Die Schrödingergleichung des Wasserstoffatoms (Orbitale)

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(Kursstufe > Atomphysik und die Schrödingergleichung)


Die dreidimensionale, zeitunabhängige Schrödingergleichung

Die eindimensionale SGL muss man zur Beschreibung des Wassertstoffatoms auf drei Dimensionen (x, y, z) erweitern. Statt der zweiten Ableitung taucht nun die Summe der zweiten ("partiellen") Ableitungen nach den drei Raumrichtungen auf:

[math]\frac{\partial^2 \Psi(x,y,z)}{\partial x\partial x} + \frac{\partial^2 \Psi(x,y,z)}{\partial y\partial y} + \frac{\partial^2 \Psi(x,y,z)}{\partial z\partial z} = -c (E-E_{pot}(x))\Psi(x) \quad \textrm{mit} \qquad c=\frac{8\pi^2m}{h^2}[/math]

Für die Betrachtung des Atoms ist es sinnvoll andere Koordinaten zu wählen, die der Situation besser angepasst sind. Statt den drei Raumrichtungen verwendet man den Radius und zwei Winkelangaben. Dabei verändert sich auch die SGL, was hier jetzt aber nicht ausgeführt wird.

Um diese Gleichung zu lösen, setzt man ein Produkt als Zustandsfunktion an. Somit läßt man absichtlich weitere Lösungen weg, es wäre sonst zu kompliziert.

[math]\Psi_{nlm}(r,\vartheta,\varphi) = R_{nl}(r) Y_{lm}(\vartheta, \varphi )[/math]

Ein Faktor der Funktion hängt nur vom Radius ab, der andere beschreibt die Winkelabhängigkeit. Auf diese Weise zerfällt die SGL in zwei separate Gleichungen: Eine radiale, eindimensionale und eine Gleichung für die Winkelabhängigkeit.

Die Indizes nummerieren die gefundenen Lösungen. Man nennt sie Quantenzahlen.

Quantenzahlen

Jeder mögliche Zustand eines Elektrons wird durch vier Quantenzahlen angegeben.

Hauptquantenzahl

Die Hauptquantenzahl beschreibt die Energiemenge des Elektrons. Das entspricht im Bohrschen Atommmodell der Schale:

[math]n \in \{1,2,3,\ldots\} [/math]

Die Energiemenge ergibt sich aus der Hauptquantenzahl mit:

[math]E_n =-{ m e^4 \over 8 \epsilon_0^2 h^2 } \cdot {1 \over n^2}[/math]

für das Wasserstoffatom.

Nebenquantenzahl

Die Nebenquantenzahl l oder auch Drehimpulsquantenzahl l kennzeichnet die Form der Zustandsfunktion in einem Atom. Sie kann 0 sowie beliebige natürliche Zahlen annehmen, muss aber auf jeden Fall kleiner als n sein. Häufig werden statt Zahlen auch Buchstaben verwendet:

[math]l \in \{0,1,2,\ldots,n-1\} \quad \textrm{oder} \quad l \in \{s,p,d,f\ldots \}[/math]

Der Name "Drehimpulsquantenzahl" ist historisch und geht auf die Vorstellung zurück, dass diese Quantenzahl den Drehimpuls des sich um den Atomkern bewegenden Elektrons beschreibt.

Magnetische Quantenzahl des Drehimpuls

Die magnetische Quantenzahl des Drehimpuls wird mit [math]m[/math] bezeichnet, und beschreibt die räumliche Orientierung des Elektronen-Bahndrehimpuls. Sie darf betragsmäßig nicht größer sein als die Nebenquantenzahl [math]l[/math], darf dafür aber auch negative Werte annehmen:

[math]m \in \{-l, -(l-1) \ldots (l-1), l\} [/math]

Sie heißt Magnetquantenzahl, weil die zusätzliche potentielle Energie in einem Magnetfeld in z-Richtung von ihr abhängt (bei [math]m=0[/math] keine z-Komponente, d.h. keine zusätzliche Energie; bei [math]m=l[/math] nur z-Komponente, d.h. maximale zusätzliche Energie).

Spinquantenzahl

Die Spinquantenzahl s des Elektrons beschreibt die Orientierung des Spins des Elektrons. Sie ist halbzahlig: [math]s = \frac{1}{2}[/math]. Für die Projektion des Spins in z-Richtung gibt es nur zwei Möglichkeiten:

[math]s_z \in \left\{-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right\}[/math]

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