Die Energie des elektrischen Feldes: Unterschied zwischen den Versionen

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Die Betrachtungen zur Energie des elektrischen Feldes führt man am Beispiel eines idealen Plattenkondensators durch. Dadurch sind die Ergebnisse auch auf alle homogenen Felder übertragbar. Bei inhomogenen Feldern muss man einen hinreichend kleinen Raumausschnitt wählen, in dem das Feld annähernd homogen ist.
 
Die Betrachtungen zur Energie des elektrischen Feldes führt man am Beispiel eines idealen Plattenkondensators durch. Dadurch sind die Ergebnisse auch auf alle homogenen Felder übertragbar. Bei inhomogenen Feldern muss man einen hinreichend kleinen Raumausschnitt wählen, in dem das Feld annähernd homogen ist.
  
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==Energiegehalt des elektrischen Feldes eines Kondensators==
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====Energiedichte des elektrischen Feldes eines Kondensators====
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'''Versuch: Plattenabstand vergrößern bei konstanter Ladung'''
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[[Datei:Kondensator_statisches_Voltmeter.jpg|thumb|Versuchsaufbau mit statischem Voltmeter]]
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[[Datei:Kondensator_auseinanderziehen.png|thumb|200px|Bei größerem Abstand gibt es mehr Feld mit der gleichen Feldstärke. Der Abstand der Äquipotentialflächen bleibt gleich.]]
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Ein Plattenkondensator wird z.B. mit einer geriebenen Schallplatte oder mit einem Hochspannungsnetzgerät auf 10kV aufgeladen und dann von der Spannungsquelle getrennt. Danach vergrößert und verkleinert man den Abstand der Platten.
  
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Man lädt einen idealen Plattenkondensator auf und betrachtet die dazu benötigte Energiemenge.
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;Beobachtung
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Beim Auseinanderziehen der Platten steigt die Spannung an. Schiebt man die Platten wieder auf den ursprünglichen Abstand zusammen, so stellt sich auch die ursprüngliche Spannung wieder ein.
  
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Entweder integriert man zeitlich über die Energiestromstärke: <math>E_{el}=\int_0^\infty \dot E\, dt=\int_0^\infty U\, I\, dt</math> Dazu muss man aber den genauen zeitlichen Verlauf von Spannung und Stromstärke kennen, was die Beschreibung mit einer DGL nach sich zieht.
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[http://www.physik.uni-wuerzburg.de/video/elehre1/e1versuch7.html Video des Versuchs]. (Uni Würzburg)
  
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Deshalb integriert man einfacher über die hineinfließende Ladung, für deren Transport auf die Platten man je nach Spannung mehr oder weniger Energie benötigt. (Die Spannung ist das Beladungsmaß und die Ladung der Energieträger.)
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;Folgerung
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Die Ladung pro Fläche und damit die Feldstärke ist konstant:
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:<math>E = \frac{1}{\epsilon_0}\frac{Q}{A}</math>
  
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: <math>E_{el}=\int_0^{Q_{max}} U(Q)\,dQ</math>
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Die räumliche Änderung des Potentials ist daher auch konstant. Bei größerem Abstand steigt deswegen die Potentialdifferenz, also die Spannung:
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:<math>E = \varphi ' = \frac{U}{d} \quad \Rightarrow \quad U = E\, d </math>
  
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Bei einem idealen Kondensator steigt die Spannung mit der Ladung linear an ( <math>U=\frac{1}{C}\, Q</math>), die Kapazität ist ja konstant. Das Integral entspricht einer Dreiecksfläche:
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Je kleiner der Plattenabstand ist, desto geringer ist die Spannung bei gleicher Ladungsmenge. Die Kapazität des Kondensators ist antiproportional zum Plattenabstand!
  
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: <math>E_{el}=\int_0^{Q_{max}} \frac{1}{C}\, Q\,dQ = \frac{1}{C} \left[\frac{1}{2}\, Q^2\right]_0^{Q_{max}} =\frac{1}{2} \, \frac{1}{C}\, Q_{max}^2=\frac{1}{2} \, \frac{1}{C}\, C^2\, U_{max}^2
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Für das Auseinanderziehen der Platten ist Energie nötig, denn die Platten werden vom Feld zusammengezogen. Diese Energie steckt in dem immer größer werdenden Feld und kommt aus dem Menschen, der die Platten auseinanderzieht. Die Energiedichte beschreibt wieviel Energie pro Volumen im Feld gespeichert ist:
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:<math>
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\begin{array}{rcl}
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\rho  &=& \frac{W}{V} \\
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      &=& \frac{\frac{1}{2}C\,U^2}{A\,d}\\
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      &=& \frac{\frac{1}{2} \epsilon_0 \, \frac{A}{d}\, (E\,d)^2}{A\,d}\\
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      &=& \frac{\frac{1}{2} \epsilon_0 \, A\, E^2 d^2}{A\,d^2}\\
 +
      &=& \frac{1}{2} \epsilon_0 \, E^2
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\end{array}
 
</math>
 
</math>
  
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: <math>E_{el}=\frac{1}{2}\, \frac{1}{C}\,Q^2=\frac{1}{2}\,C\,U^2</math>
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{|class="wikitable" style="border-style: solid; border-width: 4px "
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Die Formel hat die gleiche Struktur wie die Energie einer stromdurchflossenen Spule!
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Die Energiedichte des elektrischen Feldes<ref>Auch das Magnetfeld und das Gravitationsfeld haben eine Energiedichte: <br/><math>\rho_{mag} = \frac{1}{2} \mu_0 \, H^2 \text{  }</math> und <math>\text{  }\rho_{grav} =  \frac{1}{2} \frac{1}{4\, \pi\, G} \,  g^2</math> </ref>
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ist proportional zum Quadrat der Feldstärke:
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:<math>\rho_{el} = \frac{W}{V} = \frac{1}{2} \epsilon_0 \, E^2</math>
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|}
  
 
==Die Energiedichte des elektrischen Feldes==
 
==Die Energiedichte des elektrischen Feldes==

Version vom 2. Mai 2017, 18:29 Uhr

(Kursstufe > Das elektrische Feld)


Die Betrachtungen zur Energie des elektrischen Feldes führt man am Beispiel eines idealen Plattenkondensators durch. Dadurch sind die Ergebnisse auch auf alle homogenen Felder übertragbar. Bei inhomogenen Feldern muss man einen hinreichend kleinen Raumausschnitt wählen, in dem das Feld annähernd homogen ist.

Energiedichte des elektrischen Feldes eines Kondensators

Versuch: Plattenabstand vergrößern bei konstanter Ladung

Versuchsaufbau mit statischem Voltmeter
Bei größerem Abstand gibt es mehr Feld mit der gleichen Feldstärke. Der Abstand der Äquipotentialflächen bleibt gleich.

Ein Plattenkondensator wird z.B. mit einer geriebenen Schallplatte oder mit einem Hochspannungsnetzgerät auf 10kV aufgeladen und dann von der Spannungsquelle getrennt. Danach vergrößert und verkleinert man den Abstand der Platten.

Beobachtung

Beim Auseinanderziehen der Platten steigt die Spannung an. Schiebt man die Platten wieder auf den ursprünglichen Abstand zusammen, so stellt sich auch die ursprüngliche Spannung wieder ein.

Video des Versuchs. (Uni Würzburg)

Folgerung

Die Ladung pro Fläche und damit die Feldstärke ist konstant:

[math]E = \frac{1}{\epsilon_0}\frac{Q}{A}[/math]

Die räumliche Änderung des Potentials ist daher auch konstant. Bei größerem Abstand steigt deswegen die Potentialdifferenz, also die Spannung:

[math]E = \varphi ' = \frac{U}{d} \quad \Rightarrow \quad U = E\, d [/math]

Je kleiner der Plattenabstand ist, desto geringer ist die Spannung bei gleicher Ladungsmenge. Die Kapazität des Kondensators ist antiproportional zum Plattenabstand!

Für das Auseinanderziehen der Platten ist Energie nötig, denn die Platten werden vom Feld zusammengezogen. Diese Energie steckt in dem immer größer werdenden Feld und kommt aus dem Menschen, der die Platten auseinanderzieht. Die Energiedichte beschreibt wieviel Energie pro Volumen im Feld gespeichert ist:

[math] \begin{array}{rcl} \rho &=& \frac{W}{V} \\ &=& \frac{\frac{1}{2}C\,U^2}{A\,d}\\ &=& \frac{\frac{1}{2} \epsilon_0 \, \frac{A}{d}\, (E\,d)^2}{A\,d}\\ &=& \frac{\frac{1}{2} \epsilon_0 \, A\, E^2 d^2}{A\,d^2}\\ &=& \frac{1}{2} \epsilon_0 \, E^2 \end{array} [/math]

Die Energiedichte des elektrischen Feldes[1] ist proportional zum Quadrat der Feldstärke:

[math]\rho_{el} = \frac{W}{V} = \frac{1}{2} \epsilon_0 \, E^2[/math]

Die Energiedichte des elektrischen Feldes

Nimmt man eine idealisierten geladenen Kondensator, so kann man eine quantitative Aussage über die Energiedichte machen.

Der Kondensator habe die Fläche A, den Plattenabstand d und sei mit einer Spannung von U geladen.

Ein idealisierter Kondensator hat ausschließlich im Inneren ein elektrisches Feld. Das Feldvolumen beträgt daher:

[math]V=A\,d[/math]

Die Energiemenge beträgt [math]\frac{1}{2} \, C \, U^2[/math], mit [math]C = \epsilon_0 \epsilon_r \frac{A}{d}[/math] :

[math]E_{el}=\frac{1}{2} \, \epsilon_0 \epsilon_r \, \frac{A}{d} \, U^2 [/math]
[math]\frac{E_{el}}{V}= \rho_{el} = \frac{1}{2} \, \epsilon_0 \epsilon_r \, \frac{U^2}{d^2}[/math]
[math]\rho_{el} =\frac{1}{2} \, \epsilon_0 \epsilon_r \, E_{el}^2[/math]

Die Formel hat die gleiche Struktur wie die Energiedichte des magnetischen Feldes!
Referenzfehler: Es sind <ref>-Tags vorhanden, jedoch wurde kein <references />-Tag gefunden.

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