Energietransport einer Welle (Intensität)

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(Kursstufe > Mechanische Wellen)

Bei der Kreiswelle fließt die Energie durch immer größere Kreise.

Unter der Intensität einer Welle versteht man bei einer dreidimensionalen Welle die Stärke des Energiestroms ("Leistung") pro Fläche. Sie gibt also an, wieviel Energie pro Zeit und pro Fläche transportiert wird.

Im Falle einer zweidimensionalen Welle ist die Intensität die Leistung pro Länge.

Im Falle einer eindimensionalen Welle ist es einfach die Leistung.

Beispiele

  • Hängt der Lärm vom Wetter ab? Dämpfung, Brechung, Streuung, Beugung und Reflexion von Schallwellen im Hinblick auf Lärmberuhigung. (DLR Institut für Physik der Atmosphäre)
  • Wie weit kann man wohl den Ton eines "5-Watt-Lautsprechers" hören? Und wenn man die Leistung verdoppelt?

Intensität einer ebenen harmonischen Welle

Welle Intensität Quader.png
Um die Intensität einer ebenen Welle zu bestimmen, betrachtet man ein quaderförmiges Raumgebiet mit der Stirnfläche A und der Länge x = ct. In der Zeit t strömt also die in diesem Gebiet enthaltene Energie durch die Fläche A.

Die enthaltene Energie kann man über die in den Schwingungen gespeicherte Energie bestimmen:

[math]E = \frac{M}{2}\omega^2 \hat y^2[/math]

Die Masse berechnet man aus Dichte und Volumen:

[math]E = \frac{\rho \, V}{2}\omega^2 \, \hat y^2[/math]

Das Volumen aus Fläche A und Länge x:

[math]E = \frac{\rho \, A \, c \, t}{2}\omega^2 \, \hat y^2[/math]

Für die Energie pro Zeit und Fläche folgt daher:

[math]I = \frac{1}{2} \ \rho \ c \ \omega^2 \hat y^2[/math]

Die Intensität ist proportional zur Dichte des Mediums, zur Ausbreitungsgeschwindigkeit, zum Quadrat der Frequenz und zum Quadrat der Amplitude.

(Noch den effektiven Druck dazubringen : [math]\tilde p = \frac{\hat p}{\sqrt{2}}[/math])

Intensitätsrückgang bei Kugel-, Kreis- und Zylinderwellen

Anders als bei einer ebenen Welle verteilt sich mit zunehmendem Abstand von der Quelle die Energie immer mehr im Raum. Das heisst, dass die Intensität mit dem Abstand zur Quelle sinkt.

Eine annähernd punktförmige Quelle, die mit z.B. 5 Watt Leistung sendet, verteilt diesen Energiestrom auf eine immer größere Kugelfläche. Die Energiemenge pro Zeit ist für jede Fläche konstant! Für die einzelnen Wellen ergibt sich daraus die Intensität in einem Abstand r von der Quelle:

  • Kreiswelle: Die Leistung P verteilt sich auf einen Kreis und nimmt mit 1/r ab.
[math]I(r)= \frac{P}{2 \ \pi \ r} \quad \sim \frac{1}{r}[/math]
  • Kugelwelle: Die Leistung verteilt sich auf eine Kugeloberfläche, wodurch sie mit 1/r^2 abnimmt und eine geringere Reichweite hat.
[math]I(r)=\frac{P}{4 \ \pi \ r^2} \quad \sim \frac{1}{r^2}[/math]
  • Zylinderwelle: Bei einer linienförmigen Quelle, wie einer Straße, sind die Wellenfronten (halb-)zylinderförmig mit zwei (Viertel)Halbkugeln an den Enden. Die Intensität ist also vom Abstand zur Quelle und von der Länge der Quelle abhängig.
Ist die Quelle relativ lang (im Verhältnis zum Abstand), so verteilt sich die Leistung auf einen Zylindermantel der Länge l mit dem Radius r. Je länger die Quelle ist, desto mehr nimmt die Intensität mit 1/r ab, hat also eine große Reichweite.
[math]I(r,l)\approx \frac{P}{2 \ \pi \ r \ l} \quad \sim \frac{1}{r}[/math]
Ist die Quelle relativ kurz (im Verhältnis zum Abstand), so nimmt die Intensität wie bei einer Kugelwelle ab.

Veränderung der Amplitude

Die Amplitude nimmt mit größerem Abstand zur Quelle ab. Durch den Zusammenhang von Intensität und Amplitude kann man auch genauere Aussagen machen. Am einfachsten für den Fall eines homogenen Mediums, also z.B. Luft mit gleicher Temperatur und gleichem Druck, denn dann ist die Dichte [math]\rho[/math] des Mediums, die Ausbreitungsgeschwindigkeit [math]c[/math] und die Kreisfrequenz [math]\omega = 2 \pi f[/math] konstant.

[math]I = \frac{1}{2} \ \rho \ c \ \omega^2 \hat y^2 \qquad \Rightarrow \quad I \sim \hat y ^2[/math]
[math]\hat y = \sqrt{\frac{2}{\rho\, c\, \omega^2}} \cdot \sqrt{I} \quad \Rightarrow \quad \hat y \sim \sqrt{I}[/math]
  • Kreiswelle:
[math]\hat y (r) \sim \frac{1}{\sqrt{r}}[/math]
  • Kugelwelle:
[math]\hat y (r) \sim \frac{1}{r}[/math]
  • Zylinderwelle:
[math]\hat y (r) \sim \frac{1}{\sqrt{r}}[/math]

Energie"verlust" durch Dämpfung

  • Durch Reibung entsteht Wärme (Entropie).
  • Exponentielle Abnahme (Ähnlich wie radioaktiver Zerfall)
  • Wie groß ist der Effekt?
  • Beispielrechnung für eine Schallwelle. Wie weit kann man sie hören, wenn sie mit 5Watt sendet?
  • Rechner zur bestimmung der Dämpfung in db/m in Abhängigkeit von Temperatur, Luftfeuchtigkeit und Frequenz. (Thomas Jahnke)
  • wissen vor 8 - Warum ist es leiser wenn schnee liegt (youtube: von "freddytheking007")
  • Wissen vor 8 - Was ist Flüsterasphalt? (youtube.de; von "Friedbert Zausel")

Empfundene Lautstärke

  • Schalldruck p ist der Differenzdruck zum Normaldruck (P(t) kann zB. sinusförmig sein, dann ist der effektive Unterschied zum Normaldruck [math]\hat p / \sqrt{2}[/math].
  • Es gilt Intensität=Ausbreitungsgeschwindigkeit * Schalldruck
[math] p_\mathrm{ges} = p_0 + p \, [/math]

Raumakustik und Lärmbelastung in der Schule

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