta \, e}[/math]

Der Bruch [math]\frac{1}{\delta \, e}[/math] heisst Hallkonstante und ist eine Materialeigenschaft.

Ergebnisse

Hallsonde zur Messung der Feldstärke

Da die Hallspannung proportional zur Magnetfeldstärke ist, kann man die Feldstärke messen! Als Sonde dient ein stromdurchflossenes Leiterstück. Mit Hilfe des Magnetfeldes einer Spule kann man die Sonde eichen.

Abhängigkeit der Hallspannung

Um eine möglichst große Hallspannung in einem Magnetfeld zu erreichen, gibt es drei Möglichkeiten:

1. Man verwendet eine hohe Stromstärke I. Das ist unpraktisch, weil sich der Leiter erwärmt und man viel Energie benötigt.
2. Man verwendet einen Leiter mit geringer Dicke d.
3. Man verwendet ein Material mit einer großen Hallkonstante. Dazu muss die Ladungsträgerdichte klein sein. Das ist einleuchtend, denn bei kleiner Ladungsträgerdichte müssen sich für den gleichen Strom die Ladungsträger schneller bewegen und so entsteht eine große Lorentzkraft auf die einzelnen Ladungsträger. In der Praxis verwendet man deshalb Halbleiter, also dotierte Siliziumkristalle.

Geschwindigkeit der Ladungsträger

Ist die Feldstärke bekannt, so kann man die Geschwindigkeit der Ladungsträger, z.B. der Elektronen bestimmen. Dazu schreibt man die Gleichung (*) um:

[math]v=\frac{U_H}{\mu_0 \, H \, b}[/math]

Anzahl der Ladungsträger pro Volumen

Auch die Anzahl der freien Ladungsträger kann mit diesem Versuch bestimmt werden! Dazu muss man nur (***) nach der Ladungsträgerdichte auflösen:

[math]\delta=\frac{\mu_0 \, H \, I}{U_H \, d \, e}[/math]

Die einfache Messung von diesen makroskopischen Größen läßt es also zu auf atomare Eigenschaften des Leiters zu schließen! Kennt man noch das Molgewicht des Leiters, so kann man z.B. auf die Anzahl der freien Elektronen eines Metalls schließen!

Links

• Applet zur Elektronenbewegung in Metallen (F. Eschen vom Gymnasium Ybbenbüren)
• Wikipedia: dotierte Halbleiter