Die Schrödingergleichung des Wasserstoffatoms (Orbitale): Unterschied zwischen den Versionen
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Die eindimensionale SGL muss man zur Beschreibung des Wassertstoffatoms auf drei Dimensionen (x, y, z) erweitern. Statt der zweiten Ableitung taucht nun die Summe der zweiten ("partiellen") Ableitungen nach den drei Raumrichtungen auf: | Die eindimensionale SGL muss man zur Beschreibung des Wassertstoffatoms auf drei Dimensionen (x, y, z) erweitern. Statt der zweiten Ableitung taucht nun die Summe der zweiten ("partiellen") Ableitungen nach den drei Raumrichtungen auf: | ||
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Für die Betrachtung des Atoms ist es sinnvoll andere Koordinaten zu wählen, die der Situation besser angepasst sind. Statt den drei Raumrichtungen verwendet man den Radius und zwei Winkelangaben. Dabei verändert sich auch die SGL, was hier jetzt aber nicht ausgeführt wird. | Für die Betrachtung des Atoms ist es sinnvoll andere Koordinaten zu wählen, die der Situation besser angepasst sind. Statt den drei Raumrichtungen verwendet man den Radius und zwei Winkelangaben. Dabei verändert sich auch die SGL, was hier jetzt aber nicht ausgeführt wird. | ||
Um diese Gleichung zu lösen, setzt man ein Produkt als Zustandsfunktion an. Somit läßt man absichtlich weitere Lösungen weg, es wäre sonst zu kompliziert. | Um diese Gleichung zu lösen, setzt man ein Produkt als Zustandsfunktion an. Somit läßt man absichtlich weitere Lösungen weg, es wäre sonst zu kompliziert. | ||
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Ein Faktor der Funktion hängt nur vom Radius ab, der andere beschreibt die Winkelabhängigkeit. Auf diese Weise zerfällt die SGL in zwei separate Gleichungen: Eine radiale, eindimensionale und eine Gleichung für die Winkelabhängigkeit. | Ein Faktor der Funktion hängt nur vom Radius ab, der andere beschreibt die Winkelabhängigkeit. Auf diese Weise zerfällt die SGL in zwei separate Gleichungen: Eine radiale, eindimensionale und eine Gleichung für die Winkelabhängigkeit. | ||
Die Indizes nummerieren die gefundenen Lösungen. Man nennt sie Quantenzahlen. | Die Indizes nummerieren die gefundenen Lösungen. Man nennt sie Quantenzahlen. | ||
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Jeder mögliche Zustand eines Elektrons wird durch vier Quantenzahlen angegeben. | Jeder mögliche Zustand eines Elektrons wird durch vier Quantenzahlen angegeben. | ||
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Die Hauptquantenzahl beschreibt die Energiemenge des Elektrons. Das entspricht im Bohrschen Atommmodell der Schale: | Die Hauptquantenzahl beschreibt die Energiemenge des Elektrons. Das entspricht im Bohrschen Atommmodell der Schale: | ||
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Die Energiemenge ergibt sich aus der Hauptquantenzahl mit: | Die Energiemenge ergibt sich aus der Hauptquantenzahl mit: | ||
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für das Wasserstoffatom. | für das Wasserstoffatom. | ||
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Die Nebenquantenzahl l oder auch Drehimpulsquantenzahl l kennzeichnet die Form der Zustandsfunktion in einem Atom. Sie kann 0 sowie beliebige natürliche Zahlen annehmen, muss aber auf jeden Fall kleiner als n sein. Häufig werden statt Zahlen auch Buchstaben verwendet: | Die Nebenquantenzahl l oder auch Drehimpulsquantenzahl l kennzeichnet die Form der Zustandsfunktion in einem Atom. Sie kann 0 sowie beliebige natürliche Zahlen annehmen, muss aber auf jeden Fall kleiner als n sein. Häufig werden statt Zahlen auch Buchstaben verwendet: | ||
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Der Name "Drehimpulsquantenzahl" ist historisch und geht auf die Vorstellung zurück, dass diese Quantenzahl den Drehimpuls des sich um den Atomkern bewegenden Elektrons beschreibt. | Der Name "Drehimpulsquantenzahl" ist historisch und geht auf die Vorstellung zurück, dass diese Quantenzahl den Drehimpuls des sich um den Atomkern bewegenden Elektrons beschreibt. | ||
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| − | Sie heißt Magnetquantenzahl, weil die zusätzliche potentielle Energie in einem Magnetfeld in z-Richtung von ihr abhängt (bei | + | Sie heißt Magnetquantenzahl, weil die zusätzliche potentielle Energie in einem Magnetfeld in z-Richtung von ihr abhängt (bei <math>m=0</math> keine z-Komponente, d.h. keine zusätzliche Energie; bei <math>m=l</math> nur z-Komponente, d.h. maximale zusätzliche Energie). |
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| − | Die Spinquantenzahl s des Elektrons beschreibt die Orientierung des Spins des Elektrons. Sie ist halbzahlig: | + | ===Spinquantenzahl=== |
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| − | + | * Wikipedia: [https://de.wikipedia.org/wiki/Quantenzahl Quantenzahl] | |
| − | + | * Wikipedia: [https://de.wikipedia.org/wiki/Wasserstoffatom Wasserstoffatom] | |
| + | * Animationen und Visualisierung des Wasserstoffatoms: [http://www.hydrogenlab.de/ HydrogenLab] (Patrick Bronner, Uni Karlsruhe) | ||
| + | ** Animationen und Visualisierung von Molekülorbitalen: [http://www.physikdidaktik.uni-karlsruhe.de/software/moleculab/mo_start.html MolecuLab] (Johannes Seeger, Uni Karlsruhe) | ||
| + | *[https://www.univie.ac.at/physikwiki/index.php/LV013:LV-Uebersicht/WS09_10/Arbeitsbereiche/OrbitalmodellMolek%C3%BClstruktur#cite_note-12 Orbitalmodell und Molekülstruktur] (Wiki der Fakultät für Physik Universität Wien) | ||
| + | *[https://chemiezauber.de/inhalt/q1/aufbau-der-materie/atommodelle/orbitaltheorie.html Orbitalmodell / Quantenzahlen] (Thomas Musolf, Chemiezauber.de) | ||
| + | *[https://www.itp.uni-hannover.de/~zawischa/ITP/atome.html Atomare Spektren und Orbitalmodell] (Dietrich Zawischa, Institut für Theoretische Physik, Universität Hannover) | ||
| + | *[http://hydrogen.physik.uni-wuppertal.de/hyperphysics/hyperphysics/hbase/quantum/qnenergy.html Quantenzahlen und Energieniveaus der Atome] (Übersetzung von "Hyper Physics", Georgia State University) | ||
| + | *Wikipedia: [https://de.wikipedia.org/wiki/Energieniveau Energieniveau] | ||
| + | *Wikipedia: [https://de.wikipedia.org/wiki/Termschema Termschema] | ||
| + | *Wikipedia: [https://de.wikipedia.org/wiki/Ionisierungsenergie Ionisierungsenergie] | ||
| + | *[http://home.arcor.de/schubert.v/_aac/vorles/skript/kap_3/eigen.html Periodizität der Eigenschaften von Atomen] Atom- und Ionenradien, Ionisierungsenergien, Elektronenaffinitäten (Prof. Dr. Gernot Reininger and Prof. Dr. Volker Schubert, University of Paderborn) | ||
| + | *[http://chemglobe.org/general/chembindung/en.php Elektronegativität] (Paul Kremer, chemglobe.org) | ||
Aktuelle Version vom 29. März 2016, 08:53 Uhr
(Kursstufe > Atomphysik und die Schrödingergleichung)
Inhaltsverzeichnis
Die dreidimensionale, zeitunabhängige Schrödingergleichung
Die eindimensionale SGL muss man zur Beschreibung des Wassertstoffatoms auf drei Dimensionen (x, y, z) erweitern. Statt der zweiten Ableitung taucht nun die Summe der zweiten ("partiellen") Ableitungen nach den drei Raumrichtungen auf:
- [math]\frac{\partial^2 \Psi(x,y,z)}{\partial x\partial x} + \frac{\partial^2 \Psi(x,y,z)}{\partial y\partial y} + \frac{\partial^2 \Psi(x,y,z)}{\partial z\partial z} = -c (E-E_{pot}(x))\Psi(x) \quad \textrm{mit} \qquad c=\frac{8\pi^2m}{h^2}[/math]
Für die Betrachtung des Atoms ist es sinnvoll andere Koordinaten zu wählen, die der Situation besser angepasst sind. Statt den drei Raumrichtungen verwendet man den Radius und zwei Winkelangaben. Dabei verändert sich auch die SGL, was hier jetzt aber nicht ausgeführt wird.
Um diese Gleichung zu lösen, setzt man ein Produkt als Zustandsfunktion an. Somit läßt man absichtlich weitere Lösungen weg, es wäre sonst zu kompliziert.
- [math]\Psi_{nlm}(r,\vartheta,\varphi) = R_{nl}(r) Y_{lm}(\vartheta, \varphi )[/math]
Ein Faktor der Funktion hängt nur vom Radius ab, der andere beschreibt die Winkelabhängigkeit. Auf diese Weise zerfällt die SGL in zwei separate Gleichungen: Eine radiale, eindimensionale und eine Gleichung für die Winkelabhängigkeit.
Die Indizes nummerieren die gefundenen Lösungen. Man nennt sie Quantenzahlen.
Quantenzahlen
Jeder mögliche Zustand eines Elektrons wird durch vier Quantenzahlen angegeben.
Hauptquantenzahl
Die Hauptquantenzahl beschreibt die Energiemenge des Elektrons. Das entspricht im Bohrschen Atommmodell der Schale:
- [math]n \in \{1,2,3,\ldots\} [/math]
Die Energiemenge ergibt sich aus der Hauptquantenzahl mit:
- [math]E_n =-{ m e^4 \over 8 \epsilon_0^2 h^2 } \cdot {1 \over n^2}[/math]
für das Wasserstoffatom.
Nebenquantenzahl
Die Nebenquantenzahl l oder auch Drehimpulsquantenzahl l kennzeichnet die Form der Zustandsfunktion in einem Atom. Sie kann 0 sowie beliebige natürliche Zahlen annehmen, muss aber auf jeden Fall kleiner als n sein. Häufig werden statt Zahlen auch Buchstaben verwendet:
- [math]l \in \{0,1,2,\ldots,n-1\} \quad \textrm{oder} \quad l \in \{s,p,d,f\ldots \}[/math]
Der Name "Drehimpulsquantenzahl" ist historisch und geht auf die Vorstellung zurück, dass diese Quantenzahl den Drehimpuls des sich um den Atomkern bewegenden Elektrons beschreibt.
Magnetische Quantenzahl des Drehimpuls
Die magnetische Quantenzahl des Drehimpuls wird mit [math]m[/math] bezeichnet, und beschreibt die räumliche Orientierung des Elektronen-Bahndrehimpuls. Sie darf betragsmäßig nicht größer sein als die Nebenquantenzahl [math]l[/math], darf dafür aber auch negative Werte annehmen:
- [math]m \in \{-l, -(l-1) \ldots (l-1), l\} [/math]
Sie heißt Magnetquantenzahl, weil die zusätzliche potentielle Energie in einem Magnetfeld in z-Richtung von ihr abhängt (bei [math]m=0[/math] keine z-Komponente, d.h. keine zusätzliche Energie; bei [math]m=l[/math] nur z-Komponente, d.h. maximale zusätzliche Energie).
Spinquantenzahl
Die Spinquantenzahl s des Elektrons beschreibt die Orientierung des Spins des Elektrons. Sie ist halbzahlig: [math]s = \frac{1}{2}[/math]. Für die Projektion des Spins in z-Richtung gibt es nur zwei Möglichkeiten:
- [math]s_z \in \left\{-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right\}[/math]
Links
- Wikipedia: Quantenzahl
- Wikipedia: Wasserstoffatom
- Animationen und Visualisierung des Wasserstoffatoms: HydrogenLab (Patrick Bronner, Uni Karlsruhe)
- Animationen und Visualisierung von Molekülorbitalen: MolecuLab (Johannes Seeger, Uni Karlsruhe)
- Orbitalmodell und Molekülstruktur (Wiki der Fakultät für Physik Universität Wien)
- Orbitalmodell / Quantenzahlen (Thomas Musolf, Chemiezauber.de)
- Atomare Spektren und Orbitalmodell (Dietrich Zawischa, Institut für Theoretische Physik, Universität Hannover)
- Quantenzahlen und Energieniveaus der Atome (Übersetzung von "Hyper Physics", Georgia State University)
- Wikipedia: Energieniveau
- Wikipedia: Termschema
- Wikipedia: Ionisierungsenergie
- Periodizität der Eigenschaften von Atomen Atom- und Ionenradien, Ionisierungsenergien, Elektronenaffinitäten (Prof. Dr. Gernot Reininger and Prof. Dr. Volker Schubert, University of Paderborn)
- Elektronegativität (Paul Kremer, chemglobe.org)
