Energie und Impuls (Potential und Kraftverlauf) einer mechanischen Schwingung

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(Kursstufe > Mechanische Schwingungen)


Versuche und Beispiele

Versuch: Ein Pendel auf einem Skateboard

Skateboard Pendel.jpg
Beobachtung

Kann man sich hier als Video anschauen.

Versuch: Schwingende Wagen

Aufbau
Die Wagen stehen auf einer Schiene und sind mit einer Feder verbunden.
Beobachtung

Kann man sich hier als Video anschauen.

Animation

Zur Vereinfachung der Situation ist bei dieser Animation die Feder jeweils im Kugelmittelpunkt befestigt. Bei einer realen Situation würde sich die Befestigung natürlich an den Rand der Kugel verschieben.

Zur Steuerung läßt sich die Animation in Zeitlupe ablaufen oder anhalten. Dann läßt sich die Zeit auch mit dem Schieberegler verstellen.

Die Geogebradatei kann man hier herunterladen. Die Animation läuft damit wesentlich flüssiger.

  • Die Masse der linken Kugel beträgt ein Kilogramm. Ändere die Masse der rechten Kugel und beobachte den Schwerpunkt. Wie verändert sich die Verteilung der Energie und die Federhärten der linken und rechten Seite der Feder?
  • Wie hängt die Frequenz der Schwingung von der Energiemenge ab?
  • Wie ändert sich die Frequenz bei einer Vervierfachung (Verdoppelung) der Federhärte?

Die Wege von Impuls und Energie

Ein Körper kann nie alleine schwingen. Er braucht einen Partner.

Die Erklärung liefert die Impulserhaltung: Die Summe der Impulse ist, im Schwerpunktsystem, immer Null. Beide Körper enthalten zu jedem Zeitpunkt die gleiche Impulsmenge, allerdings mit entgegengesetzter Richtung.

Selbst bei einem Federpendel, das z.B. an einer Wand befestigt ist (bei dem es folglich so aussieht, als würde nur ein Körper schwingen), schwingt immer ein anderer Körper, in diesem Fall die Erde, mit. Wegen der wesentlich größeren Masse der Erde ist deren Geschwindigkeit allerdings nahezu zu vernachlässigen, wodurch es dem Betrachter so erscheint, als würde nur das Federpendel schwingen.

Die beiden Körper schwingen mit einem feststehenden gemeinsamen Schwerpunkt. Bei dem an der Wand befestigten Federpendel wäre der gemeinsame Schwerpunkt, da die Erde ja eine viel größere Masse hat als der Rest des Federpendels, nahezu identisch mit dem der Erde.

Phase Bild Impuls Energie
links rechts Feder Kugeln
[math]t=0\,\rm s[/math]
Ruhelage
Schwingung zwei Körper Ruhelage.png maximal
(nach rechts)
minimal
(nach links)
Null maximal
[math]t=\frac{1}{4} \, T [/math]
innere Umkehrpunkte
Schwingung zwei Körper Umkehrpunkt innen.png Null Null maximal Null
[math]t=\frac{1}{2}\, T \,\rm s[/math]
Ruhelage
Schwingung zwei Körper Ruhelage.png minimal
(nach links)
maximal
(nach rechts)
Null maximal
[math]t=\frac{3}{4}\, T [/math]
äußere Umkehrpunkte
Schwingung zwei Körper Umkehrpunkt aussen.png Null Null maximal Null
[math]t=T [/math]
Ruhelage
Schwingung zwei Körper Ruhelage.png maximal
(nach rechts)
minimal
(nach links)
Null maximal
Ein Vergleich der Darstellungen mit Kräften und mit dem Impulsfluss bei einer Feder unter Zugspannung. (Die positive Impulsrichtung ist nach rechts.)
Der Impuls- und Energiefluss.


Während einer Schwingung fließt die Energie doppelt so schnell zwischen den Körpern (Bewegungsenergie) und der Feder (potentielle Energie) hin und her, wie der Impuls zwischen den zwei Körpern.


Der Impulsfluss während einer Schwingung.

Dies lässt sich gut am nebenstehenden Bild verdeutlichen.

Wenn die Feder vollständig auseinandergezogen (Nr.0) oder zusammengedrückt (Nr.4) ist, enthält sie alle Energie des Systems (Beide Körper bewegen sich an genau diesem Punkt nicht). Ist sie entspannt (Nr.2 und Nr.6), so enthält sie gar keine. Die Energie hat sich also während einer Periode zwei mal zwischen Feder und den Körpern hin und her bewegt.

Der Impuls verändert sich mit der gleichen Periode wie die Auslenkung: Sind die Kugeln in der Ruhelage (Nr.3 und Nr.6), so ist der Impuls maximal oder minimal.

Impuls- und Energiemengen der Schwingungspartner

Im Schwerpunktsystem haben beide Schwingungspartner betragsmäßig immer den gleichen Impuls. Durch die unterschiedlichen Geschwindigkeiten nehmen sie aber nicht die gleiche kinetische Energie auf. Dies ergibt sich direkt aus dem Zusammenhang von Impuls und kinetischer Energie:

[math]E_{kin}={1 \over 2} mv^2 = {p^2 \over 2\,m} \qquad \left(\text{wegen } v = {p \over m}\right)[/math]

Bei gleichem Impuls ist die kinetische Energie antiproportional zur Masse. Ein Gegenstand mit doppelter Masse hat nur die halbe Energie!

Die Erde als Schwingungspartner.

Ist die Erde (oder ein ähnlich großer Körper) einer der zwei schwingenden Körper und der andere Körper ist erheblich kleiner, so nimmt die Erde zwar Impuls auf, aber quasi keine Energie.

[math]E_{Erde}= {p_{Erde}^2 \over 2\,m_{Erde}} \qquad E_m= {p^2 \over 2\,m}[/math]

Weil aber der Impuls beider Körper gleich ist [math]( P_{Erde}=p )[/math], folgt:

[math] E_{Erde} \lt \lt E_m[/math]


Lage des Schwerpunkts und Trennen in zwei Teilsysteme

Der Schwerpunkt ist so etwas wie das gewichtete Mittel der beiden Orte. Das ist vergleichbar mit dem Durchschnitt einer Klassenarbeit:

[math]S=\frac{m_1\, s_1 + m_2\, s_2}{m_1+m_2}[/math][1]

Betrachtet man die Entfernung der einzelnen Gegenstände vom gemeinsamen Schwerpunkt, so findet man, dass sie gerade umgekehrt proportional zu den Massen sind:

[math]m_1 \, l_1 = m_2\, l_2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{l_1}{l_2} = \frac{m_2}{m_1}[/math]

Löst man die Gleichung nach [math]l_1[/math] oder [math]l_2[/math] auf [2] , so folgt:

[math](*)\,l_1 = \frac{m_1}{m_1+m_2}\, l \quad \text{und}\quad l_2 = \frac{m_2}{m_1+m_2}\, l [/math]

Das gleiche gilt logischerweise auch für die Amplituden der linken und rechten Seite:

[math]\hat y_1 = \frac{m_1}{m_1+m_2}\, (\hat y_1 + \hat y_2) \quad \text{und}\quad \hat y_2 = \frac{m_2}{m_1+m_2}\, (\hat y_1 + \hat y_2) [/math]

Auch die gesamte Energie des schwingenden Systems kann man aufteilen. Dazu betrachtet man den Zeitpunkt, in dem die Körper sich in den äußeren oder inneren Umkehrpunkten befinden. Dann ist die gesamte Energie in der Feder. Die Energie ist gleichmäßig in der Feder verteilt und daher steckt im längeren Teilstück auch mehr Energie:

[math]E_1 = \frac{m_1}{m_1+m_2}\, E_{ges} \quad \text{und}\quad E_2 = \frac{m_2}{m_1+m_2}\, E_{ges} \quad \text{ mit } \quad E_{ges}=\frac{1}{2} D \, (\hat y_1 +\hat y_2)^2 [/math]

Da die Feder eines Teilstücks kürzer als die gesamte Feder ist, hat das Teilstück auch eine andere Federhärte als die ganze Feder. Denn bei gleicher Änderung der Länge ist nun die wirkende Kraft größer. Ist die Feder nur halb so lang, verdoppelt sich die Federhärte. Die Federhärten der Teilfedern betragen deshalb:

[math]D_1=\frac{l}{l_1}D \qquad D_2=\frac{l}{l_2}D[/math]

Oder, wenn man Gleichung [math](*)[/math] einsetzt:

[math]D_1 = \frac{m_1+m_2}{m_1}\, D \quad \text{und}\quad D_2 = \frac{m_1+m_2}{m_2}\, D [/math]


Zerlegung einer Schwingung in die Teilsysteme 1 und 2:
[math]l_1 = \frac{m_1}{m_1+m_2}\, l \quad \text{und}\quad l_2 = \frac{m_2}{m_1+m_2}\, l [/math]
[math]\hat y_1 = \frac{m_1}{m_1+m_2}\, (\hat y_1 + \hat y_2) \quad \text{und}\quad \hat y_2 = \frac{m_2}{m_1+m_2}\, (\hat y_1 + \hat y_2) [/math]
[math]E_1 = \frac{m_1}{m_1+m_2}\, E_{ges} \quad \text{und}\quad E_2 = \frac{m_2}{m_1+m_2}\, E_{ges} \quad \text{ mit } \quad E_{ges}=\frac{1}{2} D \, (\hat y_1 +\hat y_2)^2 [/math]
Schwingung zwei Körper Schwerpunkt.png
[math]D_1 = \frac{m_1+m_2}{m_1}\, D \quad \text{und}\quad D_2 = \frac{m_1+m_2}{m_2}\, D [/math]

Man betrachtet nur eine Seite der Schwingung, indem man die Feder am Ort des Schwerpunktes in Gedanken durchschneidet und dort eine sehr große Masse anbringt. Dies ist auch der Fall, wenn man die Erde als Schwingungspartner hat.


Beispielrechnung

Das Bild verdeutlicht die Situation: Man kennt die Massen der beiden Kugeln , die Länge und Härte der Feder. Die Feder wird zu Beginn der Bewegung um die Strecke [math] \Delta l= 1\,\rm cm[/math] verlängert und losgelassen.

[math]m_1=1\,\rm kg \ \ S_1=0\,\rm cm \qquad \text{und} \qquad m_2=3\,\rm kg \ \ S_1=12\,\rm cm \qquad \text{und}\qquad D=150\frac{\rm N}{\rm m}[/math]

Aus den Massen berechnet sich dann der gemeinsame Schwerpunkt und die Härte der Teilfedern. Den Ursprung des Koordinatensystems kann man in den Ort der linken Kugel, also [math]S_1[/math] legen.

[math]S=\mathrm{\frac{1\,kg\cdot 0\,cm + 3\,kg \cdot 12\,cm}{4\,kg}= 9\,cm}[/math]

Der Schwerpunkt liegt also 9 Zentimeter von der linken Kugel entfernt. Das gleiche Ergebnis liefert auch die Rechnung mit den Abständen zum Schwerpunkt:

[math]l_1 = \frac{3}{4}\cdot 12\,\rm cm = 9\,\rm cm \qquad l_2 = \frac{1}{4}\cdot 12\,\rm cm = 3\,\rm cm [/math]
[math]\hat y_1 = \frac{3}{4}\cdot 1\,\rm cm = 0{,}75\,\rm cm \qquad \hat y_2 = \frac{1}{4}\cdot 1\,\rm cm = 0{,}25\,\rm cm [/math]

Auch die Energie teilt sich auf wie die Länge:

[math]E_1 = \frac{3}{4}\cdot E_{ges} \quad \text{und} \quad E_2 = \frac{1}{4}\cdot E_{ges} \quad \text{ mit } \quad E_{ges}=\frac{1}{2} 150\frac{\rm N}{\rm m} \cdot (0{,}01\,\rm m)^2 = 0{,}0075\,\rm J = 7{,}5\,\rm mJ [/math]


Für die Federhärten der Teilfedern ergibt sich:

[math]D_1 = \frac{4}{3}\cdot \mathrm{150\frac{N}{m} = 200\frac{N}{m}}\qquad D_2=\mathrm{\frac{4}{1}\cdot 150\frac{N}{m}= 600\frac{N}{m}}[/math]

Grafische Darstellungen

Schwingungen Wagen an Feder.png

Die Diagramme sind für eine einfache harmonische Feder-Schwingung eines Wagens berechnet worden. Sie sehen aber für nichtharmonische Schwingungen ähnlich aus.

Da der Wagen zusammen mit der Erde schwingt, kann man seinen Schwingungspartner als ruhend betrachten. Alle Diagramme beschreiben die Eigenschaften des Wagens aus der Sicht eines auf der Erde ruhenden Betrachters.

in Abhängigkeit von der Zeit

Hier kann man sehen, wie die Elongation und die Geschwindigkeit (und wegen [math]p=m\, v[/math] auch der Impuls) sich mit der Zeit verändern.

Die Elongation [math]y(t)= \hat y \sin(\omega\, t)[/math] und die Geschwindigkeit [math]y(t)= \hat v \cos(\omega\, t)[/math] in Abhängigkeit der Zeit.

Die Bewegungsenergie hängt über [math]E_{kin}=\frac{1}{2} \, m \, v^2[/math] direkt mit der Geschwindigkeit zusammen. Ebenso hängt die Spannenergie der Feder wegen [math]E_{Feder}=\frac{1}{2} \, D \, y^2[/math] direkt mit der Auslenkung zusammen.
Man erkennt auch gut, dass die Energie in jeder Periode zweimal die Form wechselt. Die Gesamtenergie bleibt konstant.

Die Energie der Feder [math]E_{Feder}= E_{ges}\,\sin(\omega\, t)^2[/math], die Bewegungsenergie des schwingenden Körpers [math]E_{kin}=E_{ges}\,\cos(\omega\, t)^2[/math] und die Gesamtenergie [math]E_{ges}=\frac{1}{2} \, D \, \hat y^2 = \frac{1}{2} \, m \, \hat v^2 [/math] in Abhängigkeit der Zeit.

in Abhängigkeit vom Ort

Die Energieformen eines (horizontalen) Federpendels in Abhängigkeit vom Ort.
Die auf den schwingenden Gegenstand wirkende Kraft in Abhängigkeit vom Ort.

In Abhängigkeit von der Elongation steigt die potentielle Energie, also die Energie der Feder, quadratisch, während die kinetische Energie quadratisch abnimmt.

Den quadratischen Zusammenhang zwischen der Auslenkung y und potentieller (Feder-) Energie erkennt man gleich wegen:

[math]E_{Feder}(y)=\frac{1}{2} \, D \, y^2[/math]

Wegen der Energieerhaltung folgt für die kinetische Energie:

[math]E_{kin}(y)=E_{ges}-E_{Feder}(y)=E_{ges}-\frac{1}{2} \, D \, y^2[/math]

An der Funktionsgleichung erkennt man die umgedrehte und nach oben verschobene Parabel des Graphen von [math]E_{kin}(y)[/math]

Die Gesamtenergie ist die Addition beider Energien, bleibt konstant.

Schwingung als Bewegung in einem Potential

Es fällt auf: Steigt die potentielle Energie stark an, dann ist auch die bremsende Kraft groß. Und ist die Rückstellkraft positiv, aber klein, so nimmt die potentielle Energie langsam ab.

Energieübertragung mit einer Kraft

[math]E\approx F\, s[/math]

Fläche unter dem Kraftverlauf (Kraft-Ort-Kurve) [math]F(s)[/math]

[math]E=\int F(s) ds = \bar F \, s[/math]

Steigung von [math]E_{pot}[/math]

[math]F\approx \frac{E}{s} = \frac{\triangle E}{\triangle s}[/math]

[math]F=E' [/math]

Von der potentiellen Energie zum Potential durch Normierung auf 1kg: [math]\varphi_{pot}=\frac{1}{m}\, E_{pot}[/math]

Vorstellung: Nett, aber nicht exakt: Gegenstand rutscht im Potential hin- und her.

Das Potential eines Feldes

Fußnoten

  1. Die Gleichung gilt auch in drei Dimensionen, dann schreibt man die Orte als Punkte, bzw. Vektoren.
  2. [math]m_1 \, l_1 = m_2\, l_2 \qquad \text{und} \qquad l= l_1 + l_2[/math]
    [math]m_1 \, l_1 = m_2 \, l_2 \qquad \text{und} \qquad l_2 = l - l_1\quad |\text{ Die rechte in die linke Gleichung einsetzen.}[/math]
    [math]m_1 \, l_1 = m_2 \, (l-l_1) \quad |\text{ Ausmultiplizieren und nach } l_1 \text{ auflösen}[/math]
    [math]m_1 \, l_1 = m_2 \,l - m_2\, l_1 \quad | +m_2\, l_1 [/math]
    [math]m_1 \, l_1 +m_2\, l_1 = m_2 \,l \quad [/math]
    [math]l_1 ( m_1 + m_2) = m_2 \,l \quad |\, \mathopen: (m_1+m_2) [/math]
    [math]l_1 = \frac{m_2}{m_1 + m_2} \,l [/math]