Die Bewegungsgesetze einer harmonischen Schwingung: Unterschied zwischen den Versionen
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Die Geschwindigkeit ist die zeitliche Änderungsrate des Ortes, also muss man nach der Zeit ableiten. Dabei muss man die Kettenregel beachten. | Die Geschwindigkeit ist die zeitliche Änderungsrate des Ortes, also muss man nach der Zeit ableiten. Dabei muss man die Kettenregel beachten. | ||
| − | <math>v(t)=\dot s (t) = (\hat y sin(\omega t)\dot) = \hat y cos(\omega t) \omega</math> (Wiederholung: [f(g(t))]'= f'(g(t)) g'(t) ) | + | <math>v(t)=\dot s (t) = (\hat y \sin(\omega t)\dot) = \hat y cos(\omega t) \omega</math> (Wiederholung: <math>[f(g(t))]'= f'(g(t)) \, g'(t)</math>) |
<math> v(t) = \hat y \omega cos(\omega t) = \hat v cos(\omega t)\qquad \qquad \hat v = \hat y \omega </math> ist die maximale Geschwindigkeit. | <math> v(t) = \hat y \omega cos(\omega t) = \hat v cos(\omega t)\qquad \qquad \hat v = \hat y \omega </math> ist die maximale Geschwindigkeit. | ||
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Um die Beschleunigung zu erhalten, muss man die Geschwindigkeit erneut ableiten. | Um die Beschleunigung zu erhalten, muss man die Geschwindigkeit erneut ableiten. | ||
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==Folgerungen aus den Bewegungsgesetzen== | ==Folgerungen aus den Bewegungsgesetzen== | ||
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Der Impuls hängt direkt mit der Geschwindigkeit über <math>p=m \, v</math> zusammen: | Der Impuls hängt direkt mit der Geschwindigkeit über <math>p=m \, v</math> zusammen: | ||
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| + | Die Bewegungsenergie hängt direkt mit der Geschwindigkeit, bzw. mit dem Impuls zusammen: | ||
| + | <math>E_{kin}=\frac{1}{2}m \, v^2 = \frac{p^2}{2\, m}</math> | ||
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| + | Die "restlichen" Energieformen wie Spann- und Lageeneergie ergänzen die Bewegungsenergie immer zu einer konstanten Summe. (Zumindest bei einer ungedämpften Schwingung.) | ||
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| + | <math>E_{kin} = \frac{1}{2} m\, \hat y^2 \omega^2 \cos^2(w\, t) \qquad \qquad \hat E_{kin} =\frac{1}{2} m \, \hat y^2 \omega^2 </math> ist die maximale Bewegungsenergie. | ||
| + | Die Energie ist proportional zum Quadrat der Frequenz und zum Quadrat der Amplitude. | ||
===Kraft=== | ===Kraft=== | ||
Die Beschleunigung hängt direkt mit der wirkenden Kraft über <math>F=m\ a</math> zusammen, daher folgt: | Die Beschleunigung hängt direkt mit der wirkenden Kraft über <math>F=m\ a</math> zusammen, daher folgt: | ||
| − | <math>F(t)=-m\, \hat y\, \omega^2 \ sin(\omega\, t) = \hat F \sin(\omega\, t)\qquad \qquad \hat F = -m\, \hat y \,\omega ^2</math> ist die maximale Kraft. | + | <math>F(t)=-m\, \hat y\, \omega^2 \ \sin(\omega\, t) = \hat F \sin(\omega\, t)\qquad \qquad \hat F = -m\, \hat y \,\omega ^2</math> ist die maximale Kraft. |
Ausserdem folgt aus der sinusförmigen Bewegung auch der lineare Zusammenhang <math>F=-D\,y</math> von Kraft und Auslenkung, wie bei einer Feder. (Siehe [[Die harmonische Schwingung#Von der Sinusförmigkeit auf den linearen Kraftverlauf|hier]].) | Ausserdem folgt aus der sinusförmigen Bewegung auch der lineare Zusammenhang <math>F=-D\,y</math> von Kraft und Auslenkung, wie bei einer Feder. (Siehe [[Die harmonische Schwingung#Von der Sinusförmigkeit auf den linearen Kraftverlauf|hier]].) | ||
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<math>\Rightarrow -m\, \hat y \,\omega^2 = -D \,\hat y </math>. Teilt man nun noch durch die Amplitude <math>\hat y</math> und die Masse <math>m</math>, so folgt: | <math>\Rightarrow -m\, \hat y \,\omega^2 = -D \,\hat y </math>. Teilt man nun noch durch die Amplitude <math>\hat y</math> und die Masse <math>m</math>, so folgt: | ||
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| + | Frequenz einer harmonischen Schwingung, sie hängt nicht von der Amplitude ab! | ||
Die Schwingungsdauer, bzw Frequenz folgt aus der Kreisfrequenz mit: | Die Schwingungsdauer, bzw Frequenz folgt aus der Kreisfrequenz mit: | ||
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| − | <math>s(t)=9cm | + | <math>s(t)=9cm \cdot \sin(\left( \frac {2*\pi}{1{,}2s} \right)*t</math> |
<math>v(t)=9cm*\left( \frac {2*\pi}{1{,}2s} \right)*cos(\left( \frac {2*\pi}{1{,}2s} \right)*t)</math> | <math>v(t)=9cm*\left( \frac {2*\pi}{1{,}2s} \right)*cos(\left( \frac {2*\pi}{1{,}2s} \right)*t)</math> | ||
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*[http://www.walter-fendt.de/ph14d/federpendel.htm Applet zum Federpendel (W.Fendt)] | *[http://www.walter-fendt.de/ph14d/federpendel.htm Applet zum Federpendel (W.Fendt)] | ||
*[http://de.wikipedia.org/wiki/Zeigerdiagramm Wikipedia: Zeigerdiagramm] | *[http://de.wikipedia.org/wiki/Zeigerdiagramm Wikipedia: Zeigerdiagramm] | ||
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Version vom 14. November 2011, 15:24 Uhr
Inhaltsverzeichnis
Das Ortsgesetz
Aus der Zeigerdarstellung oder aus der Differentialgleichung folgt beidesmal der sinusförmige Verlauf der Elongation, also des Ortes:
[math]y = \hat y \sin (\omega t)[/math]
Berechnung des Geschwindigkeitsgesetzes
Die Geschwindigkeit ist die zeitliche Änderungsrate des Ortes, also muss man nach der Zeit ableiten. Dabei muss man die Kettenregel beachten.
[math]v(t)=\dot s (t) = (\hat y \sin(\omega t)\dot) = \hat y cos(\omega t) \omega[/math] (Wiederholung: [math][f(g(t))]'= f'(g(t)) \, g'(t)[/math])
[math] v(t) = \hat y \omega cos(\omega t) = \hat v cos(\omega t)\qquad \qquad \hat v = \hat y \omega [/math] ist die maximale Geschwindigkeit.
Berechnung des Beschleunigungsgesetzes
Um die Beschleunigung zu erhalten, muss man die Geschwindigkeit erneut ableiten.
[math]a = \dot v = \hat y \omega \dot{cos(\omega t)} = \hat y \omega (-\sin(\omega t)) \omega[/math]
[math]a(t)=-\hat y \omega^2 \sin(\omega t) = \hat a \sin(\omega \, t)\qquad \qquad \hat a = -\hat y \omega ^2 [/math] ist die maximale Beschleunigung.
Folgerungen aus den Bewegungsgesetzen
Impuls
Der Impuls hängt direkt mit der Geschwindigkeit über [math]p=m \, v[/math] zusammen:
[math]p(t)=m \, \hat y\, \omega \ cos(\omega\, t) \qquad \qquad \hat p = m\, \hat y \,\omega[/math] ist der maximale Impuls.
Energie
Die Bewegungsenergie hängt direkt mit der Geschwindigkeit, bzw. mit dem Impuls zusammen: [math]E_{kin}=\frac{1}{2}m \, v^2 = \frac{p^2}{2\, m}[/math]
Die "restlichen" Energieformen wie Spann- und Lageeneergie ergänzen die Bewegungsenergie immer zu einer konstanten Summe. (Zumindest bei einer ungedämpften Schwingung.)
[math]E_{kin} = \frac{1}{2} m\, \hat y^2 \omega^2 \cos^2(w\, t) \qquad \qquad \hat E_{kin} =\frac{1}{2} m \, \hat y^2 \omega^2 [/math] ist die maximale Bewegungsenergie.
Die Energie ist proportional zum Quadrat der Frequenz und zum Quadrat der Amplitude.
Kraft
Die Beschleunigung hängt direkt mit der wirkenden Kraft über [math]F=m\ a[/math] zusammen, daher folgt:
[math]F(t)=-m\, \hat y\, \omega^2 \ \sin(\omega\, t) = \hat F \sin(\omega\, t)\qquad \qquad \hat F = -m\, \hat y \,\omega ^2[/math] ist die maximale Kraft.
Ausserdem folgt aus der sinusförmigen Bewegung auch der lineare Zusammenhang [math]F=-D\,y[/math] von Kraft und Auslenkung, wie bei einer Feder. (Siehe hier.)
Frequenz
Die maximal wirkende Rückstellkraft läßt sich auf zwei Arten berechnen. Einmal über die maximale Beschleunigung [math]-\hat y \,\omega^2 [/math] und einmal über die maximale Auslenkung [math]\hat y[/math]:
- [math]\hat F = m \,\hat a = -D\,\hat y[/math]
[math]\Rightarrow -m\, \hat y \,\omega^2 = -D \,\hat y [/math]. Teilt man nun noch durch die Amplitude [math]\hat y[/math] und die Masse [math]m[/math], so folgt:
[math]\omega^2= \frac{D}{m}[/math] oder [math]\omega= \sqrt{\frac{D}{m}}[/math] ; [math] f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{D}{m}}[/math] ; [math] T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{D}}[/math] Frequenz einer harmonischen Schwingung, sie hängt nicht von der Amplitude ab!
Die Schwingungsdauer, bzw Frequenz folgt aus der Kreisfrequenz mit: [math] \omega=2\,\pi\, f [/math] und [math] T = \frac{1}{f}[/math]
Beispiel: Federpendel
[math]T=1{,}2[/math]
[math]\omega=\left( \frac {2*\pi}{1{,}2} \right)[/math]
[math]s(t)=9cm \cdot \sin(\left( \frac {2*\pi}{1{,}2s} \right)*t[/math]
[math]v(t)=9cm*\left( \frac {2*\pi}{1{,}2s} \right)*cos(\left( \frac {2*\pi}{1{,}2s} \right)*t)[/math]
[math]\hat v = 9cm*\left( \frac {2*\pi}{1{,}2s} \right)= 47\frac{cm}{s}[/math]
Aufgaben
Zu 108.2
[math]\omega[/math]: Winkelgeschwindigkeit [math]f[/math]: Umläufe pro Zeit
z.B.: [math]f = 2Hz[/math]
[math]w = 2*\pi*\left( \frac{1}{s} \right)= 4*\pi*\left( \frac{1}{s} \right)[/math]
[math]\Rightarrow \omega=2*\pi*f[/math] und weil [math] f=\left( \frac{1}{T} \right)[/math]
[math] \omega=\left( \frac{2*\pi}{T} \right)[/math]
Zu 108.3
[math] \phi_0 [/math]: Phasenverschiebung
[math] \phi_0 = 0^\circ [/math]: Schwingung in Phase
[math] \phi_0 = \pi \, (180^\circ\!) [/math]: gegenphasig
Links
- Applet zur Zeigerdarstellung
- Applet zur Sinuskurve des Ortsdiagramms eines Pendels (W.Fendt)
- Applet zum Federpendel (W.Fendt)
- Wikipedia: Zeigerdiagramm
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