Mathematische Beschreibung von Schwingungen: Unterschied zwischen den Versionen

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(Federpendel im Gravitationsfeld)
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==Beschreiben der Bewegung einer harmonischen Schwingung==
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'''Verschoben nach'''
*Idealisierung:
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* [[Beschreibung einer harmonischen Schwingung mit der Zeigerdarstellung]]
**Reibungsfrei
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* [[Praktikum: Untersuchung von Schwingungen mit der Differentialgleichung]]
**lineare Rückstellkraft
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** [[Untersuchung von Schwingungen mit der Differentialgleichung]]
 
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===Versuch: Ein Sandpendel===
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[[Bild:Versuchsaufbau_Sandpendel.jpg|thumb|100px|Versuchsaufbau des Sandpendels(1)]]
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[[Bild:Versuchsergebnis_Sandpendel.jpg|thumb|100px|Versuchsergebnis des Sandpendels(2)]]
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====Aufbau:====
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Siehe Bild 1
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====Beobachtung:====
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Es entsteht eine Wellenlinie. (Siehe Bild 2)
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====Erklärung====
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Diese Wellenlinie ist gerade das Zeit-Ort Diagramm einer Schwingung, denn sie gibt an wann der Körper wo ist. Die Ortsfunktion scheint eine Sinusfunktion zu sein, an der man die Amplitude und die Periode ablesen kann.
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===Versuch: Projektion der Kreisbewegung===
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====Aufbau:====
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[[Bild:Versuchsaufbau_Projektion_der_Kreisbewegung.jpg|thumb|right|Versuchsaufbau Projektion der Kreisbewegung(3)]]
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Siehe Bild 3
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====Beobachtung:====
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Text Text Text Text Text Text TextText Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text
+
 
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====Erklärung====
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Text Text Text Text Text Text TextText Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text
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===Zu 108.2===
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<math>\omega</math>: Winkelgeschwindigkeit
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<math>f</math>: Umläufe pro Zeit
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z.B.:
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:<math>f = 2Hz</math>
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:<math>w = 2*\pi*\left( \frac{1}{s} \right)= 4*\pi*\left( \frac{1}{s} \right)</math>
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:'''<math>\Rightarrow \omega=2*\pi*f</math>''' und weil <math>f=\left( \frac{1}{T} \right)</math>
+
 
+
:'''<math>\omega=\left( \frac{2*\pi}{T} \right)</math>'''
+
 
+
===Zu 108.3===
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:<math>\phi_0</math> = Phasenverschiebung
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:<math>\phi_0</math> = 0° = Schwingung in Phase
+
:<math>\phi_0</math> =<math>\pi*(180°)</math> = gegenphasig
+
 
+
===Berechnung des Geschwindigkeitsgesetzes===
+
 
+
 
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'''<math>v=\dot s</math>'''     
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<math>v(t)=[\hat y*sin(\omega*t)]</math> <math>\rightarrow</math> Ableitung = <math>v=\^y*cos(\omega*t)*\omega</math>
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:Anmerkung: Elongation ist nicht von der Zeit abhängig, daher wird hier nicht abgeleitet;
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:Wiederholung: [f(g(t))]= f'(g(t))*g'(t)
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<math>\Rightarrow</math>
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<math>v(t) = \hat y*\omega*cos(\omega*t)</math>
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<math>v(t) = \hat v*cos(\omega*t)</math>
+
 
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<math>\hat v</math> ist die maximale Geschwindigkeit
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===Berechnung des Beschleunigungsgesetzes===
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Beschleunigung = <math>a=\dot v = [\hat y*\omega*cos(\omega*t)]=  \hat y*\omega*(-sin(\omega*t)*\omega</math>
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<math>\Rightarrow a(t)=-\hat y*\omega^2*sin(\omega*t)</math>
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'''Beispiel: Federpendel'''
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[[Bild:Federpendel_paint.JPG|thumb|Federpendel]]
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:Für 10 Schwingungen: 12s
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:Amplitude: 9cm
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:<math>T=1{,}2</math>
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:<math>\omega=\left( \frac {2*\pi}{1{,}2} \right)</math>
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+
 
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<math>s(t)=9cm*sin(\left( \frac {2*\pi}{1{,}2s} \right)*t</math>
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<math>v(t)=9cm*\left( \frac {2*\pi}{1{,}2s} \right)*cos(\left( \frac {2*\pi}{1{,}2s} \right)*t)</math>
+
 
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<math>\hat v = 9cm*\left( \frac {2*\pi}{1{,}2s} \right)= 47\frac{cm}{s}</math>
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==Differentialgleichung einer harmonischen Schwingung==
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[[Bild:Schwingungen_Wagen_an_Feder.png|thumb|Die Ausgangssituation.]]
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[[Bild:Schwingungen_y_F_Zusammenhang.png|thumb|Zusammenhang von Ort und Rückstellkraft.]]
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*Man betrachtet eine vereinfachte Situation: Ein Körper wird als punktförmige Masse idealisiert, die an einer masselosen, hookschen Feder befestigt ist und sich reibungslos bewegen kann.
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*Die äußere Situation wird durch den Zusammenhang von Ort y und Kraft F gegeben. (Wo wirkt welche Kraft?)
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:Bei einer hookschen Feder ist die Kraft proportional zur Auslenkung. Die Proportionalitätskonstante ist die Federhärte D. Die Rückstellkraft wirkt immer entgegen der Elongationsrichtung, es gilt also: <math>F=-Dy</math>
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*Wir suchen nun Bewegungen des Körpers in der Zeit, also den Zeit-Ort-Zusammenhänge y(t), die in diesem Kraftverlauf möglich sind.
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*Die Lösung liefert uns das Newtonsche Axiom <math>F=\dot p = m a = m \ddot y</math>. Es beschreibt nämlich den Zusammenhang zwischen Kraftverlauf und zeitlichen Ablauf der Bewegung!
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:Setzt man für die Kraft für die konkrete Situation ein, so ergibt sich:
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:<math>m \ddot y = -D \quad y </math>
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<math>\Rightarrow \qquad \ddot y= -\frac{D}{m} \quad y </math>  Differentialgleichung (DGL) der harmonischen Schwingung
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:Wir suchen also Zeit-Orts-Gesetze, deren zweite zeitliche Ableitung ein Vielfaches von sich selbst sind!!
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*Durch systematisches Probieren findet man Lösungen dieser DGL:
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:Mit  <math>\omega = \sqrt{\frac{D}{m}}</math>
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:Schwingungen mit einer beliebigen Amplitude
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:<math>y(t)=\hat y sin(\omega t)</math>
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:Schwingungen mit einer zusätzlichen Phasenverschiebung:
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:<math>y(t)=\hat y sin(\omega t + \varphi_0)</math>
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:Der Stillstand ist auch eine Lösung!
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:<math>y(t) = 0</math>
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+
*Für die Schwingungsdauer, bzw Frequenz folgt also:
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:<math>f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{D}{m}}</math>
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:<math>T = \frac{1}{f}= 2\pi \sqrt{\frac{m}{D}}</math>
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==Untersuchung dreier Schwingungen==
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*Ziel der Untersuchung ist es, das -Zeit-Orts-Gesetz <math>y(t)</math> und damit auch die Frequenz der Schwingung aus der äußeren Situation, wie z.B. die Masse eines Körpers herzuleiten.
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:Dazu ist es sinnvoll jeweils die DGL aufzustellen. Zunächst muss man ein Koordinatensystem wählen und den Ort-Kraft-Verlauf bestimmen. Vor allem beim Fadenpendel hilft auch ein Blick in ein Buch oder ins Internet weiter.
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:Als Ergebnis sollen Sie sowohl eine allgemeine Formel erstellen, sowie eine konkrete Rechnung mit den gemessenen Größen durchführen.
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*Welche Schlussfolgerung können Sie aus der allgemeinen Lösung ziehen? (Z.B. Abhängigkeit von der Masse, etc.)
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*Vergleichen Sie dann die errechnete Frequenz mit der gemessenen und führen Sie eine Fehlerrechnung durch.
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===Das Fadenpendel===
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[[Bild:Fadenpendel_mit_Kraftvektoren.jpg]]
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===Schwingendes Wasser im U-Rohr===
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[[Bild:Versuchsaufbau_Schwingendes_Wasser_im_U-Rohr.jpg|thumb|Versuchsaufbau Schwingendes Wasser im U-Rohr]]
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[[Bild:Wassersäule_U-Rohr_schematisch.jpg]]
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<br/>
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<br/>
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<br/>
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===Federpendel im Gravitationsfeld===
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[[Bild:Versuchsaufbau Federpendel.jpg|thumb|Versuchsaufbau Federpendel]]
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[[Bild:180px-Schwingungen_y_F_Zusammenhang.png]]
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Der Ursprung des Koordinatensystem entspricht bei a) dem Ende der entspannten  Feder.
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Bei Abbildung b) entspricht der Ursprung der Ruhelage des Pendels. Sowohl bei a), als auch bei b), hängt die Masse m an der Feder
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:Daraus ergibt sich die Differentialgleichung zweiter Ordnung:
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:<math>\ddot y=-D/my </math>
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:mit der Lsg:
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:<math>\sqrt{D/m}=w</math>
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:woraus man auf die vollständige Zustansvorschrift <math>y</math> schliessen kann:
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:<math>y=\hat y\sin(wt)</math> => <math>y=\hat y\sin(\sqrt{D/m}t)</math>
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Aktuelle Version vom 26. Januar 2012, 11:36 Uhr

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